Theorem llnnleat 40389

Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		llnnleat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		llnnleat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	islln 40382	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
8	1, 7	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
9	8	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10		simp11 1222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 40236	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	15, 4	atnlt 40189	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
18	2, 4	atbase 40165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20		simp12 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
21	2, 5	llnbase 40385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	2, 15, 3	cvrlt 40146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
25	10, 19, 22, 23, 24	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26		hlpos 40242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
27	10, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
28	2, 4	atbase 40165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30		llnnleat.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
31	2, 30, 15	pltletr 18432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
32	27, 19, 22, 29, 31	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
33	25, 32	mpand 708	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
34	17, 33	mtod 201	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)
35	34	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃))
36	9, 35	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  lecple 17352  Posetcpo 18398  ltcplt 18399   ⋖ ccvr 40138  Atomscatm 40139  AtLatcal 40140  HLchlt 40226  LLinesclln 40367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-glb 18436  df-p0 18514  df-lat 18523  df-covers 40142  df-ats 40143  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227  df-llines 40374

This theorem is used by:  llnneat  40390  llnn0  40392  lplnnle2at  40417