Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualfvadd 37640
Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvadd.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvadd.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvadd.a + = (+gβ€˜π‘…)
ldualvadd.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvadd.p ✚ = (+gβ€˜π·)
ldualvadd.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑋)
ldualfvadd.q ⨣ = ( ∘f + β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))
Assertion
Ref Expression
ldualfvadd (πœ‘ β†’ ✚ = ⨣ )

Proof of Theorem ldualfvadd
Dummy variables 𝑓 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 ldualvadd.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
3 ldualfvadd.q . . . 4 ⨣ = ( ∘f + β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))
4 ldualvadd.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 ldualvadd.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
6 ldualvadd.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
9 eqid 2733 . . . 4 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
10 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))
11 ldualvadd.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑋)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 37637 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))⟩}))
1312fveq2d 6850 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))⟩})))
14 ldualvadd.p . 2 ✚ = (+gβ€˜π·)
154fvexi 6860 . . . . 5 𝐹 ∈ V
16 id 22 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V β†’ 𝐹 ∈ V)
1716, 16ofmresex 7922 . . . . 5 (𝐹 ∈ V β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)) ∈ V)
1815, 17ax-mp 5 . . . 4 ( ∘f + β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)) ∈ V
193, 18eqeltri 2830 . . 3 ⨣ ∈ V
20 eqid 2733 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))⟩})
2120lmodplusg 17216 . . 3 ( ⨣ ∈ V β†’ ⨣ = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))⟩})))
2219, 21ax-mp 5 . 2 ⨣ = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))⟩}))
2313, 14, 223eqtr4g 2798 1 (πœ‘ β†’ ✚ = ⨣ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912  {csn 4590  {ctp 4594  βŸ¨cop 4596   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ∘f cof 7619  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  opprcoppr 20056  LFnlclfn 37569  LDualcld 37635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ldual 37636
This theorem is referenced by:  ldualvadd  37641
  Copyright terms: Public domain W3C validator