Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 38354
 Description: Lemma for dia2dim 38366. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem2.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem2.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem2.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem2.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem2.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem2.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36653 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
54simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
6 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 36578 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
1110simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
126, 7atbase 36578 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
15 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
166, 14, 15latlej2 17666 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 (𝑃 𝑈))
173, 9, 13, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑𝑈 (𝑃 𝑈))
186, 15, 7hlatjcl 36656 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
192, 5, 11, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
216, 14, 20latleeqm2 17685 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
223, 13, 19, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
2317, 22mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈)
24 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
25 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
26 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2914, 7, 26, 27, 28trlat 37458 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
301, 4, 25, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
31 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
3231simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉𝐴)
33 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
3414, 15, 7hlatexch2 36685 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
352, 30, 11, 32, 33, 34syl131anc 1380 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
3624, 35mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉))
3725simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑇)
3814, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 37452 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
391, 37, 4, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
4039oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉))
4114, 7, 26, 27ltrnel 37428 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
421, 37, 4, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
4342simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
446, 15, 7hlatjcl 36656 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
452, 5, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
461simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝐻)
476, 26lhpbase 37287 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4931simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 𝑊)
506, 14, 15, 20, 7atmod4i1 37155 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
512, 32, 45, 48, 49, 50syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
5215, 7hlatjass 36659 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
532, 5, 43, 32, 52syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
5453oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5551, 54eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5640, 55eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5736, 56breqtrd 5059 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
586, 15, 7hlatjcl 36656 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
592, 43, 32, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
606, 15latjcl 17656 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
613, 9, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
626, 20latmcl 17657 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
633, 61, 48, 62syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
646, 14, 20latmlem2 17687 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
653, 13, 63, 19, 64syl13anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
6657, 65mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
6723, 66eqbrtrrd 5057 . . . 4 (𝜑𝑈 ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
68 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑇)
6914, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 37452 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
701, 68, 4, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
71 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
72 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
7371, 72eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑃) = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7473oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐺𝑃)) = (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
7574oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
7614, 15, 7hlatlej1 36664 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑈))
772, 5, 11, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑈))
786, 14, 15, 20, 7atmod3i1 37153 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
792, 5, 19, 59, 77, 78syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
8079oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
81 hlol 36650 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
822, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OL)
836, 20latmassOLD 36518 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8482, 19, 61, 48, 83syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8580, 84eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8675, 85eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8770, 86eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8887eqcomd 2807 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)) = (𝑅𝐺))
8967, 88breqtrd 5059 . . 3 (𝜑𝑈 (𝑅𝐺))
90 hlatl 36649 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
912, 90syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
92 hlop 36651 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
932, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
94 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9694, 95, 70ltat 36580 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
9793, 11, 96syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98 hlpos 36655 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
992, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
1006, 94op0cl 36473 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10193, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1026, 26, 27, 28trlcl 37453 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1031, 68, 102syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1046, 14, 95pltletr 17576 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10599, 101, 13, 103, 104syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10697, 89, 105mp2and 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺))
1076, 95, 94opltn0 36479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
10893, 103, 107syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109106, 108mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110109neneqd 2995 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
11194, 7, 26, 27, 28trlator0 37460 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1121, 68, 111syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
113112orcomd 868 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
114113ord 861 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
115110, 114mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
11614, 7atcmp 36600 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11791, 11, 115, 116syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11889, 117mpbid 235 . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅𝐺))
119118eqcomd 2807 1 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  lecple 16567  Posetcpo 17545  ltcplt 17546  joincjn 17549  meetcmee 17550  0.cp0 17642  Latclat 17650  OPcops 36461  OLcol 36463  Atomscatm 36552  AtLatcal 36553  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  trLctrl 37447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-map 8395  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448 This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  38357
 Copyright terms: Public domain W3C validator