Theorem pfxfv 14614

Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem pfxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13576	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		pfxval 14605	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
5	4	fveq1d 6880	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		0elfz 13580	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
9	8	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	1	nn0cnd 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
13	12	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
14	13	oveq2d 7409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
15	14	eleq2d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
16	15	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18	17	3imp 1111	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19		swrdfv 14580	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
20	6, 9, 10, 18, 19	syl31anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21		elfzoelz 13614	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12649	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
23	22	addridd 11396	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
25	24	fveq2d 6882	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊‘𝐼))
26	5, 20, 25	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4628  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092   + caddc 11095   − cmin 11426  ℕ₀cn0 12454  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  ♯chash 14272  Word cword 14446   substr csubstr 14572   prefix cpfx 14602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-substr 14573  df-pfx 14603

This theorem is referenced by:  pfxid  14616  pfxfv0  14624  pfxtrcfv  14625  pfxfvlsw  14627  pfxeq  14628  ccatpfx  14633  pfxccatin12lem2  14663  splfv1  14687  repswpfx  14717  cshwidxmod  14735  pfx2  14880  wwlksm1edg  29000  wwlksnred  29011  clwwlkinwwlk  29158  clwwlkf  29165  wwlksubclwwlk  29176  dlwwlknondlwlknonf1olem1  29482  cycpmco2  32163  revpfxsfxrev  33937