MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxfv 14611
Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxfv ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem pfxfv
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13573 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2 pfxval 14602 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31, 2sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
433adant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
54fveq1d 6877 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6 simp1 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7 0elfz 13577 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
983ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10 simp2 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
111nn0cnd 12513 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
1211subid1d 11539 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
1312eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
1413oveq2d 7406 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
1514eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1615biimpd 228 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1716a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18173imp 1111 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19 swrdfv 14577 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
206, 9, 10, 18, 19syl31anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21 elfzoelz 13611 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
2221zcnd 12646 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
2322addridd 11393 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24233ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2524fveq2d 6879 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊𝐼))
265, 20, 253eqtrd 2775 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4625  cfv 6529  (class class class)co 7390  0cc0 11089   + caddc 11092  cmin 11423  0cn0 12451  ...cfz 13463  ..^cfzo 13606  chash 14269  Word cword 14443   substr csubstr 14569   prefix cpfx 14599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-hash 14270  df-word 14444  df-substr 14570  df-pfx 14600
This theorem is referenced by:  pfxid  14613  pfxfv0  14621  pfxtrcfv  14622  pfxfvlsw  14624  pfxeq  14625  ccatpfx  14630  pfxccatin12lem2  14660  splfv1  14684  repswpfx  14714  cshwidxmod  14732  pfx2  14877  wwlksm1edg  28995  wwlksnred  29006  clwwlkinwwlk  29153  clwwlkf  29160  wwlksubclwwlk  29171  dlwwlknondlwlknonf1olem1  29477  cycpmco2  32158  revpfxsfxrev  33921
  Copyright terms: Public domain W3C validator