Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hlop 38232 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OP) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β πΎ β OP) |
3 | | simpr3 1197 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
β π΄) |
4 | | 2atm2at.z |
. . . . 5
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
5 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(ltβπΎ) =
(ltβπΎ) |
6 | | 2atm2at.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 4, 5, 6 | 0ltat 38161 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OP β§ π
β π΄) β 0 (ltβπΎ)π
) |
8 | 2, 3, 7 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β 0 (ltβπΎ)π
) |
9 | | simpl 484 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β πΎ β HL) |
10 | | simpr1 1195 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π β π΄) |
11 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
12 | | 2atm2at.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | 11, 12, 6 | hlatlej1 38245 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π
(leβπΎ)(π
β¨ π)) |
14 | 9, 3, 10, 13 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
(leβπΎ)(π
β¨ π)) |
15 | | simpr2 1196 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π β π΄) |
16 | 11, 12, 6 | hlatlej1 38245 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π
(leβπΎ)(π
β¨ π)) |
17 | 9, 3, 15, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
(leβπΎ)(π
β¨ π)) |
18 | | hllat 38233 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
19 | 18 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β πΎ β Lat) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
21 | 20, 6 | atbase 38159 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 21 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
β (BaseβπΎ)) |
23 | 20, 12, 6 | hlatjcl 38237 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | 9, 3, 10, 23 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
25 | 20, 12, 6 | hlatjcl 38237 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 9, 3, 15, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | | 2atm2at.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
28 | 20, 11, 27 | latlem12 18419 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π
(leβπΎ)(π
β¨ π) β§ π
(leβπΎ)(π
β¨ π)) β π
(leβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
29 | 19, 22, 24, 26, 28 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π
(leβπΎ)(π
β¨ π) β§ π
(leβπΎ)(π
β¨ π)) β π
(leβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
30 | 14, 17, 29 | mpbi2and 711 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
(leβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |
31 | | hlpos 38236 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β Poset) |
32 | 31 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β πΎ β Poset) |
33 | 20, 4 | op0cl 38054 |
. . . . 5
β’ (πΎ β OP β 0 β
(BaseβπΎ)) |
34 | 2, 33 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β 0 β (BaseβπΎ)) |
35 | 20, 27 | latmcl 18393 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
36 | 19, 24, 26, 35 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
37 | 20, 11, 5 | pltletr 18296 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Poset β§ ( 0 β
(BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ))) β (( 0 (ltβπΎ)π
β§ π
(leβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) β 0 (ltβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
38 | 32, 34, 22, 36, 37 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (( 0 (ltβπΎ)π
β§ π
(leβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) β 0 (ltβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
39 | 8, 30, 38 | mp2and 698 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β 0 (ltβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |
40 | 20, 5, 4 | opltn0 38060 |
. . 3
β’ ((πΎ β OP β§ ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ( 0 (ltβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) |
41 | 2, 36, 40 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ( 0 (ltβπΎ)((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) |
42 | 39, 41 | mpbid 231 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 ) |