MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfx0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfx0 13855
Description: A prefix of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfx0 (∅ prefix 𝐿) = ∅

Proof of Theorem pfx0
Dummy variables 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5439 . . . 4 (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) ↔ (∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
2 pfxval 13853 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = (∅ substr ⟨0, 𝐿⟩))
3 swrd0 13824 . . . . 5 (∅ substr ⟨0, 𝐿⟩) = ∅
42, 3syl6eq 2824 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
51, 4sylbi 209 . . 3 (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
6 df-pfx 13851 . . . 4 prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
7 ovex 7006 . . . 4 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
86, 7dmmpo 7575 . . 3 dom prefix = (V × ℕ0)
95, 8eleq2s 2878 . 2 (⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
10 df-ov 6977 . . 3 (∅ prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨∅, 𝐿⟩)
11 ndmfv 6526 . . 3 (¬ ⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → ( prefix ‘⟨∅, 𝐿⟩) = ∅)
1210, 11syl5eq 2820 . 2 (¬ ⟨∅, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → (∅ prefix 𝐿) = ∅)
139, 12pm2.61i 177 1 (∅ prefix 𝐿) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3409  c0 4172  cop 4441   × cxp 5401  dom cdm 5403  cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  0cn0 11705   substr csubstr 13801   prefix cpfx 13850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-substr 13802  df-pfx 13851
This theorem is referenced by:  cshword  14011
  Copyright terms: Public domain W3C validator