Theorem mnfltd 12507

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 12506	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  -∞cmnf 10662   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12581  xltnegi  12597  supxrre  12708  infxrre  12717  caucvgrlem  15021  tgioo  23401  reconnlem1  23431  reconnlem2  23432  ovoliunlem1  24106  ovoliun  24109  ioombl1lem2  24163  ismbf3d  24258  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  degltlem1  24673  ply1divex  24737  dvdsq1p  24761  logdmnrp  25232  atans2  25517  areacirclem5  35149  infleinflem2  42003  xrralrecnnge  42026  icoopn  42162  icomnfinre  42189  ressiocsup  42191  ressioosup  42192  preimaiocmnf  42198  limciccioolb  42263  limsupre  42283  limcresioolb  42285  limcleqr  42286  xlimmnfvlem1  42474  fourierdlem32  42781  fourierdlem46  42794  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem74  42822  fourierdlem88  42836  fourierdlem95  42843  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fouriersw  42873  ioorrnopnxrlem  42948  hspdifhsp  43255  hspmbllem2  43266  pimltmnf2  43336  pimgtmnf2  43349  smfsuplem1  43442