Theorem mnfltd 13167

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ℝcr 11117  -∞cmnf 11259   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  qbtwnxr  13244  xltnegi  13260  supxrre  13371  infxrre  13381  caucvgrlem  15750  tgioo  24990  reconnlem1  25021  reconnlem2  25022  ovoliunlem1  25698  ovoliun  25701  ioombl1lem2  25755  ismbf3d  25850  dvferm1lem  26180  dvferm2lem  26182  degltlem1  26266  ply1divex  26331  dvdsq1p  26357  logdmnrp  26843  atans2  27133  ply1degltel  33915  ply1degleel  33916  ply1degltlss  33917  ply1degltdimlem  34043  areacirclem5  38404  aks6d1c5lem3  42945  infleinflem2  46127  xrralrecnnge  46146  icoopn  46282  icomnfinre  46309  ressiocsup  46311  ressioosup  46312  preimaiocmnf  46317  limciccioolb  46378  limsupre  46396  limcresioolb  46398  limcleqr  46399  xlimmnfvlem1  46587  fourierdlem32  46894  fourierdlem46  46907  fourierdlem48  46909  fourierdlem49  46910  fourierdlem74  46935  fourierdlem88  46949  fourierdlem95  46956  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  fouriersw  46986  ioorrnopnxrlem  47061  hspdifhsp  47371  hspmbllem2  47382  pimgtmnf2  47469  smfsuplem1  47566