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Theorem 2atlt 38813
Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atomslt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2atomslt.s < = (ltβ€˜πΎ)
2atomslt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atlt (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑃,π‘ž   < ,π‘ž   𝑋,π‘ž
Proof of Theorem 2atlt
StepHypRef Expression
1 2atomslt.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 2atomslt.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2atbase 38662 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
4 eqid 2724 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 2atomslt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
6 eqid 2724 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
71, 4, 5, 6, 2hlrelat 38776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
83, 7syl3anl2 1410 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋))
9 simp3l 1198 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
10 simp1l1 1263 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simp1l2 1264 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
13 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
145, 6, 2, 13atltcvr 38809 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1510, 11, 11, 12, 14syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
169, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
176, 13, 2atcvr1 38791 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1810, 11, 12, 17syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
1916, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
2019necomd 2988 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
215, 6, 2atlt 38811 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃) ↔ π‘ž β‰  𝑃))
2210, 12, 11, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃) ↔ π‘ž β‰  𝑃))
2320, 22mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
2410hllatd 38737 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2511, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
261, 2atbase 38662 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
27263ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
281, 6latjcom 18408 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
2924, 25, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)𝑃))
3023, 29breqtrrd 5167 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
31 simp3r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)
32 hlpos 38739 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3310, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
341, 6latjcl 18400 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
3524, 25, 27, 34syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
36 simp1l3 1265 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
371, 4, 5pltletr 18304 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž < 𝑋))
3833, 27, 35, 36, 37syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((π‘ž < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘ž < 𝑋))
3930, 31, 38mp2and 696 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘ž < 𝑋)
4020, 39jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
41403exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))))
4241reximdvai 3157 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 < (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (𝑃(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋)))
438, 42mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18268  ltcplt 18269  joincjn 18272  Latclat 18392   β‹– ccvr 38635  Atomscatm 38636  HLchlt 38723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724
This theorem is referenced by:  cdlemb  39168  lhpexle1  39382
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