Theorem uzinico2 46378

Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinico2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uzinico2	⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4176	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3		incom 4158	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
5		uzssz 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
7		uzinico2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
10	8, 9	uzinico 46376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
11	10	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ≥‘𝑁))
12	11	ineq1d 4168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
13	7	uzssd 46223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
14		dfss2 3920	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
15	13, 14	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
16	4, 12, 15	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ≥‘𝑁))
17		uzssz 12911	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
18		dfss2 3920	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
19	17, 18	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
21	20	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ))
22	2, 16, 21	3eqtrrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23		dfss2 3920	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀))
24	5, 23	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀)
25	24	ineq1i 4165	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
27	22, 20, 26	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  +∞cpnf 11267  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  [,)cico 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891  df-ico 13406

This theorem is used by:  uzinico3  46379  limsupvaluz  46523