Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 41048
Description: Lemma for dia2dim 41060. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem2.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem2.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem2.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem2.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem2.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem2.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
32hllatd 39346 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
54simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
6 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 39271 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
1110simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
126, 7atbase 39271 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
15 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
166, 14, 15latlej2 18507 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 (𝑃 𝑈))
173, 9, 13, 16syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝑈 (𝑃 𝑈))
186, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
192, 5, 11, 18syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
216, 14, 20latleeqm2 18526 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
223, 13, 19, 21syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
2317, 22mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈)
24 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
25 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
26 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2914, 7, 26, 27, 28trlat 40152 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
301, 4, 25, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
31 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
3231simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉𝐴)
33 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
3414, 15, 7hlatexch2 39379 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
352, 30, 11, 32, 33, 34syl131anc 1382 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
3624, 35mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉))
3725simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑇)
3814, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 40146 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
391, 37, 4, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
4039oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉))
4114, 7, 26, 27ltrnel 40122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
421, 37, 4, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
4342simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
446, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
452, 5, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
461simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝐻)
476, 26lhpbase 39981 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4931simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 𝑊)
506, 14, 15, 20, 7atmod4i1 39849 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
512, 32, 45, 48, 49, 50syl131anc 1382 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
5215, 7hlatjass 39352 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
532, 5, 43, 32, 52syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
5453oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5551, 54eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5640, 55eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5736, 56breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
586, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
592, 43, 32, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
606, 15latjcl 18497 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
613, 9, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
626, 20latmcl 18498 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
633, 61, 48, 62syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
646, 14, 20latmlem2 18528 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
653, 13, 63, 19, 64syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
6657, 65mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
6723, 66eqbrtrrd 5172 . . . 4 (𝜑𝑈 ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
68 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑇)
6914, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 40146 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
701, 68, 4, 69syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
71 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
72 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
7371, 72eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑃) = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7473oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐺𝑃)) = (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
7574oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
7614, 15, 7hlatlej1 39357 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑈))
772, 5, 11, 76syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑈))
786, 14, 15, 20, 7atmod3i1 39847 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
792, 5, 19, 59, 77, 78syl131anc 1382 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
8079oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
81 hlol 39343 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
822, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OL)
836, 20latmassOLD 39211 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8482, 19, 61, 48, 83syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8580, 84eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8675, 85eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8770, 86eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8887eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)) = (𝑅𝐺))
8967, 88breqtrd 5174 . . 3 (𝜑𝑈 (𝑅𝐺))
90 hlatl 39342 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
912, 90syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
92 hlop 39344 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
932, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
94 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9694, 95, 70ltat 39273 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
9793, 11, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98 hlpos 39348 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
992, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
1006, 94op0cl 39166 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10193, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1026, 26, 27, 28trlcl 40147 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1031, 68, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1046, 14, 95pltletr 18401 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10599, 101, 13, 103, 104syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10697, 89, 105mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺))
1076, 95, 94opltn0 39172 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
10893, 103, 107syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109106, 108mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110109neneqd 2943 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
11194, 7, 26, 27, 28trlator0 40154 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1121, 68, 111syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
113112orcomd 871 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
114113ord 864 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
115110, 114mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
11614, 7atcmp 39293 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11791, 11, 115, 116syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11889, 117mpbid 232 . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅𝐺))
119118eqcomd 2741 1 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  joincjn 18369  meetcmee 18370  0.cp0 18481  Latclat 18489  OPcops 39154  OLcol 39156  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41051
  Copyright terms: Public domain W3C validator