Theorem llnnleat 40307

Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		llnnleat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		llnnleat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	islln 40300	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
8	1, 7	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
9	8	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10		simp11 1222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 40154	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	15, 4	atnlt 40107	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
18	2, 4	atbase 40083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20		simp12 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
21	2, 5	llnbase 40303	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	2, 15, 3	cvrlt 40064	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
25	10, 19, 22, 23, 24	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26		hlpos 40160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
27	10, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
28	2, 4	atbase 40083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30		llnnleat.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
31	2, 30, 15	pltletr 18392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
32	27, 19, 22, 29, 31	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
33	25, 32	mpand 707	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
34	17, 33	mtod 201	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)
35	34	rexlimdv3a 3170	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃))
36	9, 35	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Posetcpo 18358  ltcplt 18359   ⋖ ccvr 40056  Atomscatm 40057  AtLatcal 40058  HLchlt 40144  LLinesclln 40285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-glb 18396  df-p0 18474  df-lat 18483  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292

This theorem is referenced by:  llnneat  40308  llnn0  40310  lplnnle2at  40335