MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdpfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdpfx 14657
Description: A subword of a prefix is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdpfx ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Proof of Theorem swrdpfx
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21anim2i 618 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
32adantr 482 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
4 pfxval 14623 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
65oveq1d 7424 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
7 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9 0elfz 13598 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
1110adantl 483 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
127, 8, 113jca 1129 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
1312adantr 482 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
14 elfzelz 13501 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615subid1d 11560 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1716eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1918adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
2019oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
2120eleq2d 2820 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
2219oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐾...𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 0)))
2322eleq2d 2820 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
2421, 23anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0)))))
2524biimpa 478 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
26 swrdswrd 14655 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩)))
2713, 25, 26sylc 65 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩))
28 elfzelz 13501 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2928zcnd 12667 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3130adantl 483 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐾 ∈ ℂ)
3231addlidd 11415 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐾) = 𝐾)
33 elfzelz 13501 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
3433zcnd 12667 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
3534adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
3635adantl 483 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐿 ∈ ℂ)
3736addlidd 11415 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
3832, 37opeq12d 4882 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩ = ⟨𝐾, 𝐿⟩)
3938oveq2d 7425 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
406, 27, 393eqtrd 2777 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
4140ex 414 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4635  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113  cmin 11444  0cn0 12472  cz 12558  ...cfz 13484  chash 14290  Word cword 14464   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-substr 14591  df-pfx 14621
This theorem is referenced by:  swrdrevpfx  34107
  Copyright terms: Public domain W3C validator