Theorem 2atlt 40273

Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atomslt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2atomslt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
2atomslt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atlt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   < ,𝑞   𝑋,𝑞

Proof of Theorem 2atlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2atomslt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		2atomslt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 40123	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		2atomslt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7	1, 4, 5, 6, 2	hlrelat 40236	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋))
8	3, 7	syl3anl2 1440	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋))
9		simp3l 1220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞))
10		simp1l1 1285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		simp1l2 1286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
14	5, 6, 2, 13	atltcvr 40269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
15	10, 11, 11, 12, 14	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
16	9, 15	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞))
17	6, 13, 2	atcvr1 40251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
19	16, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 ≠ 𝑞)
20	19	necomd 3015	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑃)
21	5, 6, 2	atlt 40271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞 < (𝑞(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
22	10, 12, 11, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑞 < (𝑞(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
23	20, 22	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 < (𝑞(join‘𝐾)𝑃))
24	10	hllatd 40198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
25	11, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26	1, 2	atbase 40123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
27	26	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
28	1, 6	latjcom 18527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) = (𝑞(join‘𝐾)𝑃))
29	24, 25, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) = (𝑞(join‘𝐾)𝑃))
30	23, 29	breqtrrd 5141	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞))
31		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)
32		hlpos 40200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
33	10, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
34	1, 6	latjcl 18519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
35	24, 25, 27, 34	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
36		simp1l3 1287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37	1, 4, 5	pltletr 18421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → 𝑞 < 𝑋))
38	33, 27, 35, 36, 37	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑞 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → 𝑞 < 𝑋))
39	30, 31, 38	mp2and 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 < 𝑋)
40	20, 39	jca 521	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))
41	40	3exp 1137	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))))
42	41	reximdvai 3178	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋)))
43	8, 42	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  lecple 17341  Posetcpo 18387  ltcplt 18388  joincjn 18391  Latclat 18511   ⋖ ccvr 40096  Atomscatm 40097  HLchlt 40184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-lat 18512  df-clat 18579  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185

This theorem is used by:  cdlemb  40628  lhpexle1  40842