Theorem dia2dimlem2 40252

Description: Lemma for dia2dim 40264. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem2	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 38550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		dia2dimlem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
5	4	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		dia2dimlem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	6, 7	atbase 38475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		dia2dimlem2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
11	10	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
12	6, 7	atbase 38475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14		dia2dimlem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		dia2dimlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16	6, 14, 15	latlej2 18409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	6, 15, 7	hlatjcl 38553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
19	2, 5, 11, 18	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20		dia2dimlem2.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 14, 20	latleeqm2 18428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
22	3, 13, 19, 21	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
23	17, 22	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈)
24		dia2dimlem2.rf	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
25		dia2dimlem2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
26		dia2dimlem2.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27		dia2dimlem2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
29	14, 7, 26, 27, 28	trlat 39356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
30	1, 4, 25, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
31		dia2dimlem2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
33		dia2dimlem2.rv	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
34	14, 15, 7	hlatexch2 38583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
35	2, 30, 11, 32, 33, 34	syl131anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
36	24, 35	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉))
37	25	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
38	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 39350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
39	1, 37, 4, 38	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
40	39	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉))
41	14, 7, 26, 27	ltrnel 39326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
42	1, 37, 4, 41	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
44	6, 15, 7	hlatjcl 38553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
45	2, 5, 43, 44	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
46	1	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
47	6, 26	lhpbase 39185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
49	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
50	6, 14, 15, 20, 7	atmod4i1 39053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
51	2, 32, 45, 48, 49, 50	syl131anc 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
52	15, 7	hlatjass 38556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
53	2, 5, 43, 32, 52	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
54	53	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
55	51, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
56	40, 55	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
57	36, 56	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
58	6, 15, 7	hlatjcl 38553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
59	2, 43, 32, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
60	6, 15	latjcl 18399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
61	3, 9, 59, 60	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
62	6, 20	latmcl 18400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	3, 61, 48, 62	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	6, 14, 20	latmlem2 18430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
65	3, 13, 63, 19, 64	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
66	57, 65	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
67	23, 66	eqbrtrrd 5172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
68		dia2dimlem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
69	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 39350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
70	1, 68, 4, 69	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
71		dia2dimlem2.gv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
72		dia2dimlem2.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
73	71, 72	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
74	73	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
75	74	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
76	14, 15, 7	hlatlej1 38561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
77	2, 5, 11, 76	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
78	6, 14, 15, 20, 7	atmod3i1 39051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
79	2, 5, 19, 59, 77, 78	syl131anc 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
80	79	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
81		hlol 38547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
82	2, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
83	6, 20	latmassOLD 38415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
84	82, 19, 61, 48, 83	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
85	80, 84	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
86	75, 85	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
87	70, 86	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
88	87	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)) = (𝑅‘𝐺))
89	67, 88	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺))
90		hlatl 38546	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
91	2, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ AtLat)
92		hlop 38548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
93	2, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
94		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
96	94, 95, 7	0ltat 38477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
97	93, 11, 96	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98		hlpos 38552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
99	2, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
100	6, 94	op0cl 38370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
102	6, 26, 27, 28	trlcl 39351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
103	1, 68, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
104	6, 14, 95	pltletr 18303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
105	99, 101, 13, 103, 104	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
106	97, 89, 105	mp2and 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺))
107	6, 95, 94	opltn0 38376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
108	93, 103, 107	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109	106, 108	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110	109	neneqd 2944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾))
111	94, 7, 26, 27, 28	trlator0 39358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
112	1, 68, 111	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
113	112	orcomd 868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
114	113	ord 861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
115	110, 114	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
116	14, 7	atcmp 38497	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
117	91, 11, 115, 116	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
118	89, 117	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅‘𝐺))
119	118	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18267  ltcplt 18268  joincjn 18271  meetcmee 18272  0.cp0 18383  Latclat 18391  OPcops 38358  OLcol 38360  Atomscatm 38449  AtLatcal 38450  HLchlt 38536  LHypclh 39171  LTrncltrn 39288  trLctrl 39345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-proset 18255  df-poset 18273  df-plt 18290  df-lub 18306  df-glb 18307  df-join 18308  df-meet 18309  df-p0 18385  df-p1 18386  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 38362  df-ol 38364  df-oml 38365  df-covers 38452  df-ats 38453  df-atl 38484  df-cvlat 38508  df-hlat 38537  df-psubsp 38690  df-pmap 38691  df-padd 38983  df-lhyp 39175  df-laut 39176  df-ldil 39291  df-ltrn 39292  df-trl 39346

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  40255