Theorem dchrplusg 27281

Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t	⊢ · = (+g‘𝐺)
dchrplusg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchrplusg	⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Proof of Theorem dchrplusg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
4		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
5		dchrplusg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrbas 27269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑍) ∖ (Unit‘𝑍)) × {0}) ⊆ 𝑥})
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	dchrval 27268	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
9	8	fveq2d 6860	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
10		dchrmul.t	. 2 ⊢ · = (+g‘𝐺)
11	6	fvexi 6870	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11, 11	xpex 7725	. . 3 ⊢ (𝐷 × 𝐷) ∈ V
13		ofexg 7654	. . 3 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V)
14		eqid 2756	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}
15	14	grpplusg 17295	. . 3 ⊢ (( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ V → ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩}))
16	12, 13, 15	mp2b 10	. 2 ⊢ ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))⟩})
17	9, 10, 16	3eqtr4g 2816	1 ⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448  {cpr 4578  ⟨cop 4582   × cxp 5638   ↾ cres 5642  ‘cfv 6510   ∘_f cof 7647   · cmul 11068  ℕcn 12200  ndxcnx 17205  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  Unitcui 20376  ℤ/nℤczn 21527  DChrcdchr 27266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-dchr 27267

This theorem is referenced by:  dchrmul  27282