Theorem 2polcon4bN 39942

Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polcon4bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3		2polss.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polss.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	polssatN 39932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	3, 4	polssatN 39932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
11	3, 4	polcon3N 39941	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))))
14	3, 4	3polN 39940	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
15	14	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
16	3, 4	3polN 39940	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	15, 17	sseq12d 3997	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
19	13, 18	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
20		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
21	3, 4	polssatN 39932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
22	21	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
25	3, 4	polcon3N 39941	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	26	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
28	19, 27	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  Atomscatm 39286  HLchlt 39373  ⊥_𝑃cpolN 39926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-polarityN 39927

This theorem is referenced by:  paddunN  39951