Theorem issmfle2d 45203

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfle2d.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfle2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfle2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfle2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfle2d.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		issmfle2d.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		issmfle2d.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4		issmfle2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6		rexr 11225	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
8	5, 7	preimaiocmnf 43952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9		issmfle2d.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 10	issmfled 45151	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  {crab 3418   ⊆ wss 3928  ∪ cuni 4885   class class class wbr 5125  ^◡ccnv 5652   “ cima 5656  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℝcr 11074  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   ≤ cle 11214  (,]cioc 13290   ↾_t crest 17331  SAlgcsalg 44702  SMblFncsmblfn 45089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fl 13722  df-rest 17333  df-salg 44703  df-smblfn 45090

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  45207