Theorem polcon2N 40091

Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 40087	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
4	3	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
5	1, 2	polssatN 40080	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	1, 2	polcon3N 40089	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
8	6, 7	syld3an2 1413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
9	4, 8	sstrd 3941	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6489  Atomscatm 39435  HLchlt 39522  ⊥_𝑃cpolN 40074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-polarityN 40075

This theorem is referenced by:  polcon2bN  40092  osumcllem3N  40130