Theorem mnfltd 13038

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13037	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  -∞cmnf 11164   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13115  xltnegi  13131  supxrre  13242  infxrre  13252  caucvgrlem  15596  tgioo  24740  reconnlem1  24771  reconnlem2  24772  ovoliunlem1  25459  ovoliun  25462  ioombl1lem2  25516  ismbf3d  25611  dvferm1lem  25944  dvferm2lem  25946  degltlem1  26033  ply1divex  26098  dvdsq1p  26124  logdmnrp  26606  atans2  26897  ply1degltel  33675  ply1degleel  33676  ply1degltlss  33677  ply1degltdimlem  33779  areacirclem5  37913  aks6d1c5lem3  42391  infleinflem2  45615  xrralrecnnge  45634  icoopn  45771  icomnfinre  45798  ressiocsup  45800  ressioosup  45801  preimaiocmnf  45806  limciccioolb  45867  limsupre  45885  limcresioolb  45887  limcleqr  45888  xlimmnfvlem1  46076  fourierdlem32  46383  fourierdlem46  46396  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem74  46424  fourierdlem88  46438  fourierdlem95  46445  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fouriersw  46475  ioorrnopnxrlem  46550  hspdifhsp  46860  hspmbllem2  46871  pimgtmnf2  46958  smfsuplem1  47055