Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnleat 39042
Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnleat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnnleat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnnleat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 eqid 2725 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 llnnleat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 llnnleat.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5islln 39035 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
81, 7mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
98simprd 494 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
10 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 38888 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
13 simp2 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
14 simp13 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
1615, 4atnlt 38841 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃)
1712, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃)
182, 4atbase 38817 . . . . . . 7 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19183ad2ant2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp12 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
212, 5llnbase 39038 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
242, 15, 3cvrlt 38798 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋)
2510, 19, 22, 23, 24syl31anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋)
26 hlpos 38894 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
282, 4atbase 38817 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2914, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 llnnleat.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
312, 30, 15pltletr 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃))
3227, 19, 22, 29, 31syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ ((π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃))
3325, 32mpand 693 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 β†’ π‘ž(ltβ€˜πΎ)𝑃))
3417, 33mtod 197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃)
3534rexlimdv3a 3149 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 π‘ž( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃))
369, 35mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  Posetcpo 18298  ltcplt 18299   β‹– ccvr 38790  Atomscatm 38791  AtLatcal 38792  HLchlt 38878  LLinesclln 39020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-glb 18338  df-p0 18416  df-lat 18423  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027
This theorem is referenced by:  llnneat  39043  llnn0  39045  lplnnle2at  39070
  Copyright terms: Public domain W3C validator