MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneiss 21202
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem opnneiss
StepHypRef Expression
1 simp3 1168 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑆𝑁)
2 eqid 2765 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
32eltopss 20991 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) → 𝑁 𝐽)
4 sstr 3769 . . . . 5 ((𝑆𝑁𝑁 𝐽) → 𝑆 𝐽)
54ancoms 450 . . . 4 ((𝑁 𝐽𝑆𝑁) → 𝑆 𝐽)
63, 5stoic3 1871 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑆 𝐽)
72opnneissb 21198 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆 𝐽) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
86, 7syld3an3 1528 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
91, 8mpbid 223 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1107  wcel 2155  wss 3732   cuni 4594  cfv 6068  Topctop 20977  neicnei 21181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-top 20978  df-nei 21182
This theorem is referenced by:  opnneip  21203  tpnei  21205  topssnei  21208  opnneiid  21210  neissex  21211  cmpkgen  21634
  Copyright terms: Public domain W3C validator