Theorem pfxfv 14609

Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem pfxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13571	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14600	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
5	4	fveq1d 6875	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		0elfz 13575	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
9	8	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	1	nn0cnd 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	12	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
14	13	oveq2d 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
15	14	eleq2d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
16	15	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18	17	3imp 1111	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19		swrdfv 14575	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
20	6, 9, 10, 18, 19	syl31anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21		elfzoelz 13609	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12644	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
23	22	addridd 11391	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
25	24	fveq2d 6877	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊‘𝐼))
26	5, 20, 25	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4623  ‘cfv 6527  (class class class)co 7388  0cc0 11087   + caddc 11090   − cmin 11421  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13461  ..^cfzo 13604  ♯chash 14267  Word cword 14441   substr csubstr 14567   prefix cpfx 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5273  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-int 4939  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8681  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-fin 8921  df-card 9911  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-nn 12190  df-n0 12450  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13462  df-fzo 13605  df-hash 14268  df-word 14442  df-substr 14568  df-pfx 14598

This theorem is referenced by:  pfxid  14611  pfxfv0  14619  pfxtrcfv  14620  pfxfvlsw  14622  pfxeq  14623  ccatpfx  14628  pfxccatin12lem2  14658  splfv1  14682  repswpfx  14712  cshwidxmod  14730  pfx2  14875  wwlksm1edg  28946  wwlksnred  28957  clwwlkinwwlk  29104  clwwlkf  29111  wwlksubclwwlk  29122  dlwwlknondlwlknonf1olem1  29428  cycpmco2  32109  revpfxsfxrev  33872