Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnleat 39496
Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnleat.l = (le‘𝐾)
llnnleat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 eqid 2735 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4 llnnleat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 llnnleat.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
62, 3, 4, 5islln 39489 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
763ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
81, 7mpbid 232 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
98simprd 495 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10 simp11 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 39342 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13 simp2 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞𝐴)
14 simp13 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃𝐴)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
1615, 4atnlt 39295 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
1712, 13, 14, 16syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
182, 4atbase 39271 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19183ad2ant2 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp12 1203 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋𝑁)
212, 5llnbase 39492 . . . . . . 7 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp3 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
242, 15, 3cvrlt 39252 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
2510, 19, 22, 23, 24syl31anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26 hlpos 39348 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
282, 4atbase 39271 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2914, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30 llnnleat.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
312, 30, 15pltletr 18401 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3227, 19, 22, 29, 31syl13anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3325, 32mpand 695 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 𝑃𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3417, 33mtod 198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 𝑃)
3534rexlimdv3a 3157 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 𝑃))
369, 35mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  ccvr 39244  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  LLinesclln 39474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-glb 18405  df-p0 18483  df-lat 18490  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481
This theorem is referenced by:  llnneat  39497  llnn0  39499  lplnnle2at  39524
  Copyright terms: Public domain W3C validator