MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxnd 14639
Description: The value of a prefix operation for a length argument larger than the word length is the empty set. (This is due to our definition of function values for out-of-domain arguments, see ndmfv 6917). (Contributed by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxnd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Proof of Theorem pfxnd
StepHypRef Expression
1 pfxval 14625 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
213adant3 1129 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
4 0zd 12569 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
5 nn0z 12582 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
653ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
73, 4, 63jca 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
8 3mix3 1329 . . . 4 ((♯‘𝑊) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿))
983ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿))
10 swrdnd 14606 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
117, 9, 10sylc 65 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
122, 11eqtrd 2764 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4315  cop 4627   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107   < clt 11247  cle 11248  0cn0 12471  cz 12557  chash 14291  Word cword 14466   substr csubstr 14592   prefix cpfx 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-substr 14593  df-pfx 14623
This theorem is referenced by:  pfxnd0  14640
  Copyright terms: Public domain W3C validator