Theorem pfxcl 14631

Description: Closure of the prefix extractor. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxcl	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxcl

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. 2 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) = ∅ → ((𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2		n0 4294	. . . 4 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿))
3		df-pfx 14625	. . . . . 6 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
4	3	elmpocl2 7603	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6	2, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7		pfxval 14627	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		swrdcl 14599	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
10	7, 9	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
11	6, 10	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
12		wrd0 14492	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
14	1, 11, 13	pm2.61ne 3018	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  Word cword 14466   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-substr 14595  df-pfx 14625

This theorem is referenced by:  pfxfvlsw  14648  pfxeq  14649  ccatpfx  14654  lenrevpfxcctswrd  14665  wrdind  14675  wrd2ind  14676  pfxccatin12  14686  splcl  14705  spllen  14707  splfv1  14708  splfv2a  14709  splval2  14710  repswpfx  14738  cshwcl  14751  cshwlen  14752  cshwidxmod  14756  pfx2  14900  pfxchn  18567  gsumspl  18803  psgnunilem5  19460  efgsres  19704  efgredleme  19709  efgredlemc  19711  efgcpbllemb  19721  frgpuplem  19738  wwlksm1edg  29964  wwlksnred  29975  wwlksnextwrd  29980  clwlkclwwlk  30087  clwwlkinwwlk  30125  clwwlkf  30132  wwlksubclwwlk  30143  pfxlsw2ccat  33025  wrdt2ind  33028  splfv3  33033  gsumwrd2dccatlem  33153  gsumwrd2dccat  33154  cycpmco2f1  33200  cycpmco2rn  33201  cycpmco2lem2  33203  cycpmco2lem3  33204  cycpmco2lem4  33205  cycpmco2lem5  33206  cycpmco2lem6  33207  cycpmco2  33209  elrgspnlem2  33319  1arithidomlem1  33610  signsvtn0  34730  signstfveq0  34737  revpfxsfxrev  35314  swrdrevpfx  35315  pfxwlk  35322  swrdwlk  35325