Theorem mnfltd 12273

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 12272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ℝcr 10273  -∞cmnf 10411   < clt 10413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-xp 5363  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12347  xltnegi  12363  supxrre  12473  infxrre  12482  caucvgrlem  14815  ovoliunlem1  23710  areacirclem5  34134  infleinflem2  40505  xrralrecnnge  40529  icoopn  40670  icomnfinre  40697  ressiocsup  40699  ressioosup  40700  preimaiocmnf  40706  limciccioolb  40771  limsupre  40791  limcresioolb  40793  limcleqr  40794  xlimmnfvlem1  40982  fourierdlem32  41293  fourierdlem46  41306  fourierdlem48  41308  fourierdlem49  41309  fourierdlem74  41334  fourierdlem88  41348  fourierdlem95  41355  fourierdlem103  41363  fourierdlem104  41364  fouriersw  41385  ioorrnopnxrlem  41460  hspdifhsp  41767  hspmbllem2  41778  pimltmnf2  41848  pimgtmnf2  41861  smfsuplem1  41954