Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polcon4bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polcon4bN 39921
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3 2polss.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polss.p . . . . . . . . 9 = (⊥𝑃𝐾)
53, 4polssatN 39911 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
653adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
73, 4polssatN 39911 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
98adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
10 simpr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
113, 4polcon3N 39920 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
121, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
1312ex 412 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋)))))
143, 43polN 39919 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
15143adant2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
163, 43polN 39919 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
17163adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
1815, 17sseq12d 4016 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
1913, 18sylibd 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
20 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
213, 4polssatN 39911 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
22213adant3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
2322adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
24 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
253, 4polcon3N 39920 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2726ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))))
2819, 27impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  cfv 6560  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  𝑃cpolN 39905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-polarityN 39906
This theorem is referenced by:  paddunN  39930
  Copyright terms: Public domain W3C validator