Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem3 38723
Description: Lemma for dia2dim 38734. Define a translation 𝐷 whose trace is atom 𝑉. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem3.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem3.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem3.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem3.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem3.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem3.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem3.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem3.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem3.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem3.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem3.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem3.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem3.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem3 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)

Proof of Theorem dia2dimlem3
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem3.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
43simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑇)
5 dia2dimlem3.p . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 dia2dimlem3.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
7 dia2dimlem3.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dia2dimlem3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dia2dimlem3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9ltrnel 37796 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
111, 4, 5, 10syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
1211simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
13 dia2dimlem3.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
1413simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
15 dia2dimlem3.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
166, 15, 7hlatlej2 37033 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
172, 12, 14, 16syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
182hllatd 37021 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 7atbase 36946 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 15, 7hlatjcl 37024 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
232, 12, 14, 22syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
24 dia2dimlem3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
256, 7, 8, 9, 24trlat 37826 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
261, 5, 3, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
27 dia2dimlem3.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
2827simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
2919, 15, 7hlatjcl 37024 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
302, 26, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
31 dia2dimlem3.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
3219, 6, 31latmlem2 17808 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3318, 21, 23, 30, 32syl13anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3417, 33mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
35 dia2dimlem3.rf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
3615, 7hlatjcom 37025 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
372, 28, 14, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
3835, 37breqtrd 5056 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑉 𝑈))
39 dia2dimlem3.ru . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
406, 15, 7hlatexch2 37053 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑉𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑈) → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
412, 26, 14, 28, 39, 40syl131anc 1384 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
4238, 41mpd 15 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈))
4319, 6, 31latleeqm2 17806 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4418, 21, 30, 43syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4542, 44mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉)
46 dia2dimlem3.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑇)
47 dia2dimlem3.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
48 dia2dimlem3.uv . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
496, 15, 31, 7, 8, 9, 24, 47, 1, 27, 13, 5, 3, 35, 48, 39dia2dimlem1 38721 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
506, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 37820 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
511, 46, 49, 50syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
5247a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
53 dia2dimlem3.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
5452, 53oveq12d 7188 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)))
555simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐴)
5619, 15, 7hlatjcl 37024 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
572, 55, 28, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
586, 15, 7hlatlej1 37032 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
592, 12, 14, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
6019, 6, 15, 31, 7atmod4i1 37523 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉)) → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
612, 12, 57, 23, 59, 60syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6215, 7hlatj32 37029 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑈𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
632, 55, 28, 12, 62syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
6463oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6554, 61, 643eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6665oveq1d 7185 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
67 hlol 37018 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
682, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ OL)
6919, 15, 7hlatjcl 37024 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
702, 55, 12, 69syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
7119, 7atbase 36946 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7228, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7319, 15latjcl 17777 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
7418, 70, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
751simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
7619, 8lhpbase 37655 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7819, 31latm32 36888 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7968, 74, 23, 77, 78syl13anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
806, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 37820 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
811, 4, 5, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
8281oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈))
8327simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 𝑊)
8419, 6, 15, 31, 7atmod4i1 37523 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
852, 28, 70, 77, 83, 84syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
8682, 85eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) = ((𝑅𝐹) 𝑈))
8786oveq1d 7185 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8866, 79, 873eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8951, 88eqtr2d 2774 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (𝑅𝐷))
9034, 45, 893brtr3d 5061 . . 3 (𝜑𝑉 (𝑅𝐷))
91 hlatl 37017 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
922, 91syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
93 hlop 37019 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
95 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
96 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9795, 96, 70ltat 36948 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑉𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
9894, 14, 97syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
99 hlpos 37023 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10119, 95op0cl 36841 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10294, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10319, 8, 9, 24trlcl 37821 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
1041, 46, 103syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
10519, 6, 96pltletr 17697 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
106100, 102, 21, 104, 105syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
10798, 90, 106mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷))
10819, 96, 95opltn0 36847 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
10994, 104, 108syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
110107, 109mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾))
111110neneqd 2939 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾))
11295, 7, 8, 9, 24trlator0 37828 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
1131, 46, 112syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
114113orcomd 870 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
115114ord 863 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
116111, 115mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
1176, 7atcmp 36968 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴 ∧ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴) → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11892, 14, 116, 117syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11990, 118mpbid 235 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑅𝐷))
120119eqcomd 2744 1 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  Posetcpo 17666  ltcplt 17667  joincjn 17670  meetcmee 17671  0.cp0 17763  Latclat 17771  OPcops 36829  OLcol 36831  Atomscatm 36920  AtLatcal 36921  HLchlt 37007  LHypclh 37641  LTrncltrn 37758  trLctrl 37815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-map 8439  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-oposet 36833  df-ol 36835  df-oml 36836  df-covers 36923  df-ats 36924  df-atl 36955  df-cvlat 36979  df-hlat 37008  df-llines 37155  df-psubsp 37160  df-pmap 37161  df-padd 37453  df-lhyp 37645  df-laut 37646  df-ldil 37761  df-ltrn 37762  df-trl 37816
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  38725
  Copyright terms: Public domain W3C validator