Theorem pfx0 14737

Description: A prefix of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx0	⊢ (∅ prefix 𝐿) = ∅

Proof of Theorem pfx0

Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5702	. . . 4 ⊢ (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) ↔ (∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
2		pfxval 14735	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = (∅ substr ⟨0, 𝐿⟩))
3		swrd0 14720	. . . . 5 ⊢ (∅ substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
5	1, 4	sylbi 220	. . 3 ⊢ (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
6		df-pfx 14733	. . . 4 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
7		ovex 7456	. . . 4 ⊢ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
8	6, 7	dmmpo 8077	. . 3 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
9	5, 8	eleq2s 2884	. 2 ⊢ (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
10		df-ov 7426	. . 3 ⊢ (∅ prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨∅, 𝐿⟩)
11		ndmfv 6920	. . 3 ⊢ (¬ ⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → ( prefix ‘⟨∅, 𝐿⟩) = ∅)
12	10, 11	eqtrid 2813	. 2 ⊢ (¬ ⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
13	9, 12	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ prefix 𝐿) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∅c0 4289  ⟨cop 4600   × cxp 5664  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  ℕ₀cn0 12522   substr csubstr 14700   prefix cpfx 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-substr 14701  df-pfx 14733

This theorem is used by:  cshword  14854