Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxco 13960
 Description: Mapping of words commutes with the prefix operation. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹𝑊) prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxco
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12728 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
213ad2ant2 1170 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 0elfz 12732 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 0 ∈ (0...𝑁))
5 simp2 1173 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
64, 5jca 509 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
7 swrdco 13959 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
86, 7syld3an2 1537 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
9 pfxval 13753 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
101, 9sylan2 588 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
1110coeq2d 5518 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12113adant3 1168 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
13 ffun 6282 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
1413anim2i 612 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun 𝐹))
1514ancomd 455 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
16153adant2 1167 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
17 cofunexg 7393 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ V)
1918, 2jca 509 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
20 pfxval 13753 . . 3 (((𝐹𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
2119, 20syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
228, 12, 213eqtr4d 2872 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹𝑊) prefix 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415  ⟨cop 4404   ∘ ccom 5347  Fun wfun 6118  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  ℕ0cn0 11619  ...cfz 12620  ♯chash 13411  Word cword 13575   substr csubstr 13701   prefix cpfx 13750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-substr 13702  df-pfx 13751 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator