Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico2 40427
Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinico2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
uzinico2 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2
StepHypRef Expression
1 inass 3983 . . . 4 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3 incom 3967 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀))
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)))
5 uzssz 11906 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
7 uzinico2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7sseldd 3762 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 eqid 2765 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
108, 9uzinico 40425 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
1110eqcomd 2771 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ𝑁))
1211ineq1d 3975 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)))
137uzssd 40271 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
14 df-ss 3746 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
1513, 14sylib 209 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
164, 12, 153eqtrd 2803 . . 3 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ𝑁))
17 uzssz 11906 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
18 df-ss 3746 . . . . . 6 ((ℤ𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
1917, 18mpbi 221 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
2120eqcomd 2771 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑁) ∩ ℤ))
222, 16, 213eqtrrd 2804 . 2 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23 df-ss 3746 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀))
245, 23mpbi 221 . . . 4 ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀)
2524ineq1i 3972 . . 3 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
2722, 20, 263eqtr3d 2807 1 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3731  wss 3732  cfv 6068  (class class class)co 6842  +∞cpnf 10325  cz 11624  cuz 11886  [,)cico 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-neg 10523  df-z 11625  df-uz 11887  df-ico 12383
This theorem is referenced by:  uzinico3  40428  limsupvaluz  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator