MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltd 12507
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mnfltd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mnfltd (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd
StepHypRef Expression
1 mnfltd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mnflt 12506 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114   class class class wbr 5042  cr 10525  -∞cmnf 10662   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-v 3471  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-xp 5538  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12581  xltnegi  12597  supxrre  12708  infxrre  12717  caucvgrlem  15020  tgioo  23399  reconnlem1  23429  reconnlem2  23430  ovoliunlem1  24104  ovoliun  24107  ioombl1lem2  24161  ismbf3d  24256  dvferm1lem  24585  dvferm2lem  24587  degltlem1  24671  ply1divex  24735  dvdsq1p  24759  logdmnrp  25230  atans2  25515  areacirclem5  35107  infleinflem2  41942  xrralrecnnge  41965  icoopn  42101  icomnfinre  42128  ressiocsup  42130  ressioosup  42131  preimaiocmnf  42137  limciccioolb  42202  limsupre  42222  limcresioolb  42224  limcleqr  42225  xlimmnfvlem1  42413  fourierdlem32  42720  fourierdlem46  42733  fourierdlem48  42735  fourierdlem49  42736  fourierdlem74  42761  fourierdlem88  42775  fourierdlem95  42782  fourierdlem103  42790  fourierdlem104  42791  fouriersw  42812  ioorrnopnxrlem  42887  hspdifhsp  43194  hspmbllem2  43205  pimltmnf2  43275  pimgtmnf2  43288  smfsuplem1  43381
  Copyright terms: Public domain W3C validator