Theorem uzinico2 46778

Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinico2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uzinico2	⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4127	. . . 4 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3		incom 4109	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
5		uzssz 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
7		uzinico2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
10	8, 9	uzinico 46776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
11	10	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ≥‘𝑁))
12	11	ineq1d 4119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)))
13	7	uzssd 46623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
14		dfss2 4097	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
15	13, 14	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ (ℤ≥‘𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
16	4, 12, 15	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ≥‘𝑁))
17		uzssz 13013	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
18		dfss2 4097	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
19	17, 18	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑁))
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ))
22	2, 16, 21	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23		dfss2 4097	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀))
24	5, 23	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ≥‘𝑀)
25	24	ineq1i 4116	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤ≥‘𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
27	22, 20, 26	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  +∞cpnf 11367  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  [,)cico 13505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-neg 11571  df-z 12721  df-uz 12993  df-ico 13509

This theorem is used by:  uzinico3  46779  limsupvaluz  46923