MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatpfx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatpfx2 14776
Description: A prefix of a concatenation of two words being the first word concatenated with a prefix of the second word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
pfxccatpfx2.m 𝑀 = (♯‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
pfxccatpfx2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatpfx2
StepHypRef Expression
1 ccatcl 14613 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
213adant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
3 swrdccatin2.l . . . . . . 7 𝐿 = (♯‘𝐴)
4 lencl 14572 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
53, 4eqeltrid 2844 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0)
6 elfzuz 13561 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
7 peano2nn0 12568 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
87anim1i 615 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
95, 6, 8syl2an 596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
1093adant2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
11 eluznn0 12960 . . . 4 (((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 pfxval 14712 . . 3 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
142, 12, 13syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
15 3simpa 1148 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
1653ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 0elfz 13665 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 0 ∈ (0...𝐿))
194nn0zd 12641 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
203, 19eqeltrid 2844 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ)
2120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
22 uzid 12894 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
23 peano2uz 12944 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐿) → (𝐿 + 1) ∈ (ℤ𝐿))
24 fzss1 13604 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 1) ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
2521, 22, 23, 244syl 19 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
26 pfxccatpfx2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (♯‘𝐵)
2726eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐵) = 𝑀
2827oveq2i 7443 . . . . . . . 8 (𝐿 + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + 𝑀)
2928oveq2i 7443 . . . . . . 7 (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + 𝑀))
3025, 29sseqtrrdi 4024 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3130sseld 3981 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
32313impia 1117 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3318, 32jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
343pfxccatin12 14772 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
3515, 33, 34sylc 65 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
363opeq2i 4876 . . . . . 6 ⟨0, 𝐿⟩ = ⟨0, (♯‘𝐴)⟩
3736oveq2i 7443 . . . . 5 (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩)
38 pfxval 14712 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
394, 38mpdan 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
40 pfxid 14723 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
4139, 40eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩) = 𝐴)
4237, 41eqtrid 2788 . . . 4 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
43423ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
4443oveq1d 7447 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
4514, 35, 443eqtrd 2780 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  cop 4631  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609   substr csubstr 14679   prefix cpfx 14709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-substr 14680  df-pfx 14710
This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14777
  Copyright terms: Public domain W3C validator