Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 40590
Description: Lemma for dia2dim 40602. Define a translation 𝐺 whose trace is atom π‘ˆ. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem2.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
dia2dimlem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38888 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
54simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38813 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
1110simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
126, 7atbase 38813 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
166, 14, 15latlej2 18435 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
173, 9, 13, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
186, 15, 7hlatjcl 38891 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 5, 11, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 14, 20latleeqm2 18454 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ))
223, 13, 19, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ))
2317, 22mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ)
24 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
25 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
26 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
27 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
28 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2914, 7, 26, 27, 28trlat 39694 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
301, 4, 25, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
31 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
3231simpld 493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
33 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
3414, 15, 7hlatexch2 38921 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉) β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉)))
352, 30, 11, 32, 33, 34syl131anc 1380 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉) β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉)))
3624, 35mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉))
3725simpld 493 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3814, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 39688 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
391, 37, 4, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4039oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉))
4114, 7, 26, 27ltrnel 39664 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
421, 37, 4, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
4342simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
446, 15, 7hlatjcl 38891 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
452, 5, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
476, 26lhpbase 39523 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4931simprd 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
506, 14, 15, 20, 7atmod4i1 39391 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
512, 32, 45, 48, 49, 50syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
5215, 7hlatjass 38894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
532, 5, 43, 32, 52syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
5453oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5551, 54eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5640, 55eqtrd 2765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5736, 56breqtrd 5170 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
586, 15, 7hlatjcl 38891 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
592, 43, 32, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
606, 15latjcl 18425 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
613, 9, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
626, 20latmcl 18426 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
633, 61, 48, 62syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
646, 14, 20latmlem2 18456 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))))
653, 13, 63, 19, 64syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))))
6657, 65mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
6723, 66eqbrtrrd 5168 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
68 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6914, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 39688 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
701, 68, 4, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
71 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
72 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
7371, 72eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
7473oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
7574oveq1d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š))
7614, 15, 7hlatlej1 38899 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
772, 5, 11, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
786, 14, 15, 20, 7atmod3i1 39389 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
792, 5, 19, 59, 77, 78syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
8079oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š))
81 hlol 38885 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
822, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
836, 20latmassOLD 38753 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8482, 19, 61, 48, 83syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8580, 84eqtrd 2765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8675, 85eqtrd 2765 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8770, 86eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8887eqcomd 2731 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)) = (π‘…β€˜πΊ))
8967, 88breqtrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ))
90 hlatl 38884 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
912, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
92 hlop 38886 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
932, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OP)
94 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
95 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
9694, 95, 70ltat 38815 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ)
9793, 11, 96syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ)
98 hlpos 38890 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
992, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1006, 94op0cl 38708 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10193, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1026, 26, 27, 28trlcl 39689 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1031, 68, 102syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1046, 14, 95pltletr 18329 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ)))
10599, 101, 13, 103, 104syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ)))
10697, 89, 105mp2and 697 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ))
1076, 95, 94opltn0 38714 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
10893, 103, 107syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
109106, 108mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ))
110109neneqd 2935 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ))
11194, 7, 26, 27, 28trlator0 39696 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
1121, 68, 111syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
113112orcomd 869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴))
114113ord 862 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴))
115110, 114mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
11614, 7atcmp 38835 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ) ↔ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ)))
11791, 11, 115, 116syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ) ↔ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ)))
11889, 117mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ))
119118eqcomd 2731 1 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  lecple 17234  Posetcpo 18293  ltcplt 18294  joincjn 18297  meetcmee 18298  0.cp0 18409  Latclat 18417  OPcops 38696  OLcol 38698  Atomscatm 38787  AtLatcal 38788  HLchlt 38874  LHypclh 39509  LTrncltrn 39626  trLctrl 39683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8840  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513  df-laut 39514  df-ldil 39629  df-ltrn 39630  df-trl 39684
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  40593
  Copyright terms: Public domain W3C validator