Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico2 45575
Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinico2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
uzinico2 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2
StepHypRef Expression
1 inass 4228 . . . 4 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3 incom 4209 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀))
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)))
5 uzssz 12899 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
7 uzinico2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
108, 9uzinico 45573 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
1110eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ𝑁))
1211ineq1d 4219 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)))
137uzssd 45419 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
14 dfss2 3969 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
1513, 14sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
164, 12, 153eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ𝑁))
17 uzssz 12899 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
18 dfss2 3969 . . . . . 6 ((ℤ𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
1917, 18mpbi 230 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
2120eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑁) ∩ ℤ))
222, 16, 213eqtrrd 2782 . 2 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23 dfss2 3969 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀))
245, 23mpbi 230 . . . 4 ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀)
2524ineq1i 4216 . . 3 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
2722, 20, 263eqtr3d 2785 1 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  +∞cpnf 11292  cz 12613  cuz 12878  [,)cico 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393
This theorem is referenced by:  uzinico3  45576  limsupvaluz  45723
  Copyright terms: Public domain W3C validator