Theorem pfxmpt 14243

Description: Value of the prefix extractor as a mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxmpt	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴

Proof of Theorem pfxmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13205	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14238	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
5	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		0elfz 13209	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
8		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9		swrdval2 14211	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
11		nn0cn 12100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
14	13	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
15	14	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
16		elfzonn0 13287	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17		nn0cn 12100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	addid1d 11032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
19	16, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
20	19	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
21	20	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
22	15, 21	mpteq12dva 5139	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))
23	3, 10, 22	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4547   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   + caddc 10732   − cmin 11062  ℕ₀cn0 12090  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  ♯chash 13896  Word cword 14069   substr csubstr 14205   prefix cpfx 14235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-substr 14206  df-pfx 14236

This theorem is referenced by:  pfxres  14244  pfxf  14245  psgnunilem5  18886