Theorem uzinico2 46225

Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinico2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uzinico2	⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4179	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3		incom 4161	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
5		uzssz 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
7		uzinico2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
10	8, 9	uzinico 46223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
11	10	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ≥‘𝑁))
12	11	ineq1d 4171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
13	7	uzssd 46070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
14		dfss2 3922	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
15	13, 14	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
16	4, 12, 15	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ≥‘𝑁))
17		uzssz 12882	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
18		dfss2 3922	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
19	17, 18	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
21	20	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ))
22	2, 16, 21	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23		dfss2 3922	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀))
24	5, 23	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀)
25	24	ineq1i 4168	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
27	22, 20, 26	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  +∞cpnf 11239  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  [,)cico 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-neg 11443  df-z 12591  df-uz 12862  df-ico 13377

This theorem is referenced by:  uzinico3  46226  limsupvaluz  46370