Theorem opnneiss 23491

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 23280	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽)
4		sstr 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
5	4	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
6	3, 5	stoic3 1809	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
7	2	opnneissb 23487	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8	6, 7	syld3an3 1437	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  Topctop 23266  neicnei 23470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-top 23267  df-nei 23471

This theorem is used by:  opnneip  23492  tpnei  23494  topssnei  23497  opnneiid  23499  neissex  23500  cmpkgen  23925  opnneir  50352