Theorem pfxccatpfx2 14798

Description: A prefix of a concatenation of two words being the first word concatenated with a prefix of the second word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
pfxccatpfx2.m	⊢ 𝑀 = (♯‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatpfx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
3		swrdccatin2.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
4		lencl 14590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	3, 4	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		elfzuz 13566	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1)))
7		peano2nn0 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
8	7	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
9	5, 6, 8	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
10	9	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
11		eluznn0 12959	. . . 4 ⊢ (((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		pfxval 14735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
14	2, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
15		3simpa 1166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
16	5	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		0elfz 13671	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19	4	nn0zd 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
20	3, 19	eqeltrid 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ ℤ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
22		uzid 12895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
23		peano2uz 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐿 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
24		fzss1 13610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
25	21, 22, 23, 24	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
26		pfxccatpfx2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (♯‘𝐵)
27	26	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑀
28	27	oveq2i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + 𝑀)
29	28	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + 𝑀))
30	25, 29	sseqtrrdi 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
31	30	sseld 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
32	31	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
33	18, 32	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
34	3	pfxccatin12 14794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))
35	15, 33, 34	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
36	3	opeq2i 4844	. . . . . 6 ⊢ ⟨0, 𝐿⟩ = ⟨0, (♯‘𝐴)⟩
37	36	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩)
38		pfxval 14735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
39	4, 38	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
40		pfxid 14746	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
41	39, 40	eqtr3d 2802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩) = 𝐴)
42	37, 41	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
43	42	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
44	43	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
45	14, 35, 44	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ♯chash 14386  Word cword 14570   ++ cconcat 14627   substr csubstr 14700   prefix cpfx 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733

This theorem is used by:  pfxccat3a  14799