Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnleat 39515
Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnleat.l = (le‘𝐾)
llnnleat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 eqid 2737 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4 llnnleat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 llnnleat.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
62, 3, 4, 5islln 39508 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
81, 7mpbid 232 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
98simprd 495 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10 simp11 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 39361 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13 simp2 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞𝐴)
14 simp13 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃𝐴)
15 eqid 2737 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
1615, 4atnlt 39314 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
1712, 13, 14, 16syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
182, 4atbase 39290 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19183ad2ant2 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp12 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋𝑁)
212, 5llnbase 39511 . . . . . . 7 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp3 1139 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
242, 15, 3cvrlt 39271 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
2510, 19, 22, 23, 24syl31anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26 hlpos 39367 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
282, 4atbase 39290 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2914, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30 llnnleat.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
312, 30, 15pltletr 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3227, 19, 22, 29, 31syl13anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3325, 32mpand 695 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 𝑃𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3417, 33mtod 198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 𝑃)
3534rexlimdv3a 3159 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 𝑃))
369, 35mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  ccvr 39263  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LLinesclln 39493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-glb 18392  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500
This theorem is referenced by:  llnneat  39516  llnn0  39518  lplnnle2at  39543
  Copyright terms: Public domain W3C validator