Theorem dia2dimlem2 39006

Description: Lemma for dia2dim 39018. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem2	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 37305	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		dia2dimlem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
5	4	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		dia2dimlem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	6, 7	atbase 37230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		dia2dimlem2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
11	10	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
12	6, 7	atbase 37230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14		dia2dimlem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		dia2dimlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16	6, 14, 15	latlej2 18082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	6, 15, 7	hlatjcl 37308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
19	2, 5, 11, 18	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20		dia2dimlem2.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 14, 20	latleeqm2 18101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
22	3, 13, 19, 21	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
23	17, 22	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈)
24		dia2dimlem2.rf	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
25		dia2dimlem2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
26		dia2dimlem2.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27		dia2dimlem2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
29	14, 7, 26, 27, 28	trlat 38110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
30	1, 4, 25, 29	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
31		dia2dimlem2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
33		dia2dimlem2.rv	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
34	14, 15, 7	hlatexch2 37337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
35	2, 30, 11, 32, 33, 34	syl131anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
36	24, 35	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉))
37	25	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
38	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 38104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
39	1, 37, 4, 38	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
40	39	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉))
41	14, 7, 26, 27	ltrnel 38080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
42	1, 37, 4, 41	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
44	6, 15, 7	hlatjcl 37308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
45	2, 5, 43, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
46	1	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
47	6, 26	lhpbase 37939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
49	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
50	6, 14, 15, 20, 7	atmod4i1 37807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
51	2, 32, 45, 48, 49, 50	syl131anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
52	15, 7	hlatjass 37311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
53	2, 5, 43, 32, 52	syl13anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
54	53	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
55	51, 54	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
56	40, 55	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
57	36, 56	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
58	6, 15, 7	hlatjcl 37308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
59	2, 43, 32, 58	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
60	6, 15	latjcl 18072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
61	3, 9, 59, 60	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
62	6, 20	latmcl 18073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	3, 61, 48, 62	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	6, 14, 20	latmlem2 18103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
65	3, 13, 63, 19, 64	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
66	57, 65	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
67	23, 66	eqbrtrrd 5094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
68		dia2dimlem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
69	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 38104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
70	1, 68, 4, 69	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
71		dia2dimlem2.gv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
72		dia2dimlem2.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
73	71, 72	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
74	73	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
75	74	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
76	14, 15, 7	hlatlej1 37316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
77	2, 5, 11, 76	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
78	6, 14, 15, 20, 7	atmod3i1 37805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
79	2, 5, 19, 59, 77, 78	syl131anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
80	79	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
81		hlol 37302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
82	2, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
83	6, 20	latmassOLD 37170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
84	82, 19, 61, 48, 83	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
85	80, 84	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
86	75, 85	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
87	70, 86	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
88	87	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)) = (𝑅‘𝐺))
89	67, 88	breqtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺))
90		hlatl 37301	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
91	2, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ AtLat)
92		hlop 37303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
93	2, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
94		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
96	94, 95, 7	0ltat 37232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
97	93, 11, 96	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98		hlpos 37307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
99	2, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
100	6, 94	op0cl 37125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
102	6, 26, 27, 28	trlcl 38105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
103	1, 68, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
104	6, 14, 95	pltletr 17976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
105	99, 101, 13, 103, 104	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
106	97, 89, 105	mp2and 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺))
107	6, 95, 94	opltn0 37131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
108	93, 103, 107	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109	106, 108	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110	109	neneqd 2947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾))
111	94, 7, 26, 27, 28	trlator0 38112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
112	1, 68, 111	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
113	112	orcomd 867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
114	113	ord 860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
115	110, 114	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
116	14, 7	atcmp 37252	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
117	91, 11, 115, 116	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
118	89, 117	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅‘𝐺))
119	118	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  ltcplt 17941  joincjn 17944  meetcmee 17945  0.cp0 18056  Latclat 18064  OPcops 37113  OLcol 37115  Atomscatm 37204  AtLatcal 37205  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  39009