Theorem pfxfv 14874

Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem pfxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13794	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14865	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
5	4	fveq1d 6918	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		0elfz 13798	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
8	1, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
9	8	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	1	nn0cnd 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	12	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
14	13	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
15	14	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
16	15	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18	17	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19		swrdfv 14838	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
20	6, 9, 10, 18, 19	syl31anc 1401	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21		elfzoelz 13833	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12844	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
23	22	addridd 11549	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
25	24	fveq2d 6920	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊‘𝐼))
26	5, 20, 25	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239   + caddc 11242   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699   substr csubstr 14830   prefix cpfx 14862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-substr 14831  df-pfx 14863

This theorem is used by:  pfxid  14876  pfxfv0  14883  pfxtrcfv  14884  pfxfvlsw  14886  pfxeq  14887  ccatpfx  14892  pfxccatin12lem2  14922  splfv1  14946  revpfxsfxrev  14959  repswpfx  14978  cshwidxmod  14996  pfx2  15141  pfxchn  18834  chnlt  18847  wwlksm1edg  30527  wwlksnred  30538  clwwlkinwwlk  30688  clwwlkf  30695  wwlksubclwwlk  30706  dlwwlknondlwlknonf1olem1  31022  cycpmco2  33793  chnerlem2  48166