Theorem cshw0 14913

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14912	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 23	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2819	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 26	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 12674	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 14910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
8	6, 7	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
10		necom 3008	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 14647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 13102	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 14011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (♯‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16	13	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix 0))
17	15, 16	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
18	11, 12, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
19	10, 18	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
20	9, 19	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
21		lencl 14646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
22		pfxval 14791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
23	21, 22	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
24		pfxid 14802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
25	23, 24	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
27		pfx00 14792	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 prefix 0) = ∅
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 prefix 0) = ∅)
29	26, 28	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)) = (𝑊 ++ ∅))
30		ccatrid 14701	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
32	20, 29, 31	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
33	32	expcom 419	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
34	5, 33	pm2.61ine 3038	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ⟨cop 4589  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℝ⁺crp 13090   mod cmo 13978  ♯chash 14442  Word cword 14626   ++ cconcat 14683   substr csubstr 14756   prefix cpfx 14788   cyclShift ccsh 14907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-substr 14757  df-pfx 14789  df-csh 14908

This theorem is used by:  cshwn  14916  2cshwcshw  14944  scshwfzeqfzo  14945  cshwrepswhash1  17242  crctcshlem4  30343  clwwisshclwws  30540  erclwwlkref  30545  erclwwlknref  30594  1cshid  33454