Theorem pfxval 14735

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 14733	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩)))
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑠 = 𝑆)
4		opeq2 4844	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
6	3, 5	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		elex 3479	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
10		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		ovexd 7458	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ V)
12	2, 7, 9, 10, 11	ovmpod 7575	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ⟨cop 4600  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  0cc0 11118  ℕ₀cn0 12522   substr csubstr 14700   prefix cpfx 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-pfx 14733

This theorem is used by:  pfx00  14736  pfx0  14737  pfxval0  14738  pfxcl  14739  pfxmpt  14740  pfxfv  14744  pfxnd  14749  pfx1  14764  pfxswrd  14767  swrdpfx  14768  pfxpfx  14769  swrdccat  14796  pfxccatpfx1  14797  pfxccatpfx2  14798  cshw0  14857  pfxco  14901  clwwlkf1  30437  cycpmco2f1  33475