Theorem dchrplusg 26750

Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t	⊢ · = (+g‘𝐺)
dchrplusg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchrplusg	⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Proof of Theorem dchrplusg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5		dchrplusg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrbas 26738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥})
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	dchrval 26737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
9	8	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
10		dchrmul.t	. 2 ⊢ · = (+g‘𝐺)
11	6	fvexi 6906	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11, 11	xpex 7740	. . 3 ⊢ (𝐷 × 𝐷) ∈ V
13		ofexg 7675	. . 3 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V)
14		eqid 2733	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}
15	14	grpplusg 17233	. . 3 ⊢ (( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
16	12, 13, 15	mp2b 10	. 2 ⊢ ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
17	9, 10, 16	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {cpr 4631  ⟨cop 4635   × cxp 5675   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544   ∘_f cof 7668   · cmul 11115  ℕcn 12212  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  Unitcui 20169  ℤ/nℤczn 21052  DChrcdchr 26735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-dchr 26736

This theorem is referenced by:  dchrmul  26751