Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polcon4bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polcon4bN 35726
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1227 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3 2polss.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polss.p . . . . . . . . 9 = (⊥𝑃𝐾)
53, 4polssatN 35716 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
653adant2 1125 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
73, 4polssatN 35716 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 6, 7syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
98adantr 466 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
10 simpr 471 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
113, 4polcon3N 35725 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
121, 9, 10, 11syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
1312ex 397 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋)))))
143, 43polN 35724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
15143adant2 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
163, 43polN 35724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
17163adant3 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
1815, 17sseq12d 3783 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
1913, 18sylibd 229 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
20 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
213, 4polssatN 35716 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
22213adant3 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
2322adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
24 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
253, 4polcon3N 35725 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2726ex 397 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))))
2819, 27impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6031  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  𝑃cpolN 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-undef 7551  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-polarityN 35711
This theorem is referenced by:  paddunN  35735
  Copyright terms: Public domain W3C validator