MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxpfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxpfx 14662
Description: A prefix of a prefix is a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxpfx ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

Proof of Theorem pfxpfx
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13597 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21anim2i 616 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
323adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
4 pfxval 14627 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
65oveq1d 7419 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿))
7 simp1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8 simp2 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9 0elfz 13601 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11103ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
127, 8, 113jca 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
131nn0cnd 12535 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1413subid1d 11561 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1514eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1716oveq2d 7420 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
1817eleq2d 2813 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
1918biimp3a 1465 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)))
20 pfxswrd 14660 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩)))
2112, 19, 20sylc 65 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩))
22 elfznn0 13597 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 12535 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
2423addlidd 11416 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
2524opeq2d 4875 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → ⟨0, (0 + 𝐿)⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
2625oveq2d 7420 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
27263ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2822anim2i 616 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
29283adant2 1128 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
30 pfxval 14627 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3227, 31eqtr4d 2769 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 prefix 𝐿))
336, 21, 323eqtrd 2770 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cop 4629  cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109   + caddc 11112  cmin 11445  0cn0 12473  ...cfz 13487  chash 14293  Word cword 14468   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-substr 14595  df-pfx 14625
This theorem is referenced by:  pfxpfxid  14663  pfxlsw2ccat  32619
  Copyright terms: Public domain W3C validator