Theorem ldualfvadd 39129

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualfvadd.q	⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvadd	⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Proof of Theorem ldualfvadd

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ldualfvadd.q	. . . 4 ⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 39126	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
15	4	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
17	16, 16	ofmresex 8010	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V
19	3, 18	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ ⨣ ∈ V
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
21	20	lmodplusg 17371	. . 3 ⊢ ( ⨣ ∈ V → ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
22	19, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  opp_rcoppr 20333  LFnlclfn 39058  LDualcld 39124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ldual 39125

This theorem is referenced by:  ldualvadd  39130