Theorem pfxfv 14590

Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem pfxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13520	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14581	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
5	4	fveq1d 6824	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		0elfz 13524	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
9	8	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	1	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	12	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
14	13	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
15	14	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
16	15	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18	17	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19		swrdfv 14556	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
20	6, 9, 10, 18, 19	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21		elfzoelz 13559	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
23	22	addridd 11313	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
25	24	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊‘𝐼))
26	5, 20, 25	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   substr csubstr 14548   prefix cpfx 14578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-substr 14549  df-pfx 14579

This theorem is referenced by:  pfxid  14592  pfxfv0  14599  pfxtrcfv  14600  pfxfvlsw  14602  pfxeq  14603  ccatpfx  14608  pfxccatin12lem2  14638  splfv1  14662  repswpfx  14692  cshwidxmod  14710  pfx2  14854  pfxchn  18516  chnlt  18529  wwlksm1edg  29859  wwlksnred  29870  clwwlkinwwlk  30020  clwwlkf  30027  wwlksubclwwlk  30038  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30344  cycpmco2  33102  revpfxsfxrev  35160  chnerlem2  46980