Theorem pfxccatpfx2 14785

Description: A prefix of a concatenation of two words being the first word concatenated with a prefix of the second word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
pfxccatpfx2.m	⊢ 𝑀 = (♯‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatpfx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
3		swrdccatin2.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
4		lencl 14581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	3, 4	eqeltrid 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		elfzuz 13580	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1)))
7		peano2nn0 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
8	7	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
9	5, 6, 8	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
10	9	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))))
11		eluznn0 12982	. . . 4 ⊢ (((𝐿 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		pfxval 14721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
14	2, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
15		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
16	5	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		0elfz 13681	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19	4	nn0zd 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
20	3, 19	eqeltrid 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
22		uzid 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
23		peano2uz 12966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐿 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
24		fzss1 13623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
25	21, 22, 23, 24	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
26		pfxccatpfx2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (♯‘𝐵)
27	26	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑀
28	27	oveq2i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + 𝑀)
29	28	oveq2i 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + 𝑀))
30	25, 29	sseqtrrdi 4060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
31	30	sseld 4007	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
32	31	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
33	18, 32	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
34	3	pfxccatin12 14781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))
35	15, 33, 34	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
36	3	opeq2i 4901	. . . . . 6 ⊢ ⟨0, 𝐿⟩ = ⟨0, (♯‘𝐴)⟩
37	36	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩)
38		pfxval 14721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
39	4, 38	mpdan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))
40		pfxid 14732	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
41	39, 40	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩) = 𝐴)
42	37, 41	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
43	42	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
44	43	oveq1d 7463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
45	14, 35, 44	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618   substr csubstr 14688   prefix cpfx 14718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  14786