Theorem pfx1 14233

Description: The prefix of length one of a nonempty word expressed as a singleton word. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem pfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12071	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → 1 ∈ ℕ0)
3		pfxval 14203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 1) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩))
4	2, 3	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩))
5		1e0p1 12300	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
6	5	opeq2i 4774	. . . 4 ⊢ ⟨0, 1⟩ = ⟨0, (0 + 1)⟩
7	6	oveq2i 7202	. . 3 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩))
9		lennncl 14054	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
10		lbfzo0 13247	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12		swrds1 14196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
13	11, 12	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
14	4, 8, 13	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∅c0 4223  ⟨cop 4533  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055  ..^cfzo 13203  ♯chash 13861  Word cword 14034  ⟨“cs1 14117   substr csubstr 14170   prefix cpfx 14200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-s1 14118  df-substr 14171  df-pfx 14201

This theorem is referenced by:  wrdeqs1cat  14250  pfx1s2  30887