Theorem pfxco 14791

Description: Mapping of words commutes with the prefix operation. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13565	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13569	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
7		swrdco 14790	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
8	6, 7	syld3an2 1414	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
9		pfxval 14627	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
10	1, 9	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
11	10	coeq2d 5811	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	11	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
13		ffun 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
14	13	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun 𝐹))
15	14	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
16	15	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
17		cofunexg 7895	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
19	18, 2	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
20		pfxval 14627	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	8, 12, 21	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ♯chash 14283  Word cword 14466   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-substr 14595  df-pfx 14625

This theorem is referenced by: (None)