Theorem pfxmpt 14718

Description: Value of the prefix extractor as a mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxmpt	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴

Proof of Theorem pfxmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13650	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14713	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
5	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		0elfz 13654	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9		swrdval2 14686	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
11		nn0cn 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	1, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
14	13	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
16		elfzonn0 13738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17		nn0cn 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	addridd 11411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
19	16, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
21	20	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
22	15, 21	mpteq12dva 5198	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))
23	3, 10, 22	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4596   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101   + caddc 11104   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552   substr csubstr 14680   prefix cpfx 14710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-substr 14681  df-pfx 14711

This theorem is referenced by:  pfxres  14719  pfxf  14720  psgnunilem5  19565