Theorem issmfle2d 46781

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfle2d.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfle2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfle2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfle2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfle2d.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		issmfle2d.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		issmfle2d.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4		issmfle2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6		rexr 11289	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
8	5, 7	preimaiocmnf 45531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9		issmfle2d.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 10	issmfled 46729	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  {crab 3419   ⊆ wss 3931  ∪ cuni 4887   class class class wbr 5123  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  -∞cmnf 11275  ℝ^*cxr 11276   ≤ cle 11278  (,]cioc 13370   ↾_t crest 17436  SAlgcsalg 46280  SMblFncsmblfn 46667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cc 10457  ax-ac2 10485  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 9961  df-acn 9964  df-ac 10138  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-fl 13814  df-rest 17438  df-salg 46281  df-smblfn 46668

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  46785