Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocd 40529
Description: Membership in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliocd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliocd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliocd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliocd.altc (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliocd.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliocd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem eliocd
StepHypRef Expression
1 eliocd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2 eliocd.altc . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliocd.cleb . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliocd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliocd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioc1 12505 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 581 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1448 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1113  wcel 2166   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  *cxr 10390   < clt 10391  cle 10392  (,]cioc 12464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-xr 10395  df-ioc 12468
This theorem is referenced by:  iocopn  40542  eliccelioc  40543  iccdificc  40561  ressiocsup  40576  iooiinioc  40578  preimaiocmnf  40583  xlimpnfvlem2  40858  ioccncflimc  40893  fourierdlem41  41159  fourierdlem46  41163  fourierdlem48  41165  fourierdlem49  41166  fourierdlem51  41168  fourierswlem  41241  smfsuplem1  41811
  Copyright terms: Public domain W3C validator