Proof of Theorem swrdccat
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | swrdccatin2.l |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴) |
| 2 | 1 | pfxccat3 14772 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))) |
| 3 | 2 | imp 406 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) |
| 4 | | lencl 14571 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈
ℕ0) |
| 5 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐴) ∈
ℕ0) |
| 6 | 1 | eqcomi 2746 |
. . . . . . 7
⊢
(♯‘𝐴) =
𝐿 |
| 7 | 6 | eleq1i 2832 |
. . . . . 6
⊢
((♯‘𝐴)
∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈
ℕ0) |
| 8 | | elfz2nn0 13658 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) |
| 9 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ≤ 𝐿 → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁) |
| 10 | 9 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁) |
| 11 | 10 | opeq2d 4880 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉 = 〈𝑀, 𝑁〉) |
| 12 | 11 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 13 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = (𝑀 − 𝐿)) |
| 14 | 13 | opeq1d 4879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) |
| 15 | 14 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 17 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
| 18 | | nn0z 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℤ) |
| 19 | | nn0z 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℤ) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 21 | | zsubcl 12659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 22 | 20, 21 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 23 | | nn0z 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
| 24 | 23 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 25 | | zsubcl 12659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 26 | 24, 25 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 27 | 22, 26 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
| 28 | 18, 27 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
| 29 | 17, 28 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))) |
| 30 | | 3anass 1095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))) |
| 31 | 29, 30 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
| 32 | 31 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
| 33 | | nn0re 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
| 34 | | nn0re 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
| 35 | 33, 34 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) |
| 36 | | nn0re 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℝ) |
| 37 | | subge0 11776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 38 | 37 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 39 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 40 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 41 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈
ℝ) |
| 42 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈
ℝ) |
| 43 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈
ℝ) |
| 44 | | letr 11355 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)) |
| 45 | 40, 41, 43, 44 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)) |
| 46 | 45 | expcomd 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝐿 → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
| 47 | 38, 46 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → (𝑁 ≤ 𝐿 → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
| 48 | 47 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
| 49 | 35, 36, 48 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
| 50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
| 51 | 50 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀)) |
| 52 | 51 | impcom 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ≤ 𝑀) |
| 53 | 34 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 55 | 33 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ) |
| 56 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈
ℝ) |
| 57 | 36 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈
ℝ) |
| 58 | 54, 56, 57 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ)) |
| 59 | 58 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
| 60 | 59 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
| 61 | | lesub1 11757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
| 62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
| 63 | 52, 62 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
| 64 | | swrdlend 14691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅)) |
| 65 | 32, 63, 64 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
| 66 | 16, 65 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
| 67 | | iffalse 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = 0) |
| 68 | 67 | opeq1d 4879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) |
| 69 | 68 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 70 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
| 71 | 70 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
| 72 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 0 ∈ ℤ) |
| 73 | 24, 18, 25 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 74 | 73 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 75 | 74 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
| 76 | 71, 72, 75 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
| 77 | 53, 36 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ)) |
| 78 | 77 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
| 79 | | suble0 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
| 80 | 78, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
| 81 | 80 | biimpar 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ≤ 0) |
| 82 | | swrdlend 14691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅)) |
| 83 | 76, 81, 82 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
| 84 | 69, 83 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
| 85 | 66, 84 | pm2.61ian 812 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
| 86 | 12, 85 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅)) |
| 87 | | swrdcl 14683 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ∈ Word 𝑉) |
| 88 | | ccatrid 14625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 89 | 87, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 90 | 89 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 91 | 90 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 92 | 91 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 93 | 86, 92 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
| 94 | | iffalse 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬
𝑁 ≤ 𝐿 → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿) |
| 95 | 94 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿) |
| 96 | 95 | opeq2d 4880 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉 = 〈𝑀, 𝐿〉) |
| 97 | 96 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) |
| 98 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉) |
| 99 | 98, 20, 18 | 3anim123i 1152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) |
| 100 | 99 | 3expb 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) |
| 101 | | swrdlend 14691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅)) |
| 102 | 100, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅)) |
| 103 | 102 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅) |
| 104 | 103 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅) |
| 105 | 97, 104 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = ∅) |
| 106 | 55, 36, 37 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 107 | 106 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ 𝑀 → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
| 108 | 107 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐿 ≤ 𝑀 → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
| 109 | 108 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
| 110 | 109 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
| 111 | 110, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) |
| 112 | 111 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 113 | 105, 112 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉))) |
| 114 | | swrdcl 14683 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) ∈ Word 𝑉) |
| 115 | 114 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) ∈ Word 𝑉) |
| 116 | | ccatlid 14624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 117 | 115, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 118 | 117 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 119 | 118 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 120 | 113, 119 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 121 | 94 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿) |
| 122 | 121 | opeq2d 4880 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉 = 〈𝑀, 𝐿〉) |
| 123 | 122 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) |
| 124 | 33, 36, 37 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 125 | 124 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 126 | 125 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 127 | 126 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑀)) |
| 128 | 127 | con3dimp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
| 129 | 128 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
| 130 | 129, 67 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = 0) |
| 131 | 130 | opeq1d 4879 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) |
| 132 | 131 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 133 | 70 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
| 134 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈
ℕ0) |
| 135 | | simprlr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 136 | 135 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 137 | | ltnle 11340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
| 138 | | ltle 11349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 → 𝐿 ≤ 𝑁)) |
| 139 | 137, 138 | sylbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬
𝑁 ≤ 𝐿 → 𝐿 ≤ 𝑁)) |
| 140 | 36, 53, 139 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬
𝑁 ≤ 𝐿 → 𝐿 ≤ 𝑁)) |
| 141 | 140 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → 𝐿 ≤ 𝑁)) |
| 142 | 141 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁) |
| 143 | | nn0sub2 12679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0 ∧ 𝐿
≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
| 144 | 134, 136,
142, 143 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
| 145 | 144 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
| 146 | 133, 145 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
| 147 | | pfxval 14711 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0) → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) = (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 148 | 146, 147 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) = (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)) |
| 149 | 132, 148 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) |
| 150 | 123, 149 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))) |
| 151 | 93, 120, 150 | 2if2 4581 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) |
| 152 | 151 | exp32 420 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐿 ∈
ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 153 | 152 | com12 32 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 154 | 153 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 155 | 8, 154 | sylbi 217 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 156 | 155 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 157 | 156 | com13 88 |
. . . . . 6
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ ((𝐴 ∈ Word
𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 158 | 7, 157 | sylbi 217 |
. . . . 5
⊢
((♯‘𝐴)
∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))) |
| 159 | 5, 158 | mpcom 38 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))) |
| 160 | 159 | imp 406 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) |
| 161 | 3, 160 | eqtr4d 2780 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉))) |
| 162 | 161 | ex 412 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)))) |