Theorem dia2dimlem2 41022

Description: Lemma for dia2dim 41034. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem2	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		dia2dimlem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
5	4	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		dia2dimlem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	6, 7	atbase 39245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		dia2dimlem2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
11	10	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
12	6, 7	atbase 39245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14		dia2dimlem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		dia2dimlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16	6, 14, 15	latlej2 18519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	6, 15, 7	hlatjcl 39323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
19	2, 5, 11, 18	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20		dia2dimlem2.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 14, 20	latleeqm2 18538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
22	3, 13, 19, 21	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
23	17, 22	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈)
24		dia2dimlem2.rf	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
25		dia2dimlem2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
26		dia2dimlem2.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27		dia2dimlem2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
29	14, 7, 26, 27, 28	trlat 40126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
30	1, 4, 25, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
31		dia2dimlem2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
33		dia2dimlem2.rv	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
34	14, 15, 7	hlatexch2 39353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
35	2, 30, 11, 32, 33, 34	syl131anc 1383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
36	24, 35	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉))
37	25	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
38	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 40120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
39	1, 37, 4, 38	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
40	39	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉))
41	14, 7, 26, 27	ltrnel 40096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
42	1, 37, 4, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
44	6, 15, 7	hlatjcl 39323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
45	2, 5, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
46	1	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
47	6, 26	lhpbase 39955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
49	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
50	6, 14, 15, 20, 7	atmod4i1 39823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
51	2, 32, 45, 48, 49, 50	syl131anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
52	15, 7	hlatjass 39326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
53	2, 5, 43, 32, 52	syl13anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
54	53	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
55	51, 54	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
56	40, 55	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
57	36, 56	breqtrd 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
58	6, 15, 7	hlatjcl 39323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
59	2, 43, 32, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
60	6, 15	latjcl 18509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
61	3, 9, 59, 60	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
62	6, 20	latmcl 18510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	3, 61, 48, 62	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	6, 14, 20	latmlem2 18540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
65	3, 13, 63, 19, 64	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
66	57, 65	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
67	23, 66	eqbrtrrd 5190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
68		dia2dimlem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
69	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 40120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
70	1, 68, 4, 69	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
71		dia2dimlem2.gv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
72		dia2dimlem2.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
73	71, 72	eqtrdi 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
74	73	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
75	74	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
76	14, 15, 7	hlatlej1 39331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
77	2, 5, 11, 76	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
78	6, 14, 15, 20, 7	atmod3i1 39821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
79	2, 5, 19, 59, 77, 78	syl131anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
80	79	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
81		hlol 39317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
82	2, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
83	6, 20	latmassOLD 39185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
84	82, 19, 61, 48, 83	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
85	80, 84	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
86	75, 85	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
87	70, 86	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
88	87	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)) = (𝑅‘𝐺))
89	67, 88	breqtrd 5192	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺))
90		hlatl 39316	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
91	2, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ AtLat)
92		hlop 39318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
93	2, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
94		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
96	94, 95, 7	0ltat 39247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
97	93, 11, 96	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98		hlpos 39322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
99	2, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
100	6, 94	op0cl 39140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
102	6, 26, 27, 28	trlcl 40121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
103	1, 68, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
104	6, 14, 95	pltletr 18413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
105	99, 101, 13, 103, 104	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
106	97, 89, 105	mp2and 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺))
107	6, 95, 94	opltn0 39146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
108	93, 103, 107	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109	106, 108	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110	109	neneqd 2951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾))
111	94, 7, 26, 27, 28	trlator0 40128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
112	1, 68, 111	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
113	112	orcomd 870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
114	113	ord 863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
115	110, 114	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
116	14, 7	atcmp 39267	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
117	91, 11, 115, 116	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
118	89, 117	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅‘𝐺))
119	118	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  ltcplt 18378  joincjn 18381  meetcmee 18382  0.cp0 18493  Latclat 18501  OPcops 39128  OLcol 39130  Atomscatm 39219  AtLatcal 39220  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41025