Theorem pfxswrd 14724

Description: A prefix of a subword is a subword. (Contributed by AV, 2-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem pfxswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ V)
2		elfznn0 13637	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3		pfxval 14691	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩))
5		fznn0sub 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		0elfz 13641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
9	8	anim1i 615	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))))
10		swrdswrd 14723	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩))
12	9, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩))
13		elfznn0 13637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14		nn0cn 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	addridd 11435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
19	18	opeq1d 4855	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)
20	19	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩))
21	4, 12, 20	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩))
22	21	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ⟨cop 4607  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12501  ...cfz 13524  ♯chash 14348  Word cword 14531   substr csubstr 14658   prefix cpfx 14688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-substr 14659  df-pfx 14689

This theorem is referenced by:  pfxpfx  14726