Theorem polcon3N 40975

Description: Contraposition law for polarity. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
2		iinss1 4966	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)))
3		sslin 4139	. . 3 ⊢ (∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	polvalN 40963	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
10	9	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
11		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	sstrd 3918	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
14	5, 6, 7, 8	polvalN 40963	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
15	11, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
16	4, 10, 15	3sstr4d 3963	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∩ ciin 4951  ‘cfv 6538  occoc 17436  Atomscatm 40321  HLchlt 40408  pmapcpmap 40555  ⊥_𝑃cpolN 40960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-polarityN 40961

This theorem is used by:  2polcon4bN  40976  polcon2N  40977  paddunN  40985