Theorem llnnleat 38372

Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		llnnleat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		llnnleat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	islln 38365	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
8	1, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
9	8	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10		simp11 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 38218	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp13 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	15, 4	atnlt 38171	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
18	2, 4	atbase 38147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20		simp12 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
21	2, 5	llnbase 38368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24	2, 15, 3	cvrlt 38128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
25	10, 19, 22, 23, 24	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26		hlpos 38224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
27	10, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
28	2, 4	atbase 38147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30		llnnleat.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
31	2, 30, 15	pltletr 18292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
32	27, 19, 22, 29, 31	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
33	25, 32	mpand 693	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
34	17, 33	mtod 197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)
35	34	rexlimdv3a 3159	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃))
36	9, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  ltcplt 18257   ⋖ ccvr 38120  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  LLinesclln 38350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-glb 18296  df-p0 18374  df-lat 18381  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357

This theorem is referenced by:  llnneat  38373  llnn0  38375  lplnnle2at  38400