Theorem issmfle2d 44014

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfle2d.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfle2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfle2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfle2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfle2d.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		issmfle2d.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		issmfle2d.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4		issmfle2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6		rexr 10879	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
8	5, 7	preimaiocmnf 42774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9		issmfle2d.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 10	issmfled 43965	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2110  {crab 3065   ⊆ wss 3866  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866   ≤ cle 10868  (,]cioc 12936   ↾_t crest 16925  SAlgcsalg 43524  SMblFncsmblfn 43908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-ac2 10077  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-acn 9558  df-ac 9730  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-fl 13367  df-rest 16927  df-salg 43525  df-smblfn 43909

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  44018