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Theorem swrdccat 14092
Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))

Proof of Theorem swrdccat
StepHypRef Expression
1 swrdccatin2.l . . . . 5 𝐿 = (♯‘𝐴)
21pfxccat3 14091 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))))
32imp 407 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
4 lencl 13878 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
61eqcomi 2835 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) = 𝐿
76eleq1i 2908 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
8 elfz2nn0 12993 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
9 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
1110opeq2d 4809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
1211oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
13 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = (𝑀𝐿))
1413opeq1d 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
1514oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
18 nn0z 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
19 nn0z 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 zsubcl 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
2220, 21sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
23 nn0z 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25 zsubcl 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2624, 25sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2722, 26jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2818, 27sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2917, 28anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
30 3anass 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
3129, 30sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
3231ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
33 nn0re 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
34 nn0re 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3533, 34anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36 nn0re 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
37 subge0 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
3837adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
41 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
44 letr 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4645expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀 → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4738, 46sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4847com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
4935, 36, 48syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5150imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀))
5251impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → 𝑁𝑀)
5334adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5533adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
5854, 56, 573jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6059ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
61 lesub1 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6352, 62mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿))
64 swrdlend 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
6532, 63, 64sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
6616, 65eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
67 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
6867opeq1d 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
6968oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
7017adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
72 0zd 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 0 ∈ ℤ)
7324, 18, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7671, 72, 753jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
7753, 36anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
79 suble0 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8180biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ≤ 0)
82 swrdlend 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
8376, 81, 82sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8469, 83sylan9eq 2881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8566, 84pm2.61ian 808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8612, 85oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅))
87 swrdcl 14002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
88 ccatrid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9386, 92eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
94 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
95943ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
9695opeq2d 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
9796oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
98 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
9998, 20, 183anim123i 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
100993expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
101 swrdlend 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
103102imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
1041033adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
10597, 104eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = ∅)
10655, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
107106biimprd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
109108imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
1101093adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
111110, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
112111oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
113105, 112oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
114 swrdcl 14002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
115114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
116 ccatlid 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1191183ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
120113, 119eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
121943ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
122121opeq2d 4809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
123122oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
12433, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
125124adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
126125adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
127126biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝐿𝑀))
128127con3dimp 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
1291283adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
130129, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
131130opeq1d 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
132131oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
133703ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
134 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
135 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
137 ltnle 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
138 ltle 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁𝐿𝑁))
139137, 138sylbird 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
14036, 53, 139syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
141140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (¬ 𝑁𝐿𝐿𝑁))
142141imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → 𝐿𝑁)
143 nn0sub2 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
144134, 136, 142, 143syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
1451443adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
146133, 145jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
147 pfxval 14030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℕ0) → (𝐵 prefix (𝑁𝐿)) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix (𝑁𝐿)) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
149132, 148eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))
150123, 149oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
15193, 120, 1502if2 4523 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
152151exp32 421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
153152com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1541533adant3 1126 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1558, 154sylbi 218 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
156155adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
157156com13 88 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1587, 157sylbi 218 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))))
1595, 158mpcom 38 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))))
160159imp 407 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
1613, 160eqtr4d 2864 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)))
162161ex 413 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  c0 4295  ifcif 4470  cop 4570   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  0cn0 11891  cz 11975  ...cfz 12887  chash 13685  Word cword 13856   ++ cconcat 13917   substr csubstr 13997   prefix cpfx 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-substr 13998  df-pfx 14028
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