Theorem mnfltd 13075

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13074	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  -∞cmnf 11177   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13152  xltnegi  13168  supxrre  13279  infxrre  13289  caucvgrlem  15635  tgioo  24761  reconnlem1  24792  reconnlem2  24793  ovoliunlem1  25469  ovoliun  25472  ioombl1lem2  25526  ismbf3d  25621  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  degltlem1  26037  ply1divex  26102  dvdsq1p  26128  logdmnrp  26605  atans2  26895  ply1degltel  33654  ply1degleel  33655  ply1degltlss  33656  ply1degltdimlem  33766  areacirclem5  38033  aks6d1c5lem3  42576  infleinflem2  45800  xrralrecnnge  45819  icoopn  45955  icomnfinre  45982  ressiocsup  45984  ressioosup  45985  preimaiocmnf  45990  limciccioolb  46051  limsupre  46069  limcresioolb  46071  limcleqr  46072  xlimmnfvlem1  46260  fourierdlem32  46567  fourierdlem46  46580  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem74  46608  fourierdlem88  46622  fourierdlem95  46629  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fouriersw  46659  ioorrnopnxrlem  46734  hspdifhsp  47044  hspmbllem2  47055  pimgtmnf2  47142  smfsuplem1  47239