MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxcl 14572
Description: Closure of the prefix extractor. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxcl (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxcl
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . 2 ((𝑆 prefix 𝐿) = ∅ → ((𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2 n0 4311 . . . 4 ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿))
3 df-pfx 14566 . . . . . 6 prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
43elmpocl2 7602 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
54exlimiv 1934 . . . 4 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
62, 5sylbi 216 . . 3 ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7 pfxval 14568 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8 swrdcl 14540 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
98adantr 482 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
107, 9eqeltrd 2838 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
116, 10sylan2 594 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
12 wrd0 14434 . . 3 ∅ ∈ Word 𝐴
1312a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
141, 11, 13pm2.61ne 3031 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  c0 4287  cop 4597  (class class class)co 7362  0cc0 11058  0cn0 12420  Word cword 14409   substr csubstr 14535   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  pfxfvlsw  14590  pfxeq  14591  ccatpfx  14596  lenrevpfxcctswrd  14607  wrdind  14617  wrd2ind  14618  pfxccatin12  14628  splcl  14647  spllen  14649  splfv1  14650  splfv2a  14651  splval2  14652  repswpfx  14680  cshwcl  14693  cshwlen  14694  cshwidxmod  14698  pfx2  14843  gsumspl  18661  psgnunilem5  19283  efgsres  19527  efgredleme  19532  efgredlemc  19534  efgcpbllemb  19544  frgpuplem  19561  wwlksm1edg  28868  wwlksnred  28879  wwlksnextwrd  28884  clwlkclwwlk  28988  clwwlkinwwlk  29026  clwwlkf  29033  wwlksubclwwlk  29044  pfxlsw2ccat  31848  wrdt2ind  31849  splfv3  31854  cycpmco2f1  32015  cycpmco2rn  32016  cycpmco2lem2  32018  cycpmco2lem3  32019  cycpmco2lem4  32020  cycpmco2lem5  32021  cycpmco2lem6  32022  cycpmco2  32024  signsvtn0  33222  signstfveq0  33229  revpfxsfxrev  33749  swrdrevpfx  33750  pfxwlk  33757  swrdwlk  33760
  Copyright terms: Public domain W3C validator