Theorem polcon3N 39900

Description: Contraposition law for polarity. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
2		iinss1 5012	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)))
3		sslin 4251	. . 3 ⊢ (∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	polvalN 39888	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
10	9	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
11		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	sstrd 4006	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
14	5, 6, 7, 8	polvalN 39888	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
16	4, 10, 15	3sstr4d 4043	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∩ ciin 4997  ‘cfv 6563  occoc 17306  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  ⊥_𝑃cpolN 39885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-polarityN 39886

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39901  polcon2N  39902  paddunN  39910