Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 39531
Description: Lemma for dia2dim 39543. Define a translation 𝐺 whose trace is atom π‘ˆ. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem2.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem2.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
dia2dimlem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 37829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
54simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 37754 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
1110simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
126, 7atbase 37754 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
166, 14, 15latlej2 18339 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
173, 9, 13, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
186, 15, 7hlatjcl 37832 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 5, 11, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 14, 20latleeqm2 18358 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ))
223, 13, 19, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ))
2317, 22mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) = π‘ˆ)
24 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
25 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
26 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
27 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
28 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2914, 7, 26, 27, 28trlat 38635 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
301, 4, 25, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
31 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
3231simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
33 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
3414, 15, 7hlatexch2 37862 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉) β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉)))
352, 30, 11, 32, 33, 34syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉) β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉)))
3624, 35mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉))
3725simpld 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3814, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 38629 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
391, 37, 4, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4039oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉))
4114, 7, 26, 27ltrnel 38605 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
421, 37, 4, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
4342simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
446, 15, 7hlatjcl 37832 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
452, 5, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
476, 26lhpbase 38464 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4931simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
506, 14, 15, 20, 7atmod4i1 38332 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
512, 32, 45, 48, 49, 50syl131anc 1384 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
5215, 7hlatjass 37835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
532, 5, 43, 32, 52syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
5453oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5551, 54eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5640, 55eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
5736, 56breqtrd 5132 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
586, 15, 7hlatjcl 37832 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
592, 43, 32, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
606, 15latjcl 18329 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
613, 9, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
626, 20latmcl 18330 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
633, 61, 48, 62syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
646, 14, 20latmlem2 18360 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))))
653, 13, 63, 19, 64syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))))
6657, 65mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
6723, 66eqbrtrrd 5130 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
68 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6914, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 38629 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
701, 68, 4, 69syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
71 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
72 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
7371, 72eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
7473oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
7574oveq1d 7373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š))
7614, 15, 7hlatlej1 37840 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
772, 5, 11, 76syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
786, 14, 15, 20, 7atmod3i1 38330 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
792, 5, 19, 59, 77, 78syl131anc 1384 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
8079oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š))
81 hlol 37826 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
822, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
836, 20latmassOLD 37694 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8482, 19, 61, 48, 83syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8580, 84eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8675, 85eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8770, 86eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)))
8887eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š)) = (π‘…β€˜πΊ))
8967, 88breqtrd 5132 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ))
90 hlatl 37825 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
912, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
92 hlop 37827 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
932, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OP)
94 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
95 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
9694, 95, 70ltat 37756 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ)
9793, 11, 96syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ)
98 hlpos 37831 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
992, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1006, 94op0cl 37649 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10193, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1026, 26, 27, 28trlcl 38630 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1031, 68, 102syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1046, 14, 95pltletr 18233 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ)))
10599, 101, 13, 103, 104syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ)))
10697, 89, 105mp2and 698 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ))
1076, 95, 94opltn0 37655 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
10893, 103, 107syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
109106, 108mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ))
110109neneqd 2949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ))
11194, 7, 26, 27, 28trlator0 38637 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
1121, 68, 111syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
113112orcomd 870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴))
114113ord 863 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴))
115110, 114mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
11614, 7atcmp 37776 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ) ↔ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ)))
11791, 11, 115, 116syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ≀ (π‘…β€˜πΊ) ↔ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ)))
11889, 117mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘…β€˜πΊ))
119118eqcomd 2743 1 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  Posetcpo 18197  ltcplt 18198  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  Latclat 18321  OPcops 37637  OLcol 37639  Atomscatm 37728  AtLatcal 37729  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  39534
  Copyright terms: Public domain W3C validator