Theorem polcon2N 37529

Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polcon2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem polcon2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polss.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 37525	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
4	3	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
5	1, 2	polssatN 37518	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	1, 2	polcon3N 37527	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
8	6, 7	syld3an2 1408	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
9	4, 8	sstrd 3904	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6340  Atomscatm 36873  HLchlt 36960  ⊥_𝑃cpolN 37512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-riotaBAD 36563

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-undef 7955  df-proset 17617  df-poset 17635  df-plt 17647  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-p0 17728  df-p1 17729  df-lat 17735  df-clat 17797  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-atl 36908  df-cvlat 36932  df-hlat 36961  df-psubsp 37113  df-pmap 37114  df-polarityN 37513

This theorem is referenced by:  polcon2bN  37530  osumcllem3N  37568