Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dia2dimlem3.k |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | 1 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ (π β πΎ β HL) |
3 | | dia2dimlem3.f |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) |
4 | 3 | simpld 496 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΉ β π) |
5 | | dia2dimlem3.p |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | dia2dimlem3.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | dia2dimlem3.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | dia2dimlem3.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | dia2dimlem3.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | 6, 7, 8, 9 | ltrnel 38605 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
11 | 1, 4, 5, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
12 | 11 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ (π β (πΉβπ) β π΄) |
13 | | dia2dimlem3.v |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
14 | 13 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π΄) |
15 | | dia2dimlem3.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | 6, 15, 7 | hlatlej2 37841 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄) β π β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
17 | 2, 12, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β π β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
18 | 2 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (π β πΎ β Lat) |
19 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
20 | 19, 7 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 14, 20 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 19, 15, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄) β ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 2, 12, 14, 22 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | | dia2dimlem3.r |
. . . . . . . . 9
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
25 | 6, 7, 8, 9, 24 | trlat 38635 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
26 | 1, 5, 3, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π
βπΉ) β π΄) |
27 | | dia2dimlem3.u |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
28 | 27 | simpld 496 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β π΄) |
29 | 19, 15, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π
βπΉ) β π΄ β§ π β π΄) β ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 2, 26, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
31 | | dia2dimlem3.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
32 | 19, 6, 31 | latmlem2 18360 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ))) β (π β€ ((πΉβπ) β¨ π) β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ π) β€ (((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)))) |
33 | 18, 21, 23, 30, 32 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (π β (π β€ ((πΉβπ) β¨ π) β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ π) β€ (((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)))) |
34 | 17, 33 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (π β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ π) β€ (((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
35 | | dia2dimlem3.rf |
. . . . . . 7
β’ (π β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
36 | 15, 7 | hlatjcom 37833 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
37 | 2, 28, 14, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
38 | 35, 37 | breqtrd 5132 |
. . . . . 6
β’ (π β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
39 | | dia2dimlem3.ru |
. . . . . . 7
β’ (π β (π
βπΉ) β π) |
40 | 6, 15, 7 | hlatexch2 37862 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ ((π
βπΉ) β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
βπΉ) β π) β ((π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β π β€ ((π
βπΉ) β¨ π))) |
41 | 2, 26, 14, 28, 39, 40 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β π β€ ((π
βπΉ) β¨ π))) |
42 | 38, 41 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ (π β π β€ ((π
βπΉ) β¨ π)) |
43 | 19, 6, 31 | latleeqm2 18358 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ π) = π)) |
44 | 18, 21, 30, 43 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β (π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ π) = π)) |
45 | 42, 44 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (π β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ π) = π) |
46 | | dia2dimlem3.d |
. . . . . 6
β’ (π β π· β π) |
47 | | dia2dimlem3.q |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) |
48 | | dia2dimlem3.uv |
. . . . . . 7
β’ (π β π β π) |
49 | 6, 15, 31, 7, 8, 9,
24, 47, 1, 27, 13, 5, 3, 35, 48, 39 | dia2dimlem1 39530 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
50 | 6, 15, 31, 7, 8, 9,
24 | trlval2 38629 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπ·) = ((π β¨ (π·βπ)) β§ π)) |
51 | 1, 46, 49, 50 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β (π
βπ·) = ((π β¨ (π·βπ)) β§ π)) |
52 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π = ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
53 | | dia2dimlem3.dv |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π·βπ) = (πΉβπ)) |
54 | 52, 53 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β¨ (π·βπ)) = (((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β¨ (πΉβπ))) |
55 | 5 | simpld 496 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π΄) |
56 | 19, 15, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
57 | 2, 55, 28, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
58 | 6, 15, 7 | hlatlej1 37840 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
59 | 2, 12, 14, 58 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
60 | 19, 6, 15, 31, 7 | atmod4i1 38332 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β§ (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ π)) β (((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β¨ (πΉβπ)) = (((π β¨ π) β¨ (πΉβπ)) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
61 | 2, 12, 57, 23, 59, 60 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β¨ (πΉβπ)) = (((π β¨ π) β¨ (πΉβπ)) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
62 | 15, 7 | hlatj32 37837 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (πΉβπ)) = ((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π)) |
