Theorem cshw0 14718

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14717	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2788	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 12500	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 14715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
8	6, 7	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
10		necom 2978	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 14459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 12923	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 13824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (♯‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16	13	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix 0))
17	15, 16	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
18	11, 12, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
19	10, 18	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
20	9, 19	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
21		lencl 14458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
22		pfxval 14598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
23	21, 22	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
24		pfxid 14609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
25	23, 24	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
27		pfx00 14599	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 prefix 0) = ∅
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 prefix 0) = ∅)
29	26, 28	oveq12d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)) = (𝑊 ++ ∅))
30		ccatrid 14512	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
32	20, 29, 31	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
33	32	expcom 413	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
34	5, 33	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911   mod cmo 13791  ♯chash 14255  Word cword 14438   ++ cconcat 14495   substr csubstr 14565   prefix cpfx 14595   cyclShift ccsh 14712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-csh 14713

This theorem is referenced by:  cshwn  14721  2cshwcshw  14750  scshwfzeqfzo  14751  cshwrepswhash1  17032  crctcshlem4  29783  clwwisshclwws  29977  erclwwlkref  29982  erclwwlknref  30031  1cshid  32914