Theorem polvalN 40707

Description: Value of the projective subspace polarity function. (Contributed by NM, 23-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polfval.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polfval.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polfval.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polvalN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑀(𝑝)   ⊥ (𝑝)

Proof of Theorem polvalN

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2	1	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	elpw2 5304	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		polfval.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5		polfval.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6		polfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
7	4, 1, 5, 6	polfvalN 40706	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)))))
8	7	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → (𝑃‘𝑋) = ((𝑚 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))‘𝑋))
9		iineq1 4973	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)) = ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)))
10	9	ineq2d 4172	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝)))) = (𝑚 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))
12	2	inex1 5285	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6989	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 → ((𝑚 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑚 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))
14	8, 13	sylan9eq 2817	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))
15	3, 14	sylan2br 606	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑝 ∈ 𝑋 (𝑀‘( ⊥ ‘𝑝))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∩ ciin 4956   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  occoc 17324  Atomscatm 40065  pmapcpmap 40299  ⊥_𝑃cpolN 40704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-polarityN 40705

This theorem is used by:  polval2N  40708  pol0N  40711  polcon3N  40719  polatN  40733