63 | 2, 55, 28, 12, 62 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ (πΉβπ)) = ((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π)) |
64 | 63 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((π β¨ π) β¨ (πΉβπ)) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) = (((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
65 | 54, 61, 64 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β¨ (π·βπ)) = (((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
66 | 65 | oveq1d 7373 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β¨ (π·βπ)) β§ π) = ((((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β§ π)) |
67 | | hlol 37826 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
68 | 2, 67 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΎ β OL) |
69 | 19, 15, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
70 | 2, 55, 12, 69 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
71 | 19, 7 | atbase 37754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
72 | 28, 71 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
73 | 19, 15 | latjcl 18329 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
74 | 18, 70, 72, 73 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
75 | 1 | simprd 497 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π») |
76 | 19, 8 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
77 | 75, 76 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
78 | 19, 31 | latm32 37696 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β OL β§ (((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β§ π) = ((((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
79 | 68, 74, 23, 77, 78 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (π β ((((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β§ π) = ((((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
80 | 6, 15, 31, 7, 8, 9,
24 | trlval2 38629 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) |
81 | 1, 4, 5, 80 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) |
82 | 81 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π
βπΉ) β¨ π) = (((π β¨ (πΉβπ)) β§ π) β¨ π)) |
83 | 27 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β€ π) |
84 | 19, 6, 15, 31, 7 | atmod4i1 38332 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ π) β (((π β¨ (πΉβπ)) β§ π) β¨ π) = (((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ π)) |
85 | 2, 28, 70, 77, 83, 84 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((π β¨ (πΉβπ)) β§ π) β¨ π) = (((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ π)) |
86 | 82, 85 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . 7
β’ (π β (((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ π) = ((π
βπΉ) β¨ π)) |
87 | 86 | oveq1d 7373 |
. . . . . 6
β’ (π β ((((π β¨ (πΉβπ)) β¨ π) β§ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) = (((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
88 | 66, 79, 87 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
β’ (π β ((π β¨ (π·βπ)) β§ π) = (((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π))) |
89 | 51, 88 | eqtr2d 2778 |
. . . 4
β’ (π β (((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) = (π
βπ·)) |
90 | 34, 45, 89 | 3brtr3d 5137 |
. . 3
β’ (π β π β€ (π
βπ·)) |
91 | | hlatl 37825 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
92 | 2, 91 | syl 17 |
. . . 4
β’ (π β πΎ β AtLat) |
93 | | hlop 37827 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β HL β πΎ β OP) |
94 | 2, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΎ β OP) |
95 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
96 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(ltβπΎ) =
(ltβπΎ) |
97 | 95, 96, 7 | 0ltat 37756 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΄) β (0.βπΎ)(ltβπΎ)π) |
98 | 94, 14, 97 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0.βπΎ)(ltβπΎ)π) |
99 | | hlpos 37831 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β HL β πΎ β Poset) |
100 | 2, 99 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΎ β Poset) |
101 | 19, 95 | op0cl 37649 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β OP β
(0.βπΎ) β
(BaseβπΎ)) |
102 | 94, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (0.βπΎ) β (BaseβπΎ)) |
103 | 19, 8, 9, 24 | trlcl 38630 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π) β (π
βπ·) β (BaseβπΎ)) |
104 | 1, 46, 103 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π
βπ·) β (BaseβπΎ)) |
105 | 19, 6, 96 | pltletr 18233 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Poset β§
((0.βπΎ) β
(BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π
βπ·) β (BaseβπΎ))) β (((0.βπΎ)(ltβπΎ)π β§ π β€ (π
βπ·)) β (0.βπΎ)(ltβπΎ)(π
βπ·))) |
106 | 100, 102,
21, 104, 105 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((0.βπΎ)(ltβπΎ)π β§ π β€ (π
βπ·)) β (0.βπΎ)(ltβπΎ)(π
βπ·))) |
107 | 98, 90, 106 | mp2and 698 |
. . . . . . 7
β’ (π β (0.βπΎ)(ltβπΎ)(π
βπ·)) |
108 | 19, 96, 95 | opltn0 37655 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β OP β§ (π
βπ·) β (BaseβπΎ)) β ((0.βπΎ)(ltβπΎ)(π
βπ·) β (π
βπ·) β (0.βπΎ))) |
109 | 94, 104, 108 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((0.βπΎ)(ltβπΎ)(π
βπ·) β (π
βπ·) β (0.βπΎ))) |
110 | 107, 109 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ (π β (π
βπ·) β (0.βπΎ)) |
111 | 110 | neneqd 2949 |
. . . . 5
β’ (π β Β¬ (π
βπ·) = (0.βπΎ)) |
112 | 95, 7, 8, 9, 24 | trlator0 38637 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π) β ((π
βπ·) β π΄ β¨ (π
βπ·) = (0.βπΎ))) |
113 | 1, 46, 112 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π
βπ·) β π΄ β¨ (π
βπ·) = (0.βπΎ))) |
114 | 113 | orcomd 870 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π
βπ·) = (0.βπΎ) β¨ (π
βπ·) β π΄)) |
115 | 114 | ord 863 |
. . . . 5
β’ (π β (Β¬ (π
βπ·) = (0.βπΎ) β (π
βπ·) β π΄)) |
116 | 111, 115 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (π β (π
βπ·) β π΄) |
117 | 6, 7 | atcmp 37776 |
. . . 4
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ (π
βπ·) β π΄) β (π β€ (π
βπ·) β π = (π
βπ·))) |
118 | 92, 14, 116, 117 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (π β (π β€ (π
βπ·) β π = (π
βπ·))) |
119 | 90, 118 | mpbid 231 |
. 2
β’ (π β π = (π
βπ·)) |
120 | 119 | eqcomd 2743 |
1
β’ (π β (π
βπ·) = π) |