Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrplusg 25834
 Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t · = (+g𝐺)
dchrplusg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchrplusg (𝜑· = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Proof of Theorem dchrplusg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4 eqid 2824 . . . 4 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5 dchrplusg.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrmhm.b . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrbas 25822 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥})
81, 2, 3, 4, 5, 7dchrval 25821 . . 3 (𝜑𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
98fveq2d 6665 . 2 (𝜑 → (+g𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
10 dchrmul.t . 2 · = (+g𝐺)
116fvexi 6675 . . . 4 𝐷 ∈ V
1211, 11xpex 7470 . . 3 (𝐷 × 𝐷) ∈ V
13 ofexg 7407 . . 3 ((𝐷 × 𝐷) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V)
14 eqid 2824 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}
1514grpplusg 16611 . . 3 (( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
1612, 13, 15mp2b 10 . 2 ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
179, 10, 163eqtr4g 2884 1 (𝜑· = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {cpr 4552  ⟨cop 4556   × cxp 5540   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343   ∘f cof 7401   · cmul 10540  ℕcn 11634  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Unitcui 19392  ℤ/nℤczn 20650  DChrcdchr 25819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-dchr 25820 This theorem is referenced by:  dchrmul  25835
 Copyright terms: Public domain W3C validator