MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrplusg 27135
Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrmul.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrplusg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchrplusg (πœ‘ β†’ Β· = ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)))

Proof of Theorem dchrplusg
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
4 eqid 2726 . . . 4 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
5 dchrplusg.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 dchrmhm.b . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrbas 27123 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ (((Baseβ€˜π‘) βˆ– (Unitβ€˜π‘)) Γ— {0}) βŠ† π‘₯})
81, 2, 3, 4, 5, 7dchrval 27122 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐷⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))⟩})
98fveq2d 6889 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐷⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))⟩}))
10 dchrmul.t . 2 Β· = (+gβ€˜πΊ)
116fvexi 6899 . . . 4 𝐷 ∈ V
1211, 11xpex 7737 . . 3 (𝐷 Γ— 𝐷) ∈ V
13 ofexg 7672 . . 3 ((𝐷 Γ— 𝐷) ∈ V β†’ ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ V)
14 eqid 2726 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐷⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐷⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))⟩}
1514grpplusg 17242 . . 3 (( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ V β†’ ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐷⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))⟩}))
1612, 13, 15mp2b 10 . 2 ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐷⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))⟩})
179, 10, 163eqtr4g 2791 1 (πœ‘ β†’ Β· = ( ∘f Β· β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537   ∘f cof 7665   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Unitcui 20257  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  dchrmul  27136
  Copyright terms: Public domain W3C validator