Theorem opnneiss 23141

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 22928	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽)
4		sstr 4003	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
5	4	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
6	3, 5	stoic3 1772	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
7	2	opnneissb 23137	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8	6, 7	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911  ‘cfv 6562  Topctop 22914  neicnei 23120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-top 22915  df-nei 23121

This theorem is referenced by:  opnneip  23142  tpnei  23144  topssnei  23147  opnneiid  23149  neissex  23150  cmpkgen  23574  opnneir  48702