Theorem pfxccatpfx1 14701

Description: A prefix of a concatenation being a prefix of the first concatenated word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx1	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxccatpfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfznn0 13581	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
6	5	oveq2i 7398	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
7	6	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9	4, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐿) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
11		swrdccatin1 14690	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	1, 10, 11	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
13		ccatcl 14539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
14	13	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
15	2	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	14, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
17		pfxval 14638	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
19		pfxval 14638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
20	2, 19	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	20	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	12, 18, 21	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14703  pfxccatid  14706