Theorem pfxco 14993

Description: Mapping of words commutes with the prefix operation. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13757	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6	4, 5	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
7		swrdco 14992	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
8	6, 7	syld3an2 1438	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
9		pfxval 14827	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
10	1, 9	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
11	10	coeq2d 5839	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	11	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
13		ffun 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
14	13	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun 𝐹))
15	14	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
16	15	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
17		cofunexg 7961	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
19	18, 2	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
20		pfxval 14827	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	8, 12, 21	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟨cop 4834   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  ♯chash 14477  Word cword 14661   substr csubstr 14792   prefix cpfx 14824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-substr 14793  df-pfx 14825

This theorem is used by: (None)