Theorem mnfltd 13104

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mnfltd	⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mnflt 13103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  -∞cmnf 11246   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13179  xltnegi  13195  supxrre  13306  infxrre  13315  caucvgrlem  15619  tgioo  24312  reconnlem1  24342  reconnlem2  24343  ovoliunlem1  25019  ovoliun  25022  ioombl1lem2  25076  ismbf3d  25171  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  degltlem1  25590  ply1divex  25654  dvdsq1p  25678  logdmnrp  26149  atans2  26436  ply1degltel  32697  ply1degltlss  32698  ply1degltdimlem  32738  areacirclem5  36628  infleinflem2  44129  xrralrecnnge  44148  icoopn  44286  icomnfinre  44313  ressiocsup  44315  ressioosup  44316  preimaiocmnf  44322  limciccioolb  44385  limsupre  44405  limcresioolb  44407  limcleqr  44408  xlimmnfvlem1  44596  fourierdlem32  44903  fourierdlem46  44916  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem74  44944  fourierdlem88  44958  fourierdlem95  44965  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fouriersw  44995  ioorrnopnxrlem  45070  hspdifhsp  45380  hspmbllem2  45391  pimgtmnf2  45478  smfsuplem1  45575