Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico2 43807
Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinico2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
uzinico2 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2
StepHypRef Expression
1 inass 4180 . . . 4 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3 incom 4162 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀))
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)))
5 uzssz 12785 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
7 uzinico2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7sseldd 3946 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
108, 9uzinico 43805 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
1110eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ𝑁))
1211ineq1d 4172 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)))
137uzssd 43650 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
14 df-ss 3928 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
1513, 14sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
164, 12, 153eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ𝑁))
17 uzssz 12785 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
18 df-ss 3928 . . . . . 6 ((ℤ𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
1917, 18mpbi 229 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
2120eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑁) ∩ ℤ))
222, 16, 213eqtrrd 2782 . 2 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23 df-ss 3928 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀))
245, 23mpbi 229 . . . 4 ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀)
2524ineq1i 4169 . . 3 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
2722, 20, 263eqtr3d 2785 1 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  wss 3911  cfv 6497  (class class class)co 7358  +∞cpnf 11187  cz 12500  cuz 12764  [,)cico 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-ico 13271
This theorem is referenced by:  uzinico3  43808  limsupvaluz  43956
  Copyright terms: Public domain W3C validator