Theorem uzinico2 42199

Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinico2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uzinico2	⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4146	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3		incom 4128	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
5		uzssz 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
7		uzinico2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	sseldd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
10	8, 9	uzinico 42197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
11	10	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ≥‘𝑁))
12	11	ineq1d 4138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
13	7	uzssd 42045	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
14		df-ss 3898	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
15	13, 14	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
16	4, 12, 15	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ≥‘𝑁))
17		uzssz 12252	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
18		df-ss 3898	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
19	17, 18	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
21	20	eqcomd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ))
22	2, 16, 21	3eqtrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23		df-ss 3898	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀))
24	5, 23	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀)
25	24	ineq1i 4135	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
27	22, 20, 26	3eqtr3d 2841	1 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  +∞cpnf 10661  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  [,)cico 12728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-ico 12732

This theorem is referenced by:  uzinico3  42200  limsupvaluz  42350