Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem2 38081
Description: Lemma for dia2dim 38093. Define a translation 𝐺 whose trace is atom 𝑈. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 4. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem2.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem2.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem2.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem2.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem2.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem2.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem2.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem2.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem2.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem2.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem2.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem2.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem2 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)

Proof of Theorem dia2dimlem2
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem2.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36380 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 dia2dimlem2.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
54simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
6 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 dia2dimlem2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10 dia2dimlem2.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
1110simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
126, 7atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
14 dia2dimlem2.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
15 dia2dimlem2.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
166, 14, 15latlej2 17659 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 (𝑃 𝑈))
173, 9, 13, 16syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑𝑈 (𝑃 𝑈))
186, 15, 7hlatjcl 36383 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
192, 5, 11, 18syl3anc 1363 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
20 dia2dimlem2.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
216, 14, 20latleeqm2 17678 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
223, 13, 19, 21syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈))
2317, 22mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) = 𝑈)
24 dia2dimlem2.rf . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
25 dia2dimlem2.f . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
26 dia2dimlem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27 dia2dimlem2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28 dia2dimlem2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2914, 7, 26, 27, 28trlat 37185 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
301, 4, 25, 29syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
31 dia2dimlem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
3231simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉𝐴)
33 dia2dimlem2.rv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
3414, 15, 7hlatexch2 36412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑉) → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
352, 30, 11, 32, 33, 34syl131anc 1375 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑈 𝑉) → 𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉)))
3624, 35mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ((𝑅𝐹) 𝑉))
3725simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑇)
3814, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 37179 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
391, 37, 4, 38syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
4039oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉))
4114, 7, 26, 27ltrnel 37155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
421, 37, 4, 41syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
4342simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
446, 15, 7hlatjcl 36383 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
452, 5, 43, 44syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
461simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝐻)
476, 26lhpbase 37014 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4931simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 𝑊)
506, 14, 15, 20, 7atmod4i1 36882 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
512, 32, 45, 48, 49, 50syl131anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊))
5215, 7hlatjass 36386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
532, 5, 43, 32, 52syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) = (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)))
5453oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑉) 𝑊) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5551, 54eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5640, 55eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑉) = ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
5736, 56breqtrd 5083 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
586, 15, 7hlatjcl 36383 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
592, 43, 32, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
606, 15latjcl 17649 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
613, 9, 59, 60syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾))
626, 20latmcl 17650 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
633, 61, 48, 62syl3anc 1363 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
646, 14, 20latmlem2 17680 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
653, 13, 63, 19, 64syl13anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))))
6657, 65mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) 𝑈) ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
6723, 66eqbrtrrd 5081 . . . 4 (𝜑𝑈 ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
68 dia2dimlem2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑇)
6914, 15, 20, 7, 26, 27, 28trlval2 37179 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
701, 68, 4, 69syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
71 dia2dimlem2.gv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
72 dia2dimlem2.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
7371, 72syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑃) = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7473oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐺𝑃)) = (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
7574oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
7614, 15, 7hlatlej1 36391 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑈))
772, 5, 11, 76syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑈))
786, 14, 15, 20, 7atmod3i1 36880 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
792, 5, 19, 59, 77, 78syl131anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) = ((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))))
8079oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊))
81 hlol 36377 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
822, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OL)
836, 20latmassOLD 36245 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8482, 19, 61, 48, 83syl13anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8580, 84eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8675, 85eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8770, 86eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)))
8887eqcomd 2824 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) ((𝑃 ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊)) = (𝑅𝐺))
8967, 88breqtrd 5083 . . 3 (𝜑𝑈 (𝑅𝐺))
90 hlatl 36376 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
912, 90syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
92 hlop 36378 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
932, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
94 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
95 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9694, 95, 70ltat 36307 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑈𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
9793, 11, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈)
98 hlpos 36382 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
992, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
1006, 94op0cl 36200 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10193, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1026, 26, 27, 28trlcl 37180 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1031, 68, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
1046, 14, 95pltletr 17569 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10599, 101, 13, 103, 104syl13anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑈𝑈 (𝑅𝐺)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺)))
10697, 89, 105mp2and 695 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺))
1076, 95, 94opltn0 36206 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
10893, 103, 107syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
109106, 108mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
110109neneqd 3018 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
11194, 7, 26, 27, 28trlator0 37187 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1121, 68, 111syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
113112orcomd 865 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
114113ord 858 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴))
115110, 114mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
11614, 7atcmp 36327 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11791, 11, 115, 116syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑅𝐺) ↔ 𝑈 = (𝑅𝐺)))
11889, 117mpbid 233 . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅𝐺))
119118eqcomd 2824 1 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  Posetcpo 17538  ltcplt 17539  joincjn 17542  meetcmee 17543  0.cp0 17635  Latclat 17643  OPcops 36188  OLcol 36190  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  38084
  Copyright terms: Public domain W3C validator