Theorem pfxco 14771

Description: Mapping of words commutes with the prefix operation. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		0elfz 13580	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 0 ∈ (0...𝑁))
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6	4, 5	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
7		swrdco 14770	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
8	6, 7	syld3an2 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
9		pfxval 14605	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
10	1, 9	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
11	10	coeq2d 5854	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12	11	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
13		ffun 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
14	13	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun 𝐹))
15	14	ancomd 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
16	15	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
17		cofunexg 7917	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
19	18, 2	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
20		pfxval 14605	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
22	8, 12, 21	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) prefix 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473  ⟨cop 4628   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6526  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  ℕ₀cn0 12454  ...cfz 13466  ♯chash 14272  Word cword 14446   substr csubstr 14572   prefix cpfx 14602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-substr 14573  df-pfx 14603

This theorem is referenced by: (None)