Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnleat 36193
Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnleat.l = (le‘𝐾)
llnnleat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
2 eqid 2794 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 eqid 2794 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4 llnnleat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 llnnleat.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
62, 3, 4, 5islln 36186 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
763ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
81, 7mpbid 233 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
98simprd 496 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10 simp11 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 36040 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13 simp2 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞𝐴)
14 simp13 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃𝐴)
15 eqid 2794 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
1615, 4atnlt 35993 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
1712, 13, 14, 16syl3anc 1364 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
182, 4atbase 35969 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19183ad2ant2 1127 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp12 1197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋𝑁)
212, 5llnbase 36189 . . . . . . 7 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp3 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
242, 15, 3cvrlt 35950 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
2510, 19, 22, 23, 24syl31anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26 hlpos 36046 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
282, 4atbase 35969 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2914, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30 llnnleat.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
312, 30, 15pltletr 17410 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3227, 19, 22, 29, 31syl13anc 1365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3325, 32mpand 691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 𝑃𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3417, 33mtod 199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 𝑃)
3534rexlimdv3a 3248 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 𝑃))
369, 35mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  wrex 3105   class class class wbr 4964  cfv 6228  Basecbs 16312  lecple 16401  Posetcpo 17379  ltcplt 17380  ccvr 35942  Atomscatm 35943  AtLatcal 35944  HLchlt 36030  LLinesclln 36171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-glb 17414  df-p0 17478  df-lat 17485  df-covers 35946  df-ats 35947  df-atl 35978  df-cvlat 36002  df-hlat 36031  df-llines 36178
This theorem is referenced by:  llnneat  36194  llnn0  36196  lplnnle2at  36221
  Copyright terms: Public domain W3C validator