Theorem cshw0 14973

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14972	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 7450	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 23	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2822	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 26	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 12731	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 14970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
8	6, 7	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
10		necom 3012	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 14706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 13159	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 14069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (♯‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16	13	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix 0))
17	15, 16	oveq12d 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
18	11, 12, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
19	10, 18	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
20	9, 19	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
21		lencl 14705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
22		pfxval 14851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
23	21, 22	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
24		pfxid 14862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
25	23, 24	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
27		pfx00 14852	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 prefix 0) = ∅
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 prefix 0) = ∅)
29	26, 28	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)) = (𝑊 ++ ∅))
30		ccatrid 14760	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
32	20, 29, 31	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
33	32	expcom 419	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
34	5, 33	pm2.61ine 3042	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ⟨cop 4838  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036  ♯chash 14501  Word cword 14685   ++ cconcat 14742   substr csubstr 14816   prefix cpfx 14848   cyclShift ccsh 14967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-substr 14817  df-pfx 14849  df-csh 14968

This theorem is used by:  cshwn  14976  2cshwcshw  15004  scshwfzeqfzo  15005  cshwrepswhash1  17309  crctcshlem4  30439  clwwisshclwws  30636  erclwwlkref  30641  erclwwlknref  30690  1cshid  33590