Theorem pfx0 14651

Description: A prefix of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx0	⊢ (∅ prefix 𝐿) = ∅

Proof of Theorem pfx0

Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5708	. . . 4 ⊢ (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) ↔ (∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
2		pfxval 14649	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = (∅ substr ⟨0, 𝐿⟩))
3		swrd0 14634	. . . . 5 ⊢ (∅ substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
5	1, 4	sylbi 216	. . 3 ⊢ (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
6		df-pfx 14647	. . . 4 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
7		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
8	6, 7	dmmpo 8069	. . 3 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
9	5, 8	eleq2s 2847	. 2 ⊢ (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
10		df-ov 7417	. . 3 ⊢ (∅ prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨∅, 𝐿⟩)
11		ndmfv 6926	. . 3 ⊢ (¬ ⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → ( prefix ‘⟨∅, 𝐿⟩) = ∅)
12	10, 11	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (¬ ⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
13	9, 12	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ prefix 𝐿) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470  ∅c0 4318  ⟨cop 4630   × cxp 5670  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  ℕ₀cn0 12496   substr csubstr 14616   prefix cpfx 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-substr 14617  df-pfx 14647

This theorem is referenced by:  cshword  14767