Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atm2atN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atm2atN 37422
Description: Two joins with a common atom have a nonzero meet. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2atm2at.j = (join‘𝐾)
2atm2at.m = (meet‘𝐾)
2atm2at.z 0 = (0.‘𝐾)
2atm2at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atm2atN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2atm2atN
StepHypRef Expression
1 hlop 36999 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
3 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
4 2atm2at.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
5 eqid 2738 . . . . 5 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
6 2atm2at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 60ltat 36928 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑅𝐴) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
82, 3, 7syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
9 simpl 486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
11 eqid 2738 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 2atm2at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
1311, 12, 6hlatlej1 37012 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃))
149, 3, 10, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃))
15 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
1611, 12, 6hlatlej1 37012 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑄𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
179, 3, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
18 hllat 37000 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1918adantr 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 6atbase 36926 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 12, 6hlatjcl 37004 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
249, 3, 10, 23syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
2520, 12, 6hlatjcl 37004 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑄𝐴) → (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
269, 3, 15, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27 2atm2at.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
2820, 11, 27latlem12 17804 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
2919, 22, 24, 26, 28syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
3014, 17, 29mpbi2and 712 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
31 hlpos 37003 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
3231adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
3320, 4op0cl 36821 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
342, 33syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
3520, 27latmcl 17778 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3619, 24, 26, 35syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3720, 11, 5pltletr 17697 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
3832, 34, 22, 36, 37syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
398, 30, 38mp2and 699 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
4020, 5, 4opltn0 36827 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ↔ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 ))
412, 36, 40syl2anc 587 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ↔ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 ))
4239, 41mpbid 235 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  Posetcpo 17666  ltcplt 17667  joincjn 17670  meetcmee 17671  0.cp0 17763  Latclat 17771  OPcops 36809  Atomscatm 36900  HLchlt 36987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-lat 17772  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator