Theorem mnfltd 12789

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 12788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12863  xltnegi  12879  supxrre  12990  infxrre  12999  caucvgrlem  15312  tgioo  23865  reconnlem1  23895  reconnlem2  23896  ovoliunlem1  24571  ovoliun  24574  ioombl1lem2  24628  ismbf3d  24723  dvferm1lem  25053  dvferm2lem  25055  degltlem1  25142  ply1divex  25206  dvdsq1p  25230  logdmnrp  25701  atans2  25986  areacirclem5  35796  infleinflem2  42800  xrralrecnnge  42820  icoopn  42953  icomnfinre  42980  ressiocsup  42982  ressioosup  42983  preimaiocmnf  42989  limciccioolb  43052  limsupre  43072  limcresioolb  43074  limcleqr  43075  xlimmnfvlem1  43263  fourierdlem32  43570  fourierdlem46  43583  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem74  43611  fourierdlem88  43625  fourierdlem95  43632  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fouriersw  43662  ioorrnopnxrlem  43737  hspdifhsp  44044  hspmbllem2  44055  pimltmnf2  44125  pimgtmnf2  44138  smfsuplem1  44231