Theorem mnfltd 12860

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 12859	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  -∞cmnf 11007   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12934  xltnegi  12950  supxrre  13061  infxrre  13070  caucvgrlem  15384  tgioo  23959  reconnlem1  23989  reconnlem2  23990  ovoliunlem1  24666  ovoliun  24669  ioombl1lem2  24723  ismbf3d  24818  dvferm1lem  25148  dvferm2lem  25150  degltlem1  25237  ply1divex  25301  dvdsq1p  25325  logdmnrp  25796  atans2  26081  areacirclem5  35869  infleinflem2  42910  xrralrecnnge  42930  icoopn  43063  icomnfinre  43090  ressiocsup  43092  ressioosup  43093  preimaiocmnf  43099  limciccioolb  43162  limsupre  43182  limcresioolb  43184  limcleqr  43185  xlimmnfvlem1  43373  fourierdlem32  43680  fourierdlem46  43693  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem74  43721  fourierdlem88  43735  fourierdlem95  43742  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fouriersw  43772  ioorrnopnxrlem  43847  hspdifhsp  44154  hspmbllem2  44165  pimgtmnf2  44251  smfsuplem1  44344