Theorem 2polcon4bN 37859

Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polcon4bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3		2polss.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polss.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	polssatN 37849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	3, 4	polssatN 37849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
8	2, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
11	3, 4	polcon3N 37858	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))))
14	3, 4	3polN 37857	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
15	14	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
16	3, 4	3polN 37857	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
17	16	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	15, 17	sseq12d 3950	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
19	13, 18	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
20		simpl1 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
21	3, 4	polssatN 37849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
22	21	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
25	3, 4	polcon3N 37858	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	26	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
28	19, 27	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  ⊥_𝑃cpolN 37843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-undef 8060  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-polarityN 37844

This theorem is referenced by:  paddunN  37868