Theorem cshw0 14838

Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshw0	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14837	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 0) = ∅
2		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3		id 23	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2821	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	a1d 26	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6		0z 12608	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		cshword 14835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
8	6, 7	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))))
10		necom 3010	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
11		lennncl 14578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnrp 13034	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
13		0mod 13942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (♯‘𝑊)) = 0)
14	13	opeq1d 4843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16	13	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix 0))
17	15, 16	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
18	11, 12, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
19	10, 18	sylan2b 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (0 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
20	9, 19	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)))
21		lencl 14577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
22		pfxval 14718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
23	21, 22	mpdan 699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
24		pfxid 14729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
25	23, 24	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
27		pfx00 14719	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 prefix 0) = ∅
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 prefix 0) = ∅)
29	26, 28	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 0)) = (𝑊 ++ ∅))
30		ccatrid 14632	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
31	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
32	20, 29, 31	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
33	32	expcom 418	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
34	5, 33	pm2.61ine 3040	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℝ⁺crp 13022   mod cmo 13909  ♯chash 14373  Word cword 14557   ++ cconcat 14614   substr csubstr 14685   prefix cpfx 14715   cyclShift ccsh 14832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-csh 14833

This theorem is used by:  cshwn  14841  2cshwcshw  14869  scshwfzeqfzo  14870  cshwrepswhash1  17168  crctcshlem4  30180  clwwisshclwws  30377  erclwwlkref  30382  erclwwlknref  30431  1cshid  33288