Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocd 42010
Description: Membership in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliocd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliocd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliocd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliocd.altc (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliocd.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliocd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem eliocd
StepHypRef Expression
1 eliocd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2 eliocd.altc . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliocd.cleb . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliocd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliocd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioc1 12775 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1339 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  (,]cioc 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-xr 10673  df-ioc 12738
This theorem is referenced by:  iocopn  42023  eliccelioc  42024  iccdificc  42042  ressiocsup  42057  iooiinioc  42059  preimaiocmnf  42064  xlimpnfvlem2  42345  ioccncflimc  42393  fourierdlem41  42656  fourierdlem46  42660  fourierdlem48  42662  fourierdlem49  42663  fourierdlem51  42665  fourierswlem  42738  smfsuplem1  43308
  Copyright terms: Public domain W3C validator