MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshw0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw0 14750
Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshw0 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0
StepHypRef Expression
1 0csh0 14749 . . . 4 (∅ cyclShift 0) = ∅
2 oveq1 7420 . . . 4 (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3 id 22 . . . 4 (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
41, 2, 33eqtr3a 2794 . . 3 (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
54a1d 25 . 2 (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6 0z 12575 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
7 cshword 14747 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
86, 7mpan2 687 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
98adantr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
10 necom 2992 . . . . . 6 (∅ ≠ 𝑊𝑊 ≠ ∅)
11 lennncl 14490 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12 nnrp 12991 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
13 0mod 13873 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (♯‘𝑊)) = 0)
1413opeq1d 4880 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)
1514oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
1613oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix 0))
1715, 16oveq12d 7431 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
1811, 12, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
1910, 18sylan2b 592 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
209, 19eqtrd 2770 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
21 lencl 14489 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
22 pfxval 14629 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
2321, 22mpdan 683 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
24 pfxid 14640 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
2523, 24eqtr3d 2772 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
2625adantr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
27 pfx00 14630 . . . . . 6 (𝑊 prefix 0) = ∅
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 prefix 0) = ∅)
2926, 28oveq12d 7431 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)) = (𝑊 ++ ∅))
30 ccatrid 14543 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
3130adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
3220, 29, 313eqtrd 2774 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
3332expcom 412 . 2 (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
345, 33pm2.61ine 3023 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  c0 4323  cop 4635  cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  cn 12218  0cn0 12478  cz 12564  +crp 12980   mod cmo 13840  chash 14296  Word cword 14470   ++ cconcat 14526   substr csubstr 14596   prefix cpfx 14626   cyclShift ccsh 14744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745
This theorem is referenced by:  cshwn  14753  2cshwcshw  14782  scshwfzeqfzo  14783  cshwrepswhash1  17042  crctcshlem4  29339  clwwisshclwws  29533  erclwwlkref  29538  erclwwlknref  29587  1cshid  32388
  Copyright terms: Public domain W3C validator