Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfle2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfle2d 42645
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfle2d.a 𝑎𝜑
issmfle2d.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d (𝜑𝐷 𝑆)
issmfle2d.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfle2d (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfle2d.a . 2 𝑎𝜑
2 issmfle2d.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 issmfle2d.d . 2 (𝜑𝐷 𝑆)
4 issmfle2d.f . 2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6 rexr 10533 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
76adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
85, 7preimaiocmnf 41398 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
9 issmfle2d.l . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
108, 9eqeltrrd 2884 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
111, 2, 3, 4, 10issmfled 42596 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wnf 1765  wcel 2081  {crab 3109  wss 3859   cuni 4745   class class class wbr 4962  ccnv 5442  cima 5446  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  -∞cmnf 10519  *cxr 10520  cle 10522  (,]cioc 12589  t crest 16523  SAlgcsalg 42155  SMblFncsmblfn 42539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-ac2 9731  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-card 9214  df-acn 9217  df-ac 9388  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-fl 13012  df-rest 16525  df-salg 42156  df-smblfn 42540
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  42649
  Copyright terms: Public domain W3C validator