Theorem 2polcon4bN 39447

Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polcon4bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3		2polss.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polss.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	polssatN 39437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	3, 4	polssatN 39437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
8	2, 6, 7	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴)
10		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
11	3, 4	polcon3N 39446	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
13	12	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))))
14	3, 4	3polN 39445	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
15	14	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
16	3, 4	3polN 39445	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
17	16	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	15, 17	sseq12d 4006	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
19	13, 18	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
20		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
21	3, 4	polssatN 39437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
22	21	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
23	22	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
24		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
25	3, 4	polcon3N 39446	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	26	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
28	19, 27	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  ⊥_𝑃cpolN 39431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-polarityN 39432

This theorem is referenced by:  paddunN  39456