Theorem ldualfvadd 38464

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualfvadd.q	⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvadd	⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Proof of Theorem ldualfvadd

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ldualfvadd.q	. . . 4 ⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 38461	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
15	4	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
17	16, 16	ofmresex 7976	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V
19	3, 18	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ ⨣ ∈ V
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
21	20	lmodplusg 17279	. . 3 ⊢ ( ⨣ ∈ V → ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
22	19, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ∘_f cof 7672  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  opp_rcoppr 20231  LFnlclfn 38393  LDualcld 38459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ldual 38460

This theorem is referenced by:  ldualvadd  38465