Theorem pfxccatpfx1 14769

Description: A prefix of a concatenation being a prefix of the first concatenated word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx1	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxccatpfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfznn0 13644	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13648	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
6	5	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
7	6	eleq2i 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
8	7	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9	4, 8	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
10	9	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
11		swrdccatin1 14758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	1, 10, 11	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
13		ccatcl 14607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
14	13	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
15	2	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	14, 15	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
17		pfxval 14707	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
19		pfxval 14707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
20	2, 19	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	20	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	12, 18, 21	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ♯chash 14362  Word cword 14546   ++ cconcat 14603   substr csubstr 14674   prefix cpfx 14704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-substr 14675  df-pfx 14705

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14771  pfxccatid  14774