MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofmresex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmresex 7497
Description: Existence of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ofmresex.a (𝜑𝐴𝑉)
ofmresex.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
ofmresex (𝜑 → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)

Proof of Theorem ofmresex
StepHypRef Expression
1 ofmresex.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 ofmresex.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
31, 2xpexd 7290 . 2 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4 ofexg 7230 . 2 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
53, 4syl 17 1 (𝜑 → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2051  Vcvv 3410   × cxp 5402  cres 5406  𝑓 cof 7224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226
This theorem is referenced by:  ldualfvadd  35742
  Copyright terms: Public domain W3C validator