Theorem pfxccatpfx1 14704

Description: A prefix of a concatenation being a prefix of the first concatenated word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx1	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxccatpfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfznn0 13612	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13616	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
6	5	oveq2i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
7	6	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
8	7	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9	4, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
10	9	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
11		swrdccatin1 14693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	1, 10, 11	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
13		ccatcl 14542	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
14	13	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
15	2	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	14, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
17		pfxval 14641	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
19		pfxval 14641	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
20	2, 19	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	20	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	12, 18, 21	3eqtr4d 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12488  ...cfz 13502  ♯chash 14307  Word cword 14482   ++ cconcat 14538   substr csubstr 14608   prefix cpfx 14638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-substr 14609  df-pfx 14639

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14706  pfxccatid  14709