Theorem pfx00 14744

Description: The zero length prefix is the empty set. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx00	⊢ (𝑆 prefix 0) = ∅

Proof of Theorem pfx00

Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5691	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, 0⟩ ∈ (V × ℕ0) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0))
2		pfxval 14743	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 0) = (𝑆 substr ⟨0, 0⟩))
3		swrd00 14712	. . . . 5 ⊢ (𝑆 substr ⟨0, 0⟩) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 0) = ∅)
5	1, 4	sylbi 220	. . 3 ⊢ (⟨𝑆, 0⟩ ∈ (V × ℕ0) → (𝑆 prefix 0) = ∅)
6		df-pfx 14741	. . . 4 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
7		ovex 7446	. . . 4 ⊢ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
8	6, 7	dmmpo 8068	. . 3 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
9	5, 8	eleq2s 2878	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 0⟩ ∈ dom prefix → (𝑆 prefix 0) = ∅)
10		df-ov 7416	. . 3 ⊢ (𝑆 prefix 0) = ( prefix ‘⟨𝑆, 0⟩)
11		ndmfv 6910	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 0⟩ ∈ dom prefix → ( prefix ‘⟨𝑆, 0⟩) = ∅)
12	10, 11	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 0⟩ ∈ dom prefix → (𝑆 prefix 0) = ∅)
13	9, 12	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑆 prefix 0) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   × cxp 5653  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12528   substr csubstr 14708   prefix cpfx 14740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-substr 14709  df-pfx 14741

This theorem is used by:  cshw0  14865