Theorem dia2dimlem2 41325

Description: Lemma for dia2dim 41337. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem2	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		dia2dimlem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
5	4	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		dia2dimlem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	6, 7	atbase 39549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		dia2dimlem2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
11	10	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
12	6, 7	atbase 39549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14		dia2dimlem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		dia2dimlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16	6, 14, 15	latlej2 18372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	6, 15, 7	hlatjcl 39627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
19	2, 5, 11, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20		dia2dimlem2.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 14, 20	latleeqm2 18391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
22	3, 13, 19, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
23	17, 22	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈)
24		dia2dimlem2.rf	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
25		dia2dimlem2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
26		dia2dimlem2.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27		dia2dimlem2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
29	14, 7, 26, 27, 28	trlat 40429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
30	1, 4, 25, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
31		dia2dimlem2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
33		dia2dimlem2.rv	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
34	14, 15, 7	hlatexch2 39656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
35	2, 30, 11, 32, 33, 34	syl131anc 1385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
36	24, 35	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉))
37	25	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
38	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 40423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
39	1, 37, 4, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
40	39	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉))
41	14, 7, 26, 27	ltrnel 40399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
42	1, 37, 4, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
44	6, 15, 7	hlatjcl 39627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
45	2, 5, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
46	1	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
47	6, 26	lhpbase 40258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
49	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
50	6, 14, 15, 20, 7	atmod4i1 40126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
51	2, 32, 45, 48, 49, 50	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
52	15, 7	hlatjass 39630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
53	2, 5, 43, 32, 52	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
54	53	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
55	51, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
56	40, 55	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
57	36, 56	breqtrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
58	6, 15, 7	hlatjcl 39627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
59	2, 43, 32, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
60	6, 15	latjcl 18362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
61	3, 9, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
62	6, 20	latmcl 18363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	3, 61, 48, 62	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	6, 14, 20	latmlem2 18393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
65	3, 13, 63, 19, 64	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
66	57, 65	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
67	23, 66	eqbrtrrd 5122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
68		dia2dimlem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
69	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 40423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
70	1, 68, 4, 69	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
71		dia2dimlem2.gv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
72		dia2dimlem2.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
73	71, 72	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
74	73	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
75	74	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
76	14, 15, 7	hlatlej1 39635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
77	2, 5, 11, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
78	6, 14, 15, 20, 7	atmod3i1 40124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
79	2, 5, 19, 59, 77, 78	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
80	79	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
81		hlol 39621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
82	2, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
83	6, 20	latmassOLD 39489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
84	82, 19, 61, 48, 83	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
85	80, 84	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
86	75, 85	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
87	70, 86	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
88	87	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)) = (𝑅‘𝐺))
89	67, 88	breqtrd 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺))
90		hlatl 39620	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
91	2, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ AtLat)
92		hlop 39622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
93	2, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
94		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
96	94, 95, 7	0ltat 39551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
97	93, 11, 96	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98		hlpos 39626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
99	2, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
100	6, 94	op0cl 39444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
102	6, 26, 27, 28	trlcl 40424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
103	1, 68, 102	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
104	6, 14, 95	pltletr 18264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
105	99, 101, 13, 103, 104	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
106	97, 89, 105	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺))
107	6, 95, 94	opltn0 39450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
108	93, 103, 107	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109	106, 108	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110	109	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾))
111	94, 7, 26, 27, 28	trlator0 40431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
112	1, 68, 111	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
113	112	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
114	113	ord 864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
115	110, 114	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
116	14, 7	atcmp 39571	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
117	91, 11, 115, 116	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
118	89, 117	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅‘𝐺))
119	118	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230  ltcplt 18231  joincjn 18234  meetcmee 18235  0.cp0 18344  Latclat 18354  OPcops 39432  OLcol 39434  Atomscatm 39523  AtLatcal 39524  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  trLctrl 40418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41328