Theorem polcon3N 38776

Description: Contraposition law for polarity. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
2		iinss1 5011	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)))
3		sslin 4233	. . 3 ⊢ (∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
5		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	polvalN 38764	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
10	9	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
11		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	sstrd 3991	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
14	5, 6, 7, 8	polvalN 38764	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
16	4, 10, 15	3sstr4d 4028	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∩ ciin 4997  ‘cfv 6540  occoc 17201  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  pmapcpmap 38356  ⊥_𝑃cpolN 38761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-polarityN 38762

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  38777  polcon2N  38778  paddunN  38786