MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxpfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxpfx 13896
Description: A prefix of a prefix is a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxpfx ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

Proof of Theorem pfxpfx
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12819 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21anim2i 607 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
323adant3 1112 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
4 pfxval 13858 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
65oveq1d 6993 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿))
7 simp1 1116 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8 simp2 1117 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9 0elfz 12823 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11103ad2ant2 1114 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
127, 8, 113jca 1108 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
131nn0cnd 11772 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1413subid1d 10789 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1514eqcomd 2784 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1615adantl 474 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1716oveq2d 6994 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
1817eleq2d 2851 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
1918biimp3a 1448 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)))
20 pfxswrd 13892 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩)))
2112, 19, 20sylc 65 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩))
22 elfznn0 12819 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11772 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
2423addid2d 10643 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
2524opeq2d 4685 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → ⟨0, (0 + 𝐿)⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
2625oveq2d 6994 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
27263ad2ant3 1115 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2822anim2i 607 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
29283adant2 1111 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0))
30 pfxval 13858 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3227, 31eqtr4d 2817 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 prefix 𝐿))
336, 21, 323eqtrd 2818 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cop 4448  cfv 6190  (class class class)co 6978  0cc0 10337   + caddc 10340  cmin 10672  0cn0 11710  ...cfz 12711  chash 13508  Word cword 13675   substr csubstr 13806   prefix cpfx 13855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-hash 13509  df-word 13676  df-substr 13807  df-pfx 13856
This theorem is referenced by:  pfxpfxid  13898
  Copyright terms: Public domain W3C validator