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Theorem swrdccat 13743
Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))

Proof of Theorem swrdccat
StepHypRef Expression
1 swrdccatin2.l . . . . 5 𝐿 = (♯‘𝐴)
21pfxccat3 13741 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))))
32imp 395 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
4 lencl 13505 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
61eqcomi 2774 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) = 𝐿
76eleq1i 2835 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
8 elfz2nn0 12638 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
9 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
1110opeq2d 4566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
1211oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
13 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = (𝑀𝐿))
1413opeq1d 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
1514oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
17 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
18 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
19 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 zsubcl 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
2220, 21sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
23 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25 zsubcl 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2624, 25sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2722, 26jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2818, 27sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2917, 28anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
30 3anass 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
3129, 30sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
3231ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
33 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
34 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3533, 34anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
37 subge0 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
3837adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
41 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4440, 41, 433jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
45 letr 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4746expcomd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀 → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4838, 47sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5035, 36, 49syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5251imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀))
5352impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → 𝑁𝑀)
5434adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5633adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5836adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
5955, 57, 583jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6160ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
62 lesub1 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6453, 63mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿))
65 swrdlend 13633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
6632, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
6716, 66eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
68 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
6968opeq1d 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
7069oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
7117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
73 0zd 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 0 ∈ ℤ)
7424, 18, 25syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7772, 73, 763jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
7854, 36anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
80 suble0 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8281biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ≤ 0)
83 swrdlend 13633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
8477, 82, 83sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8570, 84sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8667, 85pm2.61ian 846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8712, 86oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅))
88 swrdcl 13620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
89 ccatrid 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9487, 93eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
95 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
96953ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
9796opeq2d 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
9897oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
99 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
10099, 20, 183anim123i 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
1011003expb 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
102 swrdlend 13633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
104103imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
1051043adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
10698, 105eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = ∅)
10756, 36, 37syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
108107biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
109108adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
110109imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
1111103adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
112111, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
113112oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
114106, 113oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
115 swrdcl 13620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
117 ccatlid 13557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1201193ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
121114, 120eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
122953ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
123122opeq2d 4566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
124123oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
12533, 36, 37syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
126125adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
127126adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
128127biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝐿𝑀))
129128con3dimp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
1301293adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
131130, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
132131opeq1d 4565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
133132oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
134713ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
135 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
136 simprlr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
137136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13878ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
139 ltnle 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
140139bicomd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁𝐿𝐿 < 𝑁))
141 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁𝐿𝑁))
142140, 141sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
143138, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
145144imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝐿𝑁)
146135, 137, 1453jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → (𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿𝑁))
147 nn0sub2 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
1491483adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
150134, 149jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
151 pfxval 13663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℕ0) → (𝐵 prefix (𝑁𝐿)) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix (𝑁𝐿)) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
153152eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))
154133, 153eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))
155124, 154oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
15694, 121, 1552if2 4296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
157156exp32 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
158157com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1591583adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1608, 159sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
161160adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
162161com13 88 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1637, 162sylbi 208 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1645, 163mpcom 38 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))))
165164imp 395 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
1663, 165eqtr4d 2802 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)))
167166ex 401 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4079  ifcif 4243  cop 4340   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533  chash 13321  Word cword 13486   ++ cconcat 13541   substr csubstr 13616   prefix cpfx 13661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-concat 13542  df-substr 13617  df-pfx 13662
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