Theorem issmfle2d 44342

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfle2d.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfle2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfle2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfle2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfle2d.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		issmfle2d.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		issmfle2d.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4		issmfle2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6		rexr 11021	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
8	5, 7	preimaiocmnf 43099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9		issmfle2d.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 10	issmfled 44293	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  (,]cioc 13080   ↾_t crest 17131  SAlgcsalg 43849  SMblFncsmblfn 44233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-fl 13512  df-rest 17133  df-salg 43850  df-smblfn 44234

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  44346