Theorem 2atm2atN 38461

Description: Two joins with a common atom have a nonzero meet. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atm2at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atm2at.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atm2at.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atm2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atm2atN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2atm2atN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 38037	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr3 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2atm2at.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
6		2atm2at.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	0ltat 37966	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
9		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		2atm2at.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13	11, 12, 6	hlatlej1 38050	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃))
14	9, 3, 10, 13	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃))
15		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	11, 12, 6	hlatlej1 38050	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
17	9, 3, 15, 16	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
18		hllat 38038	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
19	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
20		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 6	atbase 37964	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 12, 6	hlatjcl 38042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
24	9, 3, 10, 23	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
25	20, 12, 6	hlatjcl 38042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
26	9, 3, 15, 25	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27		2atm2at.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
28	20, 11, 27	latlem12 18401	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
29	19, 22, 24, 26, 28	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
30	14, 17, 29	mpbi2and 710	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
31		hlpos 38041	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
33	20, 4	op0cl 37859	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
34	2, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 27	latmcl 18375	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
36	19, 24, 26, 35	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
37	20, 11, 5	pltletr 18278	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅 ∧ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
38	32, 34, 22, 36, 37	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅 ∧ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄))))
39	8, 30, 38	mp2and 697	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
40	20, 5, 4	opltn0 37865	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 ))
41	2, 36, 40	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 ))
42	39, 41	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186  Posetcpo 18242  ltcplt 18243  joincjn 18246  meetcmee 18247  0.cp0 18358  Latclat 18366  OPcops 37847  Atomscatm 37938  HLchlt 38025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026

This theorem is referenced by: (None)