Theorem pfxswrd 14663

Description: A prefix of a subword is a subword. (Contributed by AV, 2-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem pfxswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7397	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ V)
2		elfznn0 13569	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3		pfxval 14631	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩))
5		fznn0sub 13505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
6	5	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		0elfz 13573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
9	8	anim1i 616	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))))
10		swrdswrd 14662	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (0 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩))
12	9, 11	syldan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩))
13		elfznn0 13569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14		nn0cn 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	addridd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
17	16	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
19	18	opeq1d 4823	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)
20	19	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 0), (𝑀 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩))
21	4, 12, 20	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩))
22	21	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ♯chash 14287  Word cword 14470   substr csubstr 14598   prefix cpfx 14628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-substr 14599  df-pfx 14629

This theorem is referenced by:  pfxpfx  14665