Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxmpt 14038
 Description: Value of the prefix extractor as a mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxmpt ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴

Proof of Theorem pfxmpt
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13002 . . 3 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2 pfxval 14033 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31, 2sylan2 595 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4 simpl 486 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
51adantl 485 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6 0elfz 13006 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
8 simpr 488 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9 swrdval2 14006 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
104, 7, 8, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
11 nn0cn 11902 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
1211subid1d 10982 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
1413oveq2d 7156 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
1514adantl 485 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
16 elfzonn0 13084 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17 nn0cn 11902 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
1817addid1d 10836 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1916, 18syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2019fveq2d 6654 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
2120adantl 485 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
2215, 21mpteq12dva 5115 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
233, 10, 223eqtrd 2837 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  0cc0 10533   + caddc 10536   − cmin 10866  ℕ0cn0 11892  ...cfz 12892  ..^cfzo 13035  ♯chash 13693  Word cword 13864   substr csubstr 14000   prefix cpfx 14030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-substr 14001  df-pfx 14031 This theorem is referenced by:  pfxres  14039  pfxf  14040  psgnunilem5  18622
 Copyright terms: Public domain W3C validator