Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 36876
Description: Lemma for dia2dim 36888. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem2.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem2.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem2.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem2.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem2.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem2.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 hllat 35173 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
5 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
65simpld 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
7 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 35099 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
1211simpld 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
137, 8atbase 35099 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
15 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
16 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
177, 15, 16latlej2 17270 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 (𝑃 𝑈))
184, 10, 14, 17syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑𝑈 (𝑃 𝑈))
197, 16, 8hlatjcl 35176 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
202, 6, 12, 19syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
21 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
227, 15, 21latleeqm2 17289 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
234, 14, 20, 22syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
2418, 23mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈)
25 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
26 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
27 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
28 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
29 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
3015, 8, 27, 28, 29trlat 35979 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
311, 5, 26, 30syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
32 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
3332simpld 478 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉𝐴)
34 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
3515, 16, 8hlatexch2 35205 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
362, 31, 12, 33, 34, 35syl131anc 1489 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
3725, 36mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉))
3826simpld 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑇)
3915, 16, 21, 8, 27, 28, 29trlval2 35973 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
401, 38, 5, 39syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
4140oveq1d 6809 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉))
4215, 8, 27, 28ltrnel 35948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
431, 38, 5, 42syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
4443simpld 478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
457, 16, 8hlatjcl 35176 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
462, 6, 44, 45syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
471simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝐻)
487, 27lhpbase 35807 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5032simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 𝑊)
517, 15, 16, 21, 8atmod4i1 35675 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
522, 33, 46, 49, 50, 51syl131anc 1489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
5316, 8hlatjass 35179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
542, 6, 44, 33, 53syl13anc 1478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
5554oveq1d 6809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5652, 55eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5741, 56eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5837, 57breqtrd 4813 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
597, 16, 8hlatjcl 35176 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
602, 44, 33, 59syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
617, 16latjcl 17260 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
624, 10, 60, 61syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
637, 21latmcl 17261 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
644, 62, 49, 63syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
657, 15, 21latmlem2 17291 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
664, 14, 64, 20, 65syl13anc 1478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
6758, 66mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
6824, 67eqbrtrrd 4811 . . . 4 (𝜑𝑈 ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
69 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑇)
7015, 16, 21, 8, 27, 28, 29trlval2 35973 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
711, 69, 5, 70syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
72 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
73 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
7472, 73syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑃) = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7574oveq2d 6810 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐺𝑃)) = (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
7675oveq1d 6809 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
7715, 16, 8hlatlej1 35184 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑈))
782, 6, 12, 77syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑈))
797, 15, 16, 21, 8atmod3i1 35673 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
802, 6, 20, 60, 78, 79syl131anc 1489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
8180oveq1d 6809 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
82 hlol 35171 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
832, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OL)
847, 21latmassOLD 35039 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8583, 20, 62, 49, 84syl13anc 1478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8681, 85eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8776, 86eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8871, 87eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8988eqcomd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)) = (𝑅𝐺))
9068, 89breqtrd 4813 . . 3 (𝜑𝑈 (𝑅𝐺))
91 hlatl 35170 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
922, 91syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
93 hlop 35172 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
95 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
96 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9795, 96, 80ltat 35101 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
9894, 12, 97syl2anc 567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
99 hlpos 35175 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
1017, 95op0cl 34994 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10294, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1037, 27, 28, 29trlcl 35974 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1041, 69, 103syl2anc 567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1057, 15, 96pltletr 17180 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
106100, 102, 14, 104, 105syl13anc 1478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10798, 90, 106mp2and 673 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺))
1087, 96, 95opltn0 35000 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
10994, 104, 108syl2anc 567 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
110107, 109mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
111110neneqd 2948 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
11295, 8, 27, 28, 29trlator0 35981 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1131, 69, 112syl2anc 567 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
114113orcomd 852 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
115114ord 845 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
116111, 115mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
11715, 8atcmp 35121 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11892, 12, 116, 117syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11990, 118mpbid 222 . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅𝐺))
120119eqcomd 2777 1 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  lecple 16157  Posetcpo 17149  ltcplt 17150  joincjn 17153  meetcmee 17154  0.cp0 17246  Latclat 17254  OPcops 34982  OLcol 34984  Atomscatm 35073  AtLatcal 35074  HLchlt 35160  LHypclh 35793  LTrncltrn 35910  trLctrl 35968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-map 8012  df-preset 17137  df-poset 17155  df-plt 17167  df-lub 17183  df-glb 17184  df-join 17185  df-meet 17186  df-p0 17248  df-p1 17249  df-lat 17255  df-clat 17317  df-oposet 34986  df-ol 34988  df-oml 34989  df-covers 35076  df-ats 35077  df-atl 35108  df-cvlat 35132  df-hlat 35161  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  36879
  Copyright terms: Public domain W3C validator