Theorem mnfltd 13166

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154  -∞cmnf 11293   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13242  xltnegi  13258  supxrre  13369  infxrre  13378  caucvgrlem  15709  tgioo  24817  reconnlem1  24848  reconnlem2  24849  ovoliunlem1  25537  ovoliun  25540  ioombl1lem2  25594  ismbf3d  25689  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  degltlem1  26111  ply1divex  26176  dvdsq1p  26202  logdmnrp  26683  atans2  26974  ply1degltel  33615  ply1degleel  33616  ply1degltlss  33617  ply1degltdimlem  33673  areacirclem5  37719  aks6d1c5lem3  42138  infleinflem2  45382  xrralrecnnge  45401  icoopn  45538  icomnfinre  45565  ressiocsup  45567  ressioosup  45568  preimaiocmnf  45574  limciccioolb  45636  limsupre  45656  limcresioolb  45658  limcleqr  45659  xlimmnfvlem1  45847  fourierdlem32  46154  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem74  46195  fourierdlem88  46209  fourierdlem95  46216  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fouriersw  46246  ioorrnopnxrlem  46321  hspdifhsp  46631  hspmbllem2  46642  pimgtmnf2  46729  smfsuplem1  46826