Theorem pfxpfx 14781

Description: A prefix of a prefix is a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxpfx	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

Proof of Theorem pfxpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13679	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3	2	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
4		pfxval 14747	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
6	5	oveq1d 7432	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿))
7		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		0elfz 13683	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
10	1, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
12	7, 8, 11	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
13	1	nn0cnd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
17	16	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
18	17	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
19	18	biimp3a 1498	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)))
20		pfxswrd 14779	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩)))
21	12, 19, 20	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩))
22		elfznn0 13679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23	22	nn0cnd 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
24	23	addlidd 11439	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
25	24	opeq2d 4843	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → ⟨0, (0 + 𝐿)⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
26	25	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
27	26	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
28	22	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
29	28	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
30		pfxval 14747	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31	29, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
32	27, 31	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 prefix 𝐿))
33	6, 21, 32	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128   + caddc 11131   − cmin 11469  ℕ₀cn0 12532  ...cfz 13565  ♯chash 14398  Word cword 14582   substr csubstr 14712   prefix cpfx 14744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-substr 14713  df-pfx 14745

This theorem is used by:  pfxpfxid  14782  pfxlsw2ccat  33400