Theorem polcon3N 40754

Description: Contraposition law for polarity. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
2		iinss1 4974	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)))
3		sslin 4195	. . 3 ⊢ (∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	polvalN 40742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
10	9	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
11		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	sstrd 3948	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
14	5, 6, 7, 8	polvalN 40742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
15	11, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
16	4, 10, 15	3sstr4d 3993	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∩ ciin 4959  ‘cfv 6541  occoc 17345  Atomscatm 40100  HLchlt 40187  pmapcpmap 40334  ⊥_𝑃cpolN 40739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-polarityN 40740

This theorem is used by:  2polcon4bN  40755  polcon2N  40756  paddunN  40764