Theorem dchrplusg 27191

Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t	⊢ · = (+g‘𝐺)
dchrplusg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchrplusg	⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Proof of Theorem dchrplusg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5		dchrplusg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrbas 27179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥})
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	dchrval 27178	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
9	8	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
10		dchrmul.t	. 2 ⊢ · = (+g‘𝐺)
11	6	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11, 11	xpex 7709	. . 3 ⊢ (𝐷 × 𝐷) ∈ V
13		ofexg 7638	. . 3 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}
15	14	grpplusg 17229	. . 3 ⊢ (( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
16	12, 13, 15	mp2b 10	. 2 ⊢ ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
17	9, 10, 16	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {cpr 4587  ⟨cop 4591   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499   ∘_f cof 7631   · cmul 11049  ℕcn 12162  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Unitcui 20275  ℤ/nℤczn 21444  DChrcdchr 27176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-dchr 27177

This theorem is referenced by:  dchrmul  27192