MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxval 14623
Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxval ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Proof of Theorem pfxval
Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pfx 14621 . . 3 prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
21a1i 11 . 2 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩)))
3 simpl 484 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑙 = 𝐿) → 𝑠 = 𝑆)
4 opeq2 4875 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
54adantl 483 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑙 = 𝐿) → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
63, 5oveq12d 7427 . . 3 ((𝑠 = 𝑆𝑙 = 𝐿) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
76adantl 483 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑙 = 𝐿)) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8 elex 3493 . . 3 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
98adantr 482 . 2 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
10 simpr 486 . 2 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11 ovexd 7444 . 2 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ V)
122, 7, 9, 10, 11ovmpod 7560 1 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cop 4635  (class class class)co 7409  cmpo 7411  0cc0 11110  0cn0 12472   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pfx 14621
This theorem is referenced by:  pfx00  14624  pfx0  14625  pfxval0  14626  pfxcl  14627  pfxmpt  14628  pfxfv  14632  pfxnd  14637  pfx1  14653  pfxswrd  14656  swrdpfx  14657  pfxpfx  14658  swrdccat  14685  pfxccatpfx1  14686  pfxccatpfx2  14687  cshw0  14744  pfxco  14789  clwwlkf1  29333  cycpmco2f1  32314
  Copyright terms: Public domain W3C validator