Theorem pfx00 14708

Description: The zero length prefix is the empty set. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx00	⊢ (𝑆 prefix 0) = ∅

Proof of Theorem pfx00

Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5695	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, 0⟩ ∈ (V × ℕ0) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0))
2		pfxval 14707	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 0) = (𝑆 substr ⟨0, 0⟩))
3		swrd00 14678	. . . . 5 ⊢ (𝑆 substr ⟨0, 0⟩) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 0) = ∅)
5	1, 4	sylbi 220	. . 3 ⊢ (⟨𝑆, 0⟩ ∈ (V × ℕ0) → (𝑆 prefix 0) = ∅)
6		df-pfx 14705	. . . 4 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
7		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
8	6, 7	dmmpo 8064	. . 3 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
9	5, 8	eleq2s 2887	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 0⟩ ∈ dom prefix → (𝑆 prefix 0) = ∅)
10		df-ov 7411	. . 3 ⊢ (𝑆 prefix 0) = ( prefix ‘⟨𝑆, 0⟩)
11		ndmfv 6911	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 0⟩ ∈ dom prefix → ( prefix ‘⟨𝑆, 0⟩) = ∅)
12	10, 11	eqtrid 2816	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 0⟩ ∈ dom prefix → (𝑆 prefix 0) = ∅)
13	9, 12	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑆 prefix 0) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ⟨cop 4597   × cxp 5657  dom cdm 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  ℕ₀cn0 12500   substr csubstr 14674   prefix cpfx 14704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-substr 14675  df-pfx 14705

This theorem is referenced by:  cshw0  14827