Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico2 45514
Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinico2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
uzinico2 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2
StepHypRef Expression
1 inass 4235 . . . 4 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3 incom 4216 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀))
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)))
5 uzssz 12896 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
7 uzinico2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7sseldd 3995 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 eqid 2734 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
108, 9uzinico 45512 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
1110eqcomd 2740 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ𝑁))
1211ineq1d 4226 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)))
137uzssd 45357 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
14 dfss2 3980 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
1513, 14sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
164, 12, 153eqtrd 2778 . . 3 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ𝑁))
17 uzssz 12896 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
18 dfss2 3980 . . . . . 6 ((ℤ𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
1917, 18mpbi 230 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
2120eqcomd 2740 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑁) ∩ ℤ))
222, 16, 213eqtrrd 2779 . 2 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23 dfss2 3980 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀))
245, 23mpbi 230 . . . 4 ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀)
2524ineq1i 4223 . . 3 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
2722, 20, 263eqtr3d 2782 1 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  +∞cpnf 11289  cz 12610  cuz 12875  [,)cico 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-ico 13389
This theorem is referenced by:  uzinico3  45515  limsupvaluz  45663
  Copyright terms: Public domain W3C validator