Theorem pfxpfx 14673

Description: A prefix of a prefix is a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxpfx	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

Proof of Theorem pfxpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13581	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3	2	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
4		pfxval 14638	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
6	5	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿))
7		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		0elfz 13585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (0...𝑁))
12	7, 8, 11	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
13	1	nn0cnd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
17	16	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
18	17	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
19	18	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)))
20		pfxswrd 14671	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 0)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩)))
21	12, 19, 20	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩))
22		elfznn0 13581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23	22	nn0cnd 12505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
24	23	addlidd 11375	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
25	24	opeq2d 4844	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → ⟨0, (0 + 𝐿)⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
26	25	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
27	26	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
28	22	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
29	28	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
30		pfxval 14638	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
32	27, 31	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 prefix 𝐿))
33	6, 21, 32	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑊 prefix 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ♯chash 14295  Word cword 14478   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-substr 14606  df-pfx 14636

This theorem is referenced by:  pfxpfxid  14674  pfxlsw2ccat  32872