Theorem ldualfvadd 40001

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualfvadd.q	⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvadd	⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Proof of Theorem ldualfvadd

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ldualfvadd.q	. . . 4 ⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 39998	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
15	4	fvexi 6892	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
17	16, 16	ofmresex 7982	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V
19	3, 18	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ ⨣ ∈ V
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
21	20	lmodplusg 17412	. . 3 ⊢ ( ⨣ ∈ V → ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
22	19, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ∘_f cof 7676  ndxcnx 17285  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  ._rcmulr 17343  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  opp_rcoppr 20477  LFnlclfn 39930  LDualcld 39996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ldual 39997

This theorem is used by:  ldualvadd  40002