Theorem ldualfvadd 37069

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualfvadd.q	⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvadd	⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Proof of Theorem ldualfvadd

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ldualfvadd.q	. . . 4 ⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 37066	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
15	4	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
17	16, 16	ofmresex 7801	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V
19	3, 18	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ ⨣ ∈ V
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
21	20	lmodplusg 16963	. . 3 ⊢ ( ⨣ ∈ V → ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
22	19, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2804	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  {csn 4558  {ctp 4562  ⟨cop 4564   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ∘_f cof 7509  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  opp_rcoppr 19776  LFnlclfn 36998  LDualcld 37064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ldual 37065

This theorem is referenced by:  ldualvadd  37070