Theorem ofmresex 7978

Description: Existence of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofmresex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ofmresex	⊢ (𝜑 → ( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)

Proof of Theorem ofmresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ofmresex.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	xpexd 7746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4		ofexg 7679	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   × cxp 5659   ↾ cres 5663   ∘_f cof 7672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674

This theorem is referenced by:  ldualfvadd  39902