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Theorem 2atlt 38298
Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atomslt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2atomslt.s < = (ltβ€˜πΎ)
2atomslt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atlt (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑃,π‘ž   < ,π‘ž   𝑋,π‘ž
Proof of Theorem 2atlt
StepHypRef Expression
1 2atomslt.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 2atomslt.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2atbase 38147 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
4 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 2atomslt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
6 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
71, 4, 5, 6, 2hlrelat 38261 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
83, 7syl3anl2 1413 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
9 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
10 simp1l1 1266 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simp1l2 1267 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
13 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
145, 6, 2, 13atltcvr 38294 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1510, 11, 11, 12, 14syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
169, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
176, 13, 2atcvr1 38276 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1810, 11, 12, 17syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1916, 18mpbird 256 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
2019necomd 2996 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
215, 6, 2atlt 38296 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃) ↔ π‘ž β‰  𝑃))
2210, 12, 11, 21syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃) ↔ π‘ž β‰  𝑃))
2320, 22mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
2410hllatd 38222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2511, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
261, 2atbase 38147 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
27263ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
281, 6latjcom 18396 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
2924, 25, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
3023, 29breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
31 simp3r 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)
32 hlpos 38224 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3310, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
341, 6latjcl 18388 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
3524, 25, 27, 34syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
36 simp1l3 1268 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
371, 4, 5pltletr 18292 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž < 𝑋))
3833, 27, 35, 36, 37syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž < 𝑋))
3930, 31, 38mp2and 697 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < 𝑋)
4020, 39jca 512 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
41403exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))))
4241reximdvai 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋)))
438, 42mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  ltcplt 18257  joincjn 18260  Latclat 18380   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  cdlemb  38653  lhpexle1  38867
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