Theorem swrdpfx 13824

Description: A subword of a prefix is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdpfx	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Proof of Theorem swrdpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 12756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	anim2i 610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
4		pfxval 13788	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
6	5	oveq1d 6939	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
7		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		0elfz 12760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
12	7, 8, 11	3jca 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
13	12	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
14		elfzelz 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		zcn 11738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 10725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	eqcomd 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
19	18	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
20	19	oveq2d 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
21	20	eleq2d 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
22	19	oveq2d 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐾...𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 0)))
23	22	eleq2d 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
24	21, 23	anbi12d 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0)))))
25	24	biimpa 470	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
26		swrdswrd 13820	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩)))
27	13, 25, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩))
28		elfzelz 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 11840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	30	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐾 ∈ ℂ)
32	31	addid2d 10579	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐾) = 𝐾)
33		elfzelz 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 11840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
35	34	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
36	35	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐿 ∈ ℂ)
37	36	addid2d 10579	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
38	32, 37	opeq12d 4646	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩ = ⟨𝐾, 𝐿⟩)
39	38	oveq2d 6940	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
40	6, 27, 39	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
41	40	ex 403	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4404  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274   + caddc 10277   − cmin 10608  ℕ₀cn0 11647  ℤcz 11733  ...cfz 12648  ♯chash 13441  Word cword 13605   substr csubstr 13736   prefix cpfx 13785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-substr 13737  df-pfx 13786

This theorem is referenced by: (None)