Theorem pfxccatpfx1 14689

Description: A prefix of a concatenation being a prefix of the first concatenated word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx1	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxccatpfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfznn0 13565	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13569	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
6	5	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
7	6	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
8	7	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9	4, 8	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
10	9	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
11		swrdccatin1 14678	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	1, 10, 11	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
13		ccatcl 14527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
14	13	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
15	2	3ad2ant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	14, 15	jca 516	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
17		pfxval 14627	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
19		pfxval 14627	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
20	2, 19	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	20	3adant2 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	12, 18, 21	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14691  pfxccatid  14694