Theorem ldualfvadd 37590

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualfvadd.q	⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvadd	⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Proof of Theorem ldualfvadd

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ldualfvadd.q	. . . 4 ⊢ ⨣ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 37587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
15	4	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
17	16, 16	ofmresex 7918	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) ∈ V
19	3, 18	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ ⨣ ∈ V
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
21	20	lmodplusg 17208	. . 3 ⊢ ( ⨣ ∈ V → ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
22	19, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⨣ = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = ⨣ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∪ cun 3908  {csn 4586  {ctp 4590  ⟨cop 4592   × cxp 5631   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ∘_f cof 7615  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  opp_rcoppr 20048  LFnlclfn 37519  LDualcld 37585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ldual 37586

This theorem is referenced by:  ldualvadd  37591