Theorem pfxcl 14751

Description: Closure of the prefix extractor. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxcl	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxcl

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2850	. 2 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) = ∅ → ((𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2		n0 4303	. . . 4 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿))
3		df-pfx 14745	. . . . . 6 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
4	3	elmpocl2 7661	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6	2, 5	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7		pfxval 14747	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		swrdcl 14717	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
10	7, 9	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
11	6, 10	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
12		wrd0 14608	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
14	1, 11, 13	pm2.61ne 3042	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ⟨cop 4593  (class class class)co 7417  0cc0 11128  ℕ₀cn0 12532  Word cword 14582   substr csubstr 14712   prefix cpfx 14744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-substr 14713  df-pfx 14745

This theorem is used by:  pfxfvlsw  14768  pfxeq  14769  ccatpfx  14774  lenrevpfxcctswrd  14785  wrdind  14795  wrd2ind  14796  pfxccatin12  14806  splcl  14825  spllen  14827  splfv1  14828  splfv2a  14829  splval2  14830  revpfxsfxrev  14841  swrdrevpfx  14842  repswpfx  14860  cshwcl  14873  cshwlen  14874  cshwidxmod  14878  pfx2  15022  pfxchn  18704  gsumspl  18959  psgnunilem5  19627  efgsres  19871  efgredleme  19876  efgredlemc  19878  efgcpbllemb  19888  frgpuplem  19905  pfxwlk  30153  swrdwlk  30155  wwlksm1edg  30357  wwlksnred  30368  wwlksnextwrd  30373  clwlkclwwlk  30480  clwwlkinwwlk  30518  clwwlkf  30525  wwlksubclwwlk  30536  pfxlsw2ccat  33400  wrdt2ind  33403  splfv3  33406  gsumwrd2dccatlem  33525  gsumwrd2dccat  33526  cycpmco2f1  33572  cycpmco2rn  33573  cycpmco2lem2  33575  cycpmco2lem3  33576  cycpmco2lem4  33577  cycpmco2lem5  33578  cycpmco2lem6  33579  cycpmco2  33581  elrgspnlem2  33691  1arithidomlem1  33953  signsvtn0  35086  signstfveq0  35093