Theorem dia2dimlem2 41084

Description: Lemma for dia2dim 41096. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem2.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem2.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem2.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem2.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem2	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		dia2dimlem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
5	4	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		dia2dimlem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	6, 7	atbase 39307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		dia2dimlem2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
11	10	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
12	6, 7	atbase 39307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14		dia2dimlem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		dia2dimlem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16	6, 14, 15	latlej2 18459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	6, 15, 7	hlatjcl 39385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
19	2, 5, 11, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20		dia2dimlem2.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 14, 20	latleeqm2 18478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
22	3, 13, 19, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈))
23	17, 22	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) = 𝑈)
24		dia2dimlem2.rf	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
25		dia2dimlem2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
26		dia2dimlem2.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27		dia2dimlem2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
29	14, 7, 26, 27, 28	trlat 40188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
30	1, 4, 25, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
31		dia2dimlem2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
32	31	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
33		dia2dimlem2.rv	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
34	14, 15, 7	hlatexch2 39415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
35	2, 30, 11, 32, 33, 34	syl131anc 1385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉) → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉)))
36	24, 35	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉))
37	25	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
38	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 40182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
39	1, 37, 4, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊))
40	39	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉))
41	14, 7, 26, 27	ltrnel 40158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
42	1, 37, 4, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
44	6, 15, 7	hlatjcl 39385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
45	2, 5, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
46	1	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
47	6, 26	lhpbase 40017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
49	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
50	6, 14, 15, 20, 7	atmod4i1 39885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
51	2, 32, 45, 48, 49, 50	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊))
52	15, 7	hlatjass 39388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
53	2, 5, 43, 32, 52	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
54	53	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∨ 𝑉) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
55	51, 54	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
56	40, 55	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐹) ∨ 𝑉) = ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
57	36, 56	breqtrd 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))
58	6, 15, 7	hlatjcl 39385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
59	2, 43, 32, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
60	6, 15	latjcl 18449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
61	3, 9, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
62	6, 20	latmcl 18450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	3, 61, 48, 62	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	6, 14, 20	latmlem2 18480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
65	3, 13, 63, 19, 64	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊))))
66	57, 65	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
67	23, 66	eqbrtrrd 5143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
68		dia2dimlem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
69	14, 15, 20, 7, 26, 27, 28	trlval2 40182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
70	1, 68, 4, 69	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
71		dia2dimlem2.gv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
72		dia2dimlem2.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
73	71, 72	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)))
74	73	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
75	74	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
76	14, 15, 7	hlatlej1 39393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
77	2, 5, 11, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
78	6, 14, 15, 20, 7	atmod3i1 39883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
79	2, 5, 19, 59, 77, 78	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))))
80	79	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊))
81		hlol 39379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
82	2, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
83	6, 20	latmassOLD 39247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
84	82, 19, 61, 48, 83	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ (𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
85	80, 84	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
86	75, 85	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
87	70, 86	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)))
88	87	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉)) ∧ 𝑊)) = (𝑅‘𝐺))
89	67, 88	breqtrd 5145	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺))
90		hlatl 39378	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
91	2, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ AtLat)
92		hlop 39380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
93	2, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
94		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
96	94, 95, 7	0ltat 39309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
97	93, 11, 96	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98		hlpos 39384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
99	2, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
100	6, 94	op0cl 39202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
101	93, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
102	6, 26, 27, 28	trlcl 40183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
103	1, 68, 102	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
104	6, 14, 95	pltletr 18353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
105	99, 101, 13, 103, 104	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺)))
106	97, 89, 105	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺))
107	6, 95, 94	opltn0 39208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
108	93, 103, 107	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109	106, 108	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110	109	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾))
111	94, 7, 26, 27, 28	trlator0 40190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
112	1, 68, 111	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
113	112	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
114	113	ord 864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴))
115	110, 114	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
116	14, 7	atcmp 39329	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
117	91, 11, 115, 116	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝑅‘𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅‘𝐺)))
118	89, 117	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅‘𝐺))
119	118	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  Posetcpo 18319  ltcplt 18320  joincjn 18323  meetcmee 18324  0.cp0 18433  Latclat 18441  OPcops 39190  OLcol 39192  Atomscatm 39281  AtLatcal 39282  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120  trLctrl 40177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-map 8842  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41087