Theorem pfx1 14721

Description: The prefix of length one of a nonempty word expressed as a singleton word. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem pfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12517	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → 1 ∈ ℕ0)
3		pfxval 14691	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 1) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩))
4	2, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩))
5		1e0p1 12750	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
6	5	opeq2i 4853	. . . 4 ⊢ ⟨0, 1⟩ = ⟨0, (0 + 1)⟩
7	6	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩))
9		lennncl 14552	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
10		lbfzo0 13716	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12		swrds1 14684	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
13	11, 12	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
14	4, 8, 13	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  ⟨cop 4607  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  ⟨“cs1 14613   substr csubstr 14658   prefix cpfx 14688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689

This theorem is referenced by:  wrdeqs1cat  14738  pfx1s2  32914