Theorem pfxnd 14634

Description: The value of a prefix operation for a length argument larger than the word length is the empty set. (This is due to our definition of function values for out-of-domain arguments, see ndmfv 6924). (Contributed by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxnd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Proof of Theorem pfxnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxval 14620	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
4		0zd 12567	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
5		nn0z 12580	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
7	3, 4, 6	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
8		3mix3 1333	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) < 𝐿 → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿))
9	8	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿))
10		swrdnd 14601	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅))
11	7, 9, 10	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅)
12	2, 11	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4322  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107   < clt 11245   ≤ cle 11246  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ♯chash 14287  Word cword 14461   substr csubstr 14587   prefix cpfx 14617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-substr 14588  df-pfx 14618

This theorem is referenced by:  pfxnd0  14635