Theorem mnfltd 13091

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13090	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  -∞cmnf 11213   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13167  xltnegi  13183  supxrre  13294  infxrre  13304  caucvgrlem  15646  tgioo  24691  reconnlem1  24722  reconnlem2  24723  ovoliunlem1  25410  ovoliun  25413  ioombl1lem2  25467  ismbf3d  25562  dvferm1lem  25895  dvferm2lem  25897  degltlem1  25984  ply1divex  26049  dvdsq1p  26075  logdmnrp  26557  atans2  26848  ply1degltel  33567  ply1degleel  33568  ply1degltlss  33569  ply1degltdimlem  33625  areacirclem5  37713  aks6d1c5lem3  42132  infleinflem2  45374  xrralrecnnge  45393  icoopn  45530  icomnfinre  45557  ressiocsup  45559  ressioosup  45560  preimaiocmnf  45565  limciccioolb  45626  limsupre  45646  limcresioolb  45648  limcleqr  45649  xlimmnfvlem1  45837  fourierdlem32  46144  fourierdlem46  46157  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem74  46185  fourierdlem88  46199  fourierdlem95  46206  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fouriersw  46236  ioorrnopnxrlem  46311  hspdifhsp  46621  hspmbllem2  46632  pimgtmnf2  46719  smfsuplem1  46816