Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocd 45460
Description: Membership in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliocd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliocd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliocd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliocd.altc (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliocd.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliocd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem eliocd
StepHypRef Expression
1 eliocd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2 eliocd.altc . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliocd.cleb . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliocd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliocd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioc1 13426 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1341 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,]cioc 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11297  df-ioc 13389
This theorem is referenced by:  iocopn  45473  eliccelioc  45474  iccdificc  45492  ressiocsup  45507  iooiinioc  45509  preimaiocmnf  45514  xlimpnfvlem2  45793  ioccncflimc  45841  fourierdlem41  46104  fourierdlem46  46108  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem51  46113  fourierswlem  46186  smfsuplem1  46767
  Copyright terms: Public domain W3C validator