Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 40462
Description: Lemma for dia2dim 40474. Define a translation 𝐺 whose trace is atom π‘ˆ. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem2.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
dia2dimlem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38760 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
54simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38685 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
1110simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
126, 7atbase 38685 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
166, 14, 15latlej2 18426 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
173, 9, 13, 16syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
186, 15, 7hlatjcl 38763 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 5, 11, 18syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 14, 20latleeqm2 18445 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ))
223, 13, 19, 21syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ))
2317, 22mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ)
24 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
25 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
26 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
27 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
28 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2914, 7, 26, 27, 28trlat 39566 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
301, 4, 25, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
31 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
3231simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
33 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
3414, 15, 7hlatexch2 38793 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉) β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉)))
352, 30, 11, 32, 33, 34syl131anc 1381 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉) β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉)))
3624, 35mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉))
3725simpld 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3814, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 39560 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
391, 37, 4, 38syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4039oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉))
4114, 7, 26, 27ltrnel 39536 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
421, 37, 4, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
4342simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
446, 15, 7hlatjcl 38763 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
452, 5, 43, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
476, 26lhpbase 39395 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4931simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
506, 14, 15, 20, 7atmod4i1 39263 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
512, 32, 45, 48, 49, 50syl131anc 1381 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
5215, 7hlatjass 38766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
532, 5, 43, 32, 52syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
5453oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5551, 54eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5640, 55eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5736, 56breqtrd 5168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
586, 15, 7hlatjcl 38763 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
592, 43, 32, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
606, 15latjcl 18416 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
613, 9, 59, 60syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
626, 20latmcl 18417 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
633, 61, 48, 62syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
646, 14, 20latmlem2 18447 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))))
653, 13, 63, 19, 64syl13anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))))
6657, 65mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
6723, 66eqbrtrrd 5166 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
68 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6914, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 39560 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
701, 68, 4, 69syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
71 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
72 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
7371, 72eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
7473oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
7574oveq1d 7429 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š))
7614, 15, 7hlatlej1 38771 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
772, 5, 11, 76syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
786, 14, 15, 20, 7atmod3i1 39261 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
792, 5, 19, 59, 77, 78syl131anc 1381 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
8079oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š))
81 hlol 38757 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
822, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
836, 20latmassOLD 38625 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8482, 19, 61, 48, 83syl13anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8580, 84eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8675, 85eqtrd 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8770, 86eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8887eqcomd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)) = (π‘…β€˜πΊ))
8967, 88breqtrd 5168 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ))
90 hlatl 38756 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
912, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
92 hlop 38758 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
932, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OP)
94 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
95 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
9694, 95, 70ltat 38687 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ)
9793, 11, 96syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ)
98 hlpos 38762 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
992, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1006, 94op0cl 38580 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10193, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1026, 26, 27, 28trlcl 39561 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1031, 68, 102syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1046, 14, 95pltletr 18320 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ)))
10599, 101, 13, 103, 104syl13anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ)))
10697, 89, 105mp2and 698 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ))
1076, 95, 94opltn0 38586 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
10893, 103, 107syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
109106, 108mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ))
110109neneqd 2940 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ))
11194, 7, 26, 27, 28trlator0 39568 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
1121, 68, 111syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
113112orcomd 870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴))
114113ord 863 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴))
115110, 114mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
11614, 7atcmp 38707 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ) ↔ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ)))
11791, 11, 115, 116syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ) ↔ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ)))
11889, 117mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ))
119118eqcomd 2733 1 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  Posetcpo 18284  ltcplt 18285  joincjn 18288  meetcmee 18289  0.cp0 18400  Latclat 18408  OPcops 38568  OLcol 38570  Atomscatm 38659  AtLatcal 38660  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  40465
  Copyright terms: Public domain W3C validator