Theorem mnfltd 13084

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  -∞cmnf 11206   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13160  xltnegi  13176  supxrre  13287  infxrre  13297  caucvgrlem  15639  tgioo  24684  reconnlem1  24715  reconnlem2  24716  ovoliunlem1  25403  ovoliun  25406  ioombl1lem2  25460  ismbf3d  25555  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  degltlem1  25977  ply1divex  26042  dvdsq1p  26068  logdmnrp  26550  atans2  26841  ply1degltel  33560  ply1degleel  33561  ply1degltlss  33562  ply1degltdimlem  33618  areacirclem5  37706  aks6d1c5lem3  42125  infleinflem2  45367  xrralrecnnge  45386  icoopn  45523  icomnfinre  45550  ressiocsup  45552  ressioosup  45553  preimaiocmnf  45558  limciccioolb  45619  limsupre  45639  limcresioolb  45641  limcleqr  45642  xlimmnfvlem1  45830  fourierdlem32  46137  fourierdlem46  46150  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem74  46178  fourierdlem88  46192  fourierdlem95  46199  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fouriersw  46229  ioorrnopnxrlem  46304  hspdifhsp  46614  hspmbllem2  46625  pimgtmnf2  46712  smfsuplem1  46809