Theorem pfxmpt 14583

Description: Value of the prefix extractor as a mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxmpt	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴

Proof of Theorem pfxmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13517	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14578	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
5	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		0elfz 13521	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9		swrdval2 14551	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
11		nn0cn 12388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11458	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
14	13	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
16		elfzonn0 13604	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17		nn0cn 12388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	addridd 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
19	16, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
22	15, 21	mpteq12dva 5177	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))
23	3, 10, 22	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003   + caddc 11006   − cmin 11341  ℕ₀cn0 12378  ...cfz 13404  ..^cfzo 13551  ♯chash 14234  Word cword 14417   substr csubstr 14545   prefix cpfx 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-substr 14546  df-pfx 14576

This theorem is referenced by:  pfxres  14584  pfxf  14585  psgnunilem5  19404