Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxpfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxpfx 14061
 Description: A prefix of a prefix is a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxpfx ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

Proof of Theorem pfxpfx
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12995 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21anim2i 619 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
323adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
4 pfxval 14026 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
65oveq1d 7155 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿))
7 simp1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8 simp2 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9 0elfz 12999 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11103ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
127, 8, 113jca 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
131nn0cnd 11945 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1413subid1d 10975 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1514eqcomd 2828 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1615adantl 485 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1716oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
1817eleq2d 2899 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
1918biimp3a 1466 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)))
20 pfxswrd 14059 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩)))
2112, 19, 20sylc 65 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩))
22 elfznn0 12995 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11945 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
2423addid2d 10830 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
2524opeq2d 4785 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → ⟨0, (0 + 𝐿)⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
2625oveq2d 7156 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
27263ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2822anim2i 619 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
29283adant2 1128 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
30 pfxval 14026 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3227, 31eqtr4d 2860 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 prefix 𝐿))
336, 21, 323eqtrd 2861 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4545  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526   + caddc 10529   − cmin 10859  ℕ0cn0 11885  ...cfz 12885  ♯chash 13686  Word cword 13857   substr csubstr 13993   prefix cpfx 14023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-substr 13994  df-pfx 14024 This theorem is referenced by:  pfxpfxid  14062  pfxlsw2ccat  30636
 Copyright terms: Public domain W3C validator