Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polcon4bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polcon4bN 39901
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3 2polss.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polss.p . . . . . . . . 9 = (⊥𝑃𝐾)
53, 4polssatN 39891 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
653adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
73, 4polssatN 39891 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
98adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
10 simpr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
113, 4polcon3N 39900 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
121, 9, 10, 11syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
1312ex 412 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋)))))
143, 43polN 39899 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
15143adant2 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
163, 43polN 39899 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
17163adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
1815, 17sseq12d 4029 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
1913, 18sylibd 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
20 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
213, 4polssatN 39891 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
22213adant3 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
2322adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
24 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
253, 4polcon3N 39900 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2726ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))))
2819, 27impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  𝑃cpolN 39885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-polarityN 39886
This theorem is referenced by:  paddunN  39910
  Copyright terms: Public domain W3C validator