Theorem swrdccat 14088

Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩))))

Proof of Theorem swrdccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
2	1	pfxccat3 14087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
3	2	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
4		lencl 13876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
6	1	eqcomi 2807	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝐿
7	6	eleq1i 2880	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0)
8		elfz2nn0 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
9		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ≤ 𝐿 → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
10	9	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
11	10	opeq2d 4772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
12	11	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
13		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = (𝑀 − 𝐿))
14	13	opeq1d 4771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)
15	14	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
17		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
18		nn0z 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
19		nn0z 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
22	20, 21	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
23		nn0z 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25		zsubcl 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
26	24, 25	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
27	22, 26	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
28	18, 27	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
29	17, 28	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)))
30		3anass 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)))
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
32	31	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
33		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
34		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
35	33, 34	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
37		subge0 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀))
38	37	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀))
39		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
41		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
44		letr 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
45	40, 41, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
46	45	expcomd 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝐿 → 𝑁 ≤ 𝑀)))
47	38, 46	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝑁 ≤ 𝐿 → 𝑁 ≤ 𝑀)))
48	47	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀)))
49	35, 36, 48	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀)))
50	49	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀)))
51	50	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))
52	51	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
53	34	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
57	36	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
58	54, 56, 57	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
59	58	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
61		lesub1 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿)))
63	52, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿))
64		swrdlend 14006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅))
65	32, 63, 64	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅)
66	16, 65	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅)
67		iffalse 4434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = 0)
68	67	opeq1d 4771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)
69	68	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩))
70	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
71	70	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
72		0zd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
73	24, 18, 25	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
74	73	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
75	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
76	71, 72, 75	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
77	53, 36	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
78	77	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
79		suble0 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝐿))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝐿))
81	80	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ≤ 0)
82		swrdlend 14006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅))
83	76, 81, 82	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅)
84	69, 83	sylan9eq 2853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅)
85	66, 84	pm2.61ian 811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = ∅)
86	12, 85	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅))
87		swrdcl 13998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
88		ccatrid 13932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
90	89	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
91	90	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
92	91	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
93	86, 92	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
94		iffalse 4434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
95	94	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
96	95	opeq2d 4772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
97	96	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
98		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
99	98, 20, 18	3anim123i 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
100	99	3expb 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
101		swrdlend 14006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
103	102	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
104	103	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
105	97, 104	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = ∅)
106	55, 36, 37	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀))
107	106	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ 𝑀 → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)))
108	107	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ≤ 𝑀 → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)))
109	108	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))
110	109	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))
111	110, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)
112	111	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
113	105, 112	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
114		swrdcl 13998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
115	114	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
116		ccatlid 13931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
118	117	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
119	118	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
120	113, 119	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
121	94	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
122	121	opeq2d 4772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
123	122	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
124	33, 36, 37	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀))
125	124	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀))
126	125	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀))
127	126	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑀))
128	127	con3dimp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))
129	128	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))
130	129, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = 0)
131	130	opeq1d 4771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)
132	131	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩))
133	70	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
134		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
135		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
136	135	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℕ0)
137		ltnle 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿))
138		ltle 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 → 𝐿 ≤ 𝑁))
139	137, 138	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → 𝐿 ≤ 𝑁))
140	36, 53, 139	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → 𝐿 ≤ 𝑁))
141	140	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → 𝐿 ≤ 𝑁))
142	141	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
143		nn0sub2 12031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
144	134, 136, 142, 143	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
145	144	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
146	133, 145	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
147		pfxval 14026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0) → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩))
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩))
149	132, 148	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩) = (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))
150	123, 149	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
151	93, 120, 150	2if2 4478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
152	151	exp32 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
153	152	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
154	153	3adant3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
155	8, 154	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
156	155	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
157	156	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
158	7, 157	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))))
159	5, 158	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
160	159	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
161	3, 160	eqtr4d 2836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
162	161	ex 416	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)⟩))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  ifcif 4425  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ♯chash 13686  Word cword 13857   ++ cconcat 13913   substr csubstr 13993   prefix cpfx 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024

This theorem is referenced by: (None)