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Theorem 2atlt 38912
Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atomslt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2atomslt.s < = (ltβ€˜πΎ)
2atomslt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atlt (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑃,π‘ž   < ,π‘ž   𝑋,π‘ž
Proof of Theorem 2atlt
StepHypRef Expression
1 2atomslt.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 2atomslt.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2atbase 38761 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
4 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 2atomslt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
71, 4, 5, 6, 2hlrelat 38875 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
83, 7syl3anl2 1411 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
9 simp3l 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
10 simp1l1 1264 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simp1l2 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
13 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
145, 6, 2, 13atltcvr 38908 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1510, 11, 11, 12, 14syl13anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
169, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
176, 13, 2atcvr1 38890 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1810, 11, 12, 17syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1916, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
2019necomd 2993 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
215, 6, 2atlt 38910 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃) ↔ π‘ž β‰  𝑃))
2210, 12, 11, 21syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃) ↔ π‘ž β‰  𝑃))
2320, 22mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
2410hllatd 38836 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2511, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
261, 2atbase 38761 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
27263ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
281, 6latjcom 18438 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
2924, 25, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
3023, 29breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
31 simp3r 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)
32 hlpos 38838 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3310, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
341, 6latjcl 18430 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
3524, 25, 27, 34syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
36 simp1l3 1266 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
371, 4, 5pltletr 18334 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž < 𝑋))
3833, 27, 35, 36, 37syl13anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž < 𝑋))
3930, 31, 38mp2and 698 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < 𝑋)
4020, 39jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
41403exp 1117 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))))
4241reximdvai 3162 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋)))
438, 42mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  Posetcpo 18298  ltcplt 18299  joincjn 18302  Latclat 18422   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823
This theorem is referenced by:  cdlemb  39267  lhpexle1  39481
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