Theorem 2atm2atN 40762

Description: Two joins with a common atom have a nonzero meet. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atm2at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atm2at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atm2at.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atm2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atm2atN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2atm2atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 40339	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2atm2at.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
6		2atm2at.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	0ltat 40268	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
9		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		2atm2at.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13	11, 12, 6	hlatlej1 40352	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃))
14	9, 3, 10, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃))
15		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	11, 12, 6	hlatlej1 40352	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
17	9, 3, 15, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
18		hllat 40340	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 6	atbase 40266	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
22	3, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 12, 6	hlatjcl 40344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
24	9, 3, 10, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
25	20, 12, 6	hlatjcl 40344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
26	9, 3, 15, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27		2atm2at.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
28	20, 11, 27	latlem12 18601	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
29	19, 22, 24, 26, 28	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
30	14, 17, 29	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
31		hlpos 40343	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
33	20, 4	op0cl 40161	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
34	2, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 27	latmcl 18575	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
36	19, 24, 26, 35	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
37	20, 11, 5	pltletr 18476	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅 ∧ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
38	32, 34, 22, 36, 37	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅 ∧ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
39	8, 30, 38	mp2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
40	20, 5, 4	opltn0 40167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 ))
41	2, 36, 40	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 ))
42	39, 41	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  lecple 17396  Posetcpo 18442  ltcplt 18443  joincjn 18446  meetcmee 18447  0.cp0 18556  Latclat 18566  OPcops 40149  Atomscatm 40240  HLchlt 40327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-p0 18558  df-lat 18567  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328

This theorem is used by: (None)