Theorem pfxval 14645

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 14643	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩)))
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑠 = 𝑆)
4		opeq2 4841	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
6	3, 5	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
10		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		ovexd 7425	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ V)
12	2, 7, 9, 10, 11	ovmpod 7544	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⟨cop 4598  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12449   substr csubstr 14612   prefix cpfx 14642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-pfx 14643

This theorem is referenced by:  pfx00  14646  pfx0  14647  pfxval0  14648  pfxcl  14649  pfxmpt  14650  pfxfv  14654  pfxnd  14659  pfx1  14675  pfxswrd  14678  swrdpfx  14679  pfxpfx  14680  swrdccat  14707  pfxccatpfx1  14708  pfxccatpfx2  14709  cshw0  14766  pfxco  14811  clwwlkf1  29985  cycpmco2f1  33088