Theorem mnfltd 13179

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝcr 11127  -∞cmnf 11269   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  qbtwnxr  13256  xltnegi  13272  supxrre  13383  infxrre  13393  caucvgrlem  15764  tgioo  25028  reconnlem1  25059  reconnlem2  25060  ovoliunlem1  25736  ovoliun  25739  ioombl1lem2  25793  ismbf3d  25888  dvferm1lem  26218  dvferm2lem  26220  degltlem1  26304  ply1divex  26369  dvdsq1p  26395  logdmnrp  26886  atans2  27176  ply1degltel  34012  ply1degleel  34013  ply1degltlss  34014  ply1degltdimlem  34140  areacirclem5  38469  aks6d1c5lem3  43011  infleinflem2  46208  xrralrecnnge  46227  icoopn  46363  icomnfinre  46390  ressiocsup  46392  ressioosup  46393  preimaiocmnf  46398  limciccioolb  46459  limsupre  46477  limcresioolb  46479  limcleqr  46480  xlimmnfvlem1  46668  fourierdlem32  46975  fourierdlem46  46988  fourierdlem48  46990  fourierdlem49  46991  fourierdlem74  47016  fourierdlem88  47030  fourierdlem95  47037  fourierdlem103  47045  fourierdlem104  47046  fouriersw  47067  ioorrnopnxrlem  47142  hspdifhsp  47452  hspmbllem2  47463  pimgtmnf2  47550  smfsuplem1  47647