Theorem issmfle2d 46764

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfle2d.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfle2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfle2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfle2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfle2d.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		issmfle2d.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		issmfle2d.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4		issmfle2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6		rexr 11304	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
8	5, 7	preimaiocmnf 45513	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9		issmfle2d.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 10	issmfled 46712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1779   ∈ wcel 2105  {crab 3432   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  -∞cmnf 11290  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  (,]cioc 13384   ↾_t crest 17466  SAlgcsalg 46263  SMblFncsmblfn 46650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-fl 13828  df-rest 17468  df-salg 46264  df-smblfn 46651

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  46768