Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfle2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfle2d 45203
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfle2d.a β„²π‘Žπœ‘
issmfle2d.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfle2d.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfle2d.l ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfle2d (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘Ž   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)

Proof of Theorem issmfle2d
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfle2d.a . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 issmfle2d.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 issmfle2d.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
4 issmfle2d.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
54adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
6 rexr 11225 . . . . 5 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
76adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
85, 7preimaiocmnf 43952 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž})
9 issmfle2d.l . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
108, 9eqeltrrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
111, 2, 3, 4, 10issmfled 45151 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  {crab 3418   βŠ† wss 3928  βˆͺ cuni 4885   class class class wbr 5125  β—‘ccnv 5652   β€œ cima 5656  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„cr 11074  -∞cmnf 11211  β„*cxr 11212   ≀ cle 11214  (,]cioc 13290   β†Ύt crest 17331  SAlgcsalg 44702  SMblFncsmblfn 45089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fl 13722  df-rest 17333  df-salg 44703  df-smblfn 45090
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  45207
  Copyright terms: Public domain W3C validator