Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem3 39937
Description: Lemma for dia2dim 39948. Define a translation 𝐷 whose trace is atom 𝑉. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem3.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem3.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem3.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem3.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem3.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem3.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem3.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem3.uv (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
dia2dimlem3.ru (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
dia2dimlem3.rv (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
dia2dimlem3.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem3.dv (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem3 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) = 𝑉)

Proof of Theorem dia2dimlem3
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem3.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem3.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
43simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 dia2dimlem3.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
6 dia2dimlem3.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 dia2dimlem3.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 dia2dimlem3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 dia2dimlem3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
106, 7, 8, 9ltrnel 39010 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
111, 4, 5, 10syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
1211simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
13 dia2dimlem3.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
1413simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
15 dia2dimlem3.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
166, 15, 7hlatlej2 38246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
172, 12, 14, 16syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
182hllatd 38234 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 7atbase 38159 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2219, 15, 7hlatjcl 38237 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
232, 12, 14, 22syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 dia2dimlem3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
256, 7, 8, 9, 24trlat 39040 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
261, 5, 3, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
27 dia2dimlem3.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
2827simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2919, 15, 7hlatjcl 38237 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
302, 26, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 dia2dimlem3.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3219, 6, 31latmlem2 18423 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑉) ≀ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
3318, 21, 23, 30, 32syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑉) ≀ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))))
3417, 33mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑉) ≀ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
35 dia2dimlem3.rf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
3615, 7hlatjcom 38238 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ π‘ˆ))
372, 28, 14, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ π‘ˆ))
3835, 37breqtrd 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ))
39 dia2dimlem3.ru . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
406, 15, 7hlatexch2 38267 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
412, 26, 14, 28, 39, 40syl131anc 1384 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
4238, 41mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ))
4319, 6, 31latleeqm2 18421 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ↔ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑉) = 𝑉))
4418, 21, 30, 43syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ↔ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑉) = 𝑉))
4542, 44mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑉) = 𝑉)
46 dia2dimlem3.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
47 dia2dimlem3.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
48 dia2dimlem3.uv . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
496, 15, 31, 7, 8, 9, 24, 47, 1, 27, 13, 5, 3, 35, 48, 39dia2dimlem1 39935 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
506, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 39034 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜π·) = ((𝑄 ∨ (π·β€˜π‘„)) ∧ π‘Š))
511, 46, 49, 50syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) = ((𝑄 ∨ (π·β€˜π‘„)) ∧ π‘Š))
5247a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
53 dia2dimlem3.dv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
5452, 53oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∨ (π·β€˜π‘„)) = (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
555simpld 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5619, 15, 7hlatjcl 38237 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
572, 55, 28, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
586, 15, 7hlatlej1 38245 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
592, 12, 14, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
6019, 6, 15, 31, 7atmod4i1 38737 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
612, 12, 57, 23, 59, 60syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
6215, 7hlatj32 38242 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ))
632, 55, 28, 12, 62syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ))
6463oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
6554, 61, 643eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∨ (π·β€˜π‘„)) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
6665oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ (π·β€˜π‘„)) ∧ π‘Š) = ((((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š))
67 hlol 38231 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
682, 67syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
6919, 15, 7hlatjcl 38237 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
702, 55, 12, 69syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7119, 7atbase 38159 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7228, 71syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7319, 15latjcl 18392 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7418, 70, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
751simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7619, 8lhpbase 38869 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7819, 31latm32 38101 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) = ((((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
7968, 74, 23, 77, 78syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∧ π‘Š) = ((((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
806, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 39034 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
811, 4, 5, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
8281oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ))
8327simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
8419, 6, 15, 31, 7atmod4i1 38737 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
852, 28, 70, 77, 83, 84syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
8682, 85eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ))
8786oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) = (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
8866, 79, 873eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ (π·β€˜π‘„)) ∧ π‘Š) = (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
8951, 88eqtr2d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) = (π‘…β€˜π·))
9034, 45, 893brtr3d 5180 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ (π‘…β€˜π·))
91 hlatl 38230 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
922, 91syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
93 hlop 38232 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OP)
95 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
96 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
9795, 96, 70ltat 38161 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)𝑉)
9894, 14, 97syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)𝑉)
99 hlpos 38236 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
10119, 95op0cl 38054 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10294, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10319, 8, 9, 24trlcl 39035 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π·) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1041, 46, 103syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10519, 6, 96pltletr 18296 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜π·) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)𝑉 ∧ 𝑉 ≀ (π‘…β€˜π·)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π·)))
106100, 102, 21, 104, 105syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)𝑉 ∧ 𝑉 ≀ (π‘…β€˜π·)) β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π·)))
10798, 90, 106mp2and 698 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π·))
10819, 96, 95opltn0 38060 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜π·) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π·) ↔ (π‘…β€˜π·) β‰  (0.β€˜πΎ)))
10994, 104, 108syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ)(ltβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π·) ↔ (π‘…β€˜π·) β‰  (0.β€˜πΎ)))
110107, 109mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (0.β€˜πΎ))
111110neneqd 2946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘…β€˜π·) = (0.β€˜πΎ))
11295, 7, 8, 9, 24trlator0 39042 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜π·) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜π·) = (0.β€˜πΎ)))
1131, 46, 112syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π·) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜π·) = (0.β€˜πΎ)))
114113orcomd 870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π·) = (0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜π·) ∈ 𝐴))
115114ord 863 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ (π‘…β€˜π·) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜π·) ∈ 𝐴))
116111, 115mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) ∈ 𝐴)
1176, 7atcmp 38181 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜π·) ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ≀ (π‘…β€˜π·) ↔ 𝑉 = (π‘…β€˜π·)))
11892, 14, 116, 117syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 ≀ (π‘…β€˜π·) ↔ 𝑉 = (π‘…β€˜π·)))
11990, 118mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (π‘…β€˜π·))
120119eqcomd 2739 1 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  ltcplt 18261  joincjn 18264  meetcmee 18265  0.cp0 18376  Latclat 18384  OPcops 38042  OLcol 38044  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  39939
  Copyright terms: Public domain W3C validator