Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atm2atN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atm2atN 35741
Description: Two joins with a common atom have a nonzero meet. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2atm2at.j = (join‘𝐾)
2atm2at.m = (meet‘𝐾)
2atm2at.z 0 = (0.‘𝐾)
2atm2at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atm2atN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2atm2atN
StepHypRef Expression
1 hlop 35318 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
3 simpr3 1252 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
4 2atm2at.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
5 eqid 2765 . . . . 5 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
6 2atm2at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 60ltat 35247 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑅𝐴) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
82, 3, 7syl2anc 579 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
9 simpl 474 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simpr1 1248 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
11 eqid 2765 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 2atm2at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
1311, 12, 6hlatlej1 35331 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃))
149, 3, 10, 13syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃))
15 simpr2 1250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
1611, 12, 6hlatlej1 35331 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑄𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
179, 3, 15, 16syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
18 hllat 35319 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1918adantr 472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 6atbase 35245 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 12, 6hlatjcl 35323 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
249, 3, 10, 23syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
2520, 12, 6hlatjcl 35323 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑄𝐴) → (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
269, 3, 15, 25syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27 2atm2at.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
2820, 11, 27latlem12 17344 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
2919, 22, 24, 26, 28syl13anc 1491 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
3014, 17, 29mpbi2and 703 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
31 hlpos 35322 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
3231adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
3320, 4op0cl 35140 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
342, 33syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
3520, 27latmcl 17318 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3619, 24, 26, 35syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3720, 11, 5pltletr 17237 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
3832, 34, 22, 36, 37syl13anc 1491 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
398, 30, 38mp2and 690 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
4020, 5, 4opltn0 35146 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ↔ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 ))
412, 36, 40syl2anc 579 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ↔ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 ))
4239, 41mpbid 223 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  Posetcpo 17206  ltcplt 17207  joincjn 17210  meetcmee 17211  0.cp0 17303  Latclat 17311  OPcops 35128  Atomscatm 35219  HLchlt 35306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-lat 17312  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator