Theorem 2atm2atN 40509

Description: Two joins with a common atom have a nonzero meet. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atm2at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atm2at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atm2at.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atm2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atm2atN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2atm2atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 40086	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr3 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2atm2at.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
6		2atm2at.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	0ltat 40015	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
9		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		2atm2at.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13	11, 12, 6	hlatlej1 40099	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃))
14	9, 3, 10, 13	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃))
15		simpr2 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	11, 12, 6	hlatlej1 40099	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
17	9, 3, 15, 16	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
18		hllat 40087	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
20		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 6	atbase 40013	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
22	3, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 12, 6	hlatjcl 40091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
24	9, 3, 10, 23	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
25	20, 12, 6	hlatjcl 40091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
26	9, 3, 15, 25	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27		2atm2at.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
28	20, 11, 27	latlem12 18525	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
29	19, 22, 24, 26, 28	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
30	14, 17, 29	mpbi2and 724	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
31		hlpos 40090	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
33	20, 4	op0cl 39908	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
34	2, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 27	latmcl 18499	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
36	19, 24, 26, 35	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
37	20, 11, 5	pltletr 18400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅 ∧ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
38	32, 34, 22, 36, 37	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅 ∧ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
39	8, 30, 38	mp2and 711	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
40	20, 5, 4	opltn0 39914	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 ))
41	2, 36, 40	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 ))
42	39, 41	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  lecple 17320  Posetcpo 18366  ltcplt 18367  joincjn 18370  meetcmee 18371  0.cp0 18480  Latclat 18490  OPcops 39896  Atomscatm 39987  HLchlt 40074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18353  df-poset 18372  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18491  df-oposet 39900  df-ol 39902  df-oml 39903  df-covers 39990  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075

This theorem is referenced by: (None)