Theorem llnnleat 40137

Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		llnnleat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		llnnleat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	islln 40130	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
7	6	3ad2ant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
8	1, 7	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
9	8	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10		simp11 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 39984	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simp2 1150	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp13 1219	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	15, 4	atnlt 39937	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
18	2, 4	atbase 39913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	3ad2ant2 1147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20		simp12 1218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
21	2, 5	llnbase 40133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23		simp3 1151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	2, 15, 3	cvrlt 39894	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
25	10, 19, 22, 23, 24	syl31anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26		hlpos 39990	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
27	10, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
28	2, 4	atbase 39913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30		llnnleat.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
31	2, 30, 15	pltletr 18373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
32	27, 19, 22, 29, 31	syl13anc 1391	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
33	25, 32	mpand 705	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
34	17, 33	mtod 200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)
35	34	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃))
36	9, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  lecple 17293  Posetcpo 18339  ltcplt 18340   ⋖ ccvr 39886  Atomscatm 39887  AtLatcal 39888  HLchlt 39974  LLinesclln 40115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-glb 18377  df-p0 18455  df-lat 18464  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122

This theorem is referenced by:  llnneat  40138  llnn0  40140  lplnnle2at  40165