Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnleat 38897
Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnleat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnnleat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnnleat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 eqid 2726 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 llnnleat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 llnnleat.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5islln 38890 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
81, 7mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
98simprd 495 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
10 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 38743 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
13 simp2 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
14 simp13 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
1615, 4atnlt 38696 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃)
1712, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃)
182, 4atbase 38672 . . . . . . 7 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19183ad2ant2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp12 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
212, 5llnbase 38893 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
242, 15, 3cvrlt 38653 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋)
2510, 19, 22, 23, 24syl31anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋)
26 hlpos 38749 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
282, 4atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2914, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 llnnleat.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
312, 30, 15pltletr 18308 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃))
3227, 19, 22, 29, 31syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ ((π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃))
3325, 32mpand 692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃))
3417, 33mtod 197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃)
3534rexlimdv3a 3153 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃))
369, 35mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  Posetcpo 18272  ltcplt 18273   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  LLinesclln 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-glb 18312  df-p0 18390  df-lat 18397  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882
This theorem is referenced by:  llnneat  38898  llnn0  38900  lplnnle2at  38925
  Copyright terms: Public domain W3C validator