Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvadd.q = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
Assertion
Ref Expression

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 ldualvadd.a . . . 4 + = (+g𝑅)
3 ldualfvadd.q . . . 4 = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualvadd.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualvadd.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 ldualvadd.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2758 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2758 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11 ldualvadd.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑋)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 36735 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14 ldualvadd.p . 2 = (+g𝐷)
154fvexi 6677 . . . . 5 𝐹 ∈ V
16 id 22 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
1716, 16ofmresex 7696 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V)
1815, 17ax-mp 5 . . . 4 ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V
193, 18eqeltri 2848 . . 3 ∈ V
20 eqid 2758 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
2120lmodplusg 16709 . . 3 ( ∈ V → = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
2219, 21ax-mp 5 . 2 = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
2313, 14, 223eqtr4g 2818 1 (𝜑 = )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∪ cun 3858  {csn 4525  {ctp 4529  ⟨cop 4531   × cxp 5526   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ∘f cof 7409  ndxcnx 16551  Basecbs 16554  +gcplusg 16636  .rcmulr 16637  Scalarcsca 16639   ·𝑠 cvsca 16640  opprcoppr 19456  LFnlclfn 36667  LDualcld 36733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-plusg 16649  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ldual 36734 This theorem is referenced by:  ldualvadd  36739
 Copyright terms: Public domain W3C validator