Theorem uzinico2 46495

Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinico2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uzinico2	⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4172	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3		incom 4154	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
5		uzssz 12955	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
7		uzinico2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	sseldd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
10	8, 9	uzinico 46493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
11	10	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ≥‘𝑁))
12	11	ineq1d 4164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
13	7	uzssd 46340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
14		dfss2 3916	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
15	13, 14	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
16	4, 12, 15	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ≥‘𝑁))
17		uzssz 12955	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
18		dfss2 3916	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
19	17, 18	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
21	20	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ))
22	2, 16, 21	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23		dfss2 3916	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀))
24	5, 23	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀)
25	24	ineq1i 4161	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
27	22, 20, 26	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  +∞cpnf 11311  ℤcz 12662  ℤ_≥cuz 12934  [,)cico 13447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-neg 11515  df-z 12663  df-uz 12935  df-ico 13451

This theorem is used by:  uzinico3  46496  limsupvaluz  46640