Theorem polcon3N 40615

Description: Contraposition law for polarity. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
2		iinss1 4976	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)))
3		sslin 4203	. . 3 ⊢ (∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	polvalN 40603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
10	9	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
11		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	sstrd 3955	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
14	5, 6, 7, 8	polvalN 40603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
15	11, 13, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
16	4, 10, 15	3sstr4d 4000	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∩ ciin 4961  ‘cfv 6537  occoc 17318  Atomscatm 39961  HLchlt 40048  pmapcpmap 40195  ⊥_𝑃cpolN 40600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-polarityN 40601

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  40616  polcon2N  40617  paddunN  40625