Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem3 39080
Description: Lemma for dia2dim 39091. Define a translation 𝐷 whose trace is atom 𝑉. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem3.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem3.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem3.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem3.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem3.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem3.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem3.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem3.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem3.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem3.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem3.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem3.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem3.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem3 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)

Proof of Theorem dia2dimlem3
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem3.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
43simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑇)
5 dia2dimlem3.p . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 dia2dimlem3.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
7 dia2dimlem3.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dia2dimlem3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dia2dimlem3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9ltrnel 38153 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
111, 4, 5, 10syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
1211simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
13 dia2dimlem3.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
1413simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
15 dia2dimlem3.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
166, 15, 7hlatlej2 37390 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
172, 12, 14, 16syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
182hllatd 37378 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 7atbase 37303 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 15, 7hlatjcl 37381 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
232, 12, 14, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
24 dia2dimlem3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
256, 7, 8, 9, 24trlat 38183 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
261, 5, 3, 25syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
27 dia2dimlem3.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
2827simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
2919, 15, 7hlatjcl 37381 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
302, 26, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
31 dia2dimlem3.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
3219, 6, 31latmlem2 18188 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3318, 21, 23, 30, 32syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3417, 33mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
35 dia2dimlem3.rf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
3615, 7hlatjcom 37382 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
372, 28, 14, 36syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
3835, 37breqtrd 5100 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑉 𝑈))
39 dia2dimlem3.ru . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
406, 15, 7hlatexch2 37410 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑉𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑈) → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
412, 26, 14, 28, 39, 40syl131anc 1382 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
4238, 41mpd 15 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈))
4319, 6, 31latleeqm2 18186 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4418, 21, 30, 43syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4542, 44mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉)
46 dia2dimlem3.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑇)
47 dia2dimlem3.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
48 dia2dimlem3.uv . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
496, 15, 31, 7, 8, 9, 24, 47, 1, 27, 13, 5, 3, 35, 48, 39dia2dimlem1 39078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
506, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 38177 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
511, 46, 49, 50syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
5247a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
53 dia2dimlem3.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
5452, 53oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)))
555simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐴)
5619, 15, 7hlatjcl 37381 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
572, 55, 28, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
586, 15, 7hlatlej1 37389 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
592, 12, 14, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
6019, 6, 15, 31, 7atmod4i1 37880 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉)) → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
612, 12, 57, 23, 59, 60syl131anc 1382 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6215, 7hlatj32 37386 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑈𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
632, 55, 28, 12, 62syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
6463oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6554, 61, 643eqtrd 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6665oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
67 hlol 37375 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
682, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ OL)
6919, 15, 7hlatjcl 37381 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
702, 55, 12, 69syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
7119, 7atbase 37303 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7228, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7319, 15latjcl 18157 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
7418, 70, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
751simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
7619, 8lhpbase 38012 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7819, 31latm32 37245 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7968, 74, 23, 77, 78syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
806, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 38177 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
811, 4, 5, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
8281oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈))
8327simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 𝑊)
8419, 6, 15, 31, 7atmod4i1 37880 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
852, 28, 70, 77, 83, 84syl131anc 1382 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
8682, 85eqtr2d 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) = ((𝑅𝐹) 𝑈))
8786oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8866, 79, 873eqtrd 2782 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8951, 88eqtr2d 2779 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (𝑅𝐷))
9034, 45, 893brtr3d 5105 . . 3 (𝜑𝑉 (𝑅𝐷))
91 hlatl 37374 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
922, 91syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
93 hlop 37376 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
95 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
96 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9795, 96, 70ltat 37305 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑉𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
9894, 14, 97syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
99 hlpos 37380 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10119, 95op0cl 37198 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10294, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10319, 8, 9, 24trlcl 38178 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
1041, 46, 103syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
10519, 6, 96pltletr 18061 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
106100, 102, 21, 104, 105syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
10798, 90, 106mp2and 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷))
10819, 96, 95opltn0 37204 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
10994, 104, 108syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
110107, 109mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾))
111110neneqd 2948 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾))
11295, 7, 8, 9, 24trlator0 38185 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
1131, 46, 112syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
114113orcomd 868 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
115114ord 861 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
116111, 115mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
1176, 7atcmp 37325 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴 ∧ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴) → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11892, 14, 116, 117syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11990, 118mpbid 231 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑅𝐷))
120119eqcomd 2744 1 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  ltcplt 18026  joincjn 18029  meetcmee 18030  0.cp0 18141  Latclat 18149  OPcops 37186  OLcol 37188  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  39082
  Copyright terms: Public domain W3C validator