Theorem pfxcl 14601

Description: Closure of the prefix extractor. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxcl	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxcl

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2824	. 2 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) = ∅ → ((𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2		n0 4305	. . . 4 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿))
3		df-pfx 14595	. . . . . 6 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
4	3	elmpocl2 7601	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6	2, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7		pfxval 14597	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		swrdcl 14569	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
10	7, 9	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
11	6, 10	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
12		wrd0 14462	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
14	1, 11, 13	pm2.61ne 3017	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ⟨cop 4586  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  Word cword 14436   substr csubstr 14564   prefix cpfx 14594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-substr 14565  df-pfx 14595

This theorem is referenced by:  pfxfvlsw  14618  pfxeq  14619  ccatpfx  14624  lenrevpfxcctswrd  14635  wrdind  14645  wrd2ind  14646  pfxccatin12  14656  splcl  14675  spllen  14677  splfv1  14678  splfv2a  14679  splval2  14680  repswpfx  14708  cshwcl  14721  cshwlen  14722  cshwidxmod  14726  pfx2  14870  pfxchn  18533  gsumspl  18769  psgnunilem5  19423  efgsres  19667  efgredleme  19672  efgredlemc  19674  efgcpbllemb  19684  frgpuplem  19701  wwlksm1edg  29954  wwlksnred  29965  wwlksnextwrd  29970  clwlkclwwlk  30077  clwwlkinwwlk  30115  clwwlkf  30122  wwlksubclwwlk  30133  pfxlsw2ccat  33032  wrdt2ind  33035  splfv3  33040  gsumwrd2dccatlem  33159  gsumwrd2dccat  33160  cycpmco2f1  33206  cycpmco2rn  33207  cycpmco2lem2  33209  cycpmco2lem3  33210  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2  33215  elrgspnlem2  33325  1arithidomlem1  33616  signsvtn0  34727  signstfveq0  34734  revpfxsfxrev  35310  swrdrevpfx  35311  pfxwlk  35318  swrdwlk  35321