MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatpfx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatpfx2 14771
Description: A prefix of a concatenation of two words being the first word concatenated with a prefix of the second word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
pfxccatpfx2.m 𝑀 = (♯‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
pfxccatpfx2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatpfx2
StepHypRef Expression
1 ccatcl 14608 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
213adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
3 swrdccatin2.l . . . . . . 7 𝐿 = (♯‘𝐴)
4 lencl 14567 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
53, 4eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0)
6 elfzuz 13556 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
7 peano2nn0 12563 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
87anim1i 615 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
95, 6, 8syl2an 596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
1093adant2 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
11 eluznn0 12956 . . . 4 (((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 pfxval 14707 . . 3 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
142, 12, 13syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
15 3simpa 1147 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
1653ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 0elfz 13660 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 0 ∈ (0...𝐿))
194nn0zd 12636 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
203, 19eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ)
2120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
22 uzid 12890 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
23 peano2uz 12940 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐿) → (𝐿 + 1) ∈ (ℤ𝐿))
24 fzss1 13599 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 1) ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
2521, 22, 23, 244syl 19 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
26 pfxccatpfx2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (♯‘𝐵)
2726eqcomi 2743 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐵) = 𝑀
2827oveq2i 7441 . . . . . . . 8 (𝐿 + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + 𝑀)
2928oveq2i 7441 . . . . . . 7 (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + 𝑀))
3025, 29sseqtrrdi 4046 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3130sseld 3993 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
32313impia 1116 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3318, 32jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
343pfxccatin12 14767 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
3515, 33, 34sylc 65 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
363opeq2i 4881 . . . . . 6 ⟨0, 𝐿⟩ = ⟨0, (♯‘𝐴)⟩
3736oveq2i 7441 . . . . 5 (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩)
38 pfxval 14707 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
394, 38mpdan 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
40 pfxid 14718 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
4139, 40eqtr3d 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩) = 𝐴)
4237, 41eqtrid 2786 . . . 4 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
43423ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
4443oveq1d 7445 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
4514, 35, 443eqtrd 2778 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  cop 4636  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cmin 11489  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  chash 14365  Word cword 14548   ++ cconcat 14604   substr csubstr 14674   prefix cpfx 14704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-substr 14675  df-pfx 14705
This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14772
  Copyright terms: Public domain W3C validator