Theorem 2atlt 39709

Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atomslt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2atomslt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
2atomslt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atlt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   < ,𝑞   𝑋,𝑞

Proof of Theorem 2atlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2atomslt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		2atomslt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 39559	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		2atomslt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7	1, 4, 5, 6, 2	hlrelat 39672	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋))
8	3, 7	syl3anl2 1415	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋))
9		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞))
10		simp1l1 1267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11		simp1l2 1268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
14	5, 6, 2, 13	atltcvr 39705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
15	10, 11, 11, 12, 14	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
16	9, 15	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞))
17	6, 13, 2	atcvr1 39687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃(join‘𝐾)𝑞)))
19	16, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 ≠ 𝑞)
20	19	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑃)
21	5, 6, 2	atlt 39707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞 < (𝑞(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
22	10, 12, 11, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑞 < (𝑞(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
23	20, 22	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 < (𝑞(join‘𝐾)𝑃))
24	10	hllatd 39634	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
25	11, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26	1, 2	atbase 39559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
28	1, 6	latjcom 18370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) = (𝑞(join‘𝐾)𝑃))
29	24, 25, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) = (𝑞(join‘𝐾)𝑃))
30	23, 29	breqtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞))
31		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)
32		hlpos 39636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
33	10, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
34	1, 6	latjcl 18362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
35	24, 25, 27, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
36		simp1l3 1269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37	1, 4, 5	pltletr 18264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → 𝑞 < 𝑋))
38	33, 27, 35, 36, 37	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑞 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → 𝑞 < 𝑋))
39	30, 31, 38	mp2and 699	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑞 < 𝑋)
40	20, 39	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))
41	40	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))))
42	41	reximdvai 3147	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑃(join‘𝐾)𝑞)(le‘𝐾)𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋)))
43	8, 42	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 < 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230  ltcplt 18231  joincjn 18234  Latclat 18354   ⋖ ccvr 39532  Atomscatm 39533  HLchlt 39620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39446  df-ol 39448  df-oml 39449  df-covers 39536  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621

This theorem is referenced by:  cdlemb  40064  lhpexle1  40278