Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem3 41049
Description: Lemma for dia2dim 41060. Define a translation 𝐷 whose trace is atom 𝑉. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem3.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem3.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem3.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem3.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem3.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem3.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem3.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem3.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem3.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem3.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem3.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem3.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem3.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem3 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)

Proof of Theorem dia2dimlem3
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem3.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
43simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑇)
5 dia2dimlem3.p . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 dia2dimlem3.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
7 dia2dimlem3.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dia2dimlem3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dia2dimlem3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9ltrnel 40122 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
111, 4, 5, 10syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
1211simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
13 dia2dimlem3.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
1413simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
15 dia2dimlem3.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
166, 15, 7hlatlej2 39358 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
172, 12, 14, 16syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
182hllatd 39346 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 7atbase 39271 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
232, 12, 14, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
24 dia2dimlem3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
256, 7, 8, 9, 24trlat 40152 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
261, 5, 3, 25syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
27 dia2dimlem3.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
2827simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
2919, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
302, 26, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
31 dia2dimlem3.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
3219, 6, 31latmlem2 18528 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3318, 21, 23, 30, 32syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3417, 33mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
35 dia2dimlem3.rf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
3615, 7hlatjcom 39350 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
372, 28, 14, 36syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
3835, 37breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑉 𝑈))
39 dia2dimlem3.ru . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
406, 15, 7hlatexch2 39379 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑉𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑈) → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
412, 26, 14, 28, 39, 40syl131anc 1382 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
4238, 41mpd 15 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈))
4319, 6, 31latleeqm2 18526 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4418, 21, 30, 43syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4542, 44mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉)
46 dia2dimlem3.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑇)
47 dia2dimlem3.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
48 dia2dimlem3.uv . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
496, 15, 31, 7, 8, 9, 24, 47, 1, 27, 13, 5, 3, 35, 48, 39dia2dimlem1 41047 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
506, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 40146 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
511, 46, 49, 50syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
5247a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
53 dia2dimlem3.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
5452, 53oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)))
555simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐴)
5619, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
572, 55, 28, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
586, 15, 7hlatlej1 39357 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
592, 12, 14, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
6019, 6, 15, 31, 7atmod4i1 39849 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉)) → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
612, 12, 57, 23, 59, 60syl131anc 1382 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6215, 7hlatj32 39354 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑈𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
632, 55, 28, 12, 62syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
6463oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6554, 61, 643eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6665oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
67 hlol 39343 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
682, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ OL)
6919, 15, 7hlatjcl 39349 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
702, 55, 12, 69syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
7119, 7atbase 39271 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7228, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7319, 15latjcl 18497 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
7418, 70, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
751simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
7619, 8lhpbase 39981 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7819, 31latm32 39213 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
7968, 74, 23, 77, 78syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
806, 15, 31, 7, 8, 9, 24trlval2 40146 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
811, 4, 5, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
8281oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈))
8327simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 𝑊)
8419, 6, 15, 31, 7atmod4i1 39849 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
852, 28, 70, 77, 83, 84syl131anc 1382 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
8682, 85eqtr2d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) = ((𝑅𝐹) 𝑈))
8786oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8866, 79, 873eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8951, 88eqtr2d 2776 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (𝑅𝐷))
9034, 45, 893brtr3d 5179 . . 3 (𝜑𝑉 (𝑅𝐷))
91 hlatl 39342 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
922, 91syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
93 hlop 39344 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
942, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
95 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
96 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9795, 96, 70ltat 39273 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑉𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
9894, 14, 97syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
99 hlpos 39348 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
1002, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10119, 95op0cl 39166 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10294, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10319, 8, 9, 24trlcl 40147 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
1041, 46, 103syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
10519, 6, 96pltletr 18401 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
106100, 102, 21, 104, 105syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
10798, 90, 106mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷))
10819, 96, 95opltn0 39172 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
10994, 104, 108syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
110107, 109mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾))
111110neneqd 2943 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾))
11295, 7, 8, 9, 24trlator0 40154 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
1131, 46, 112syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
114113orcomd 871 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
115114ord 864 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
116111, 115mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
1176, 7atcmp 39293 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴 ∧ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴) → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11892, 14, 116, 117syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11990, 118mpbid 232 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑅𝐷))
120119eqcomd 2741 1 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  joincjn 18369  meetcmee 18370  0.cp0 18481  Latclat 18489  OPcops 39154  OLcol 39156  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41051
  Copyright terms: Public domain W3C validator