Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocd 43752
Description: Membership in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliocd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliocd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliocd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliocd.altc (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliocd.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliocd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem eliocd
StepHypRef Expression
1 eliocd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2 eliocd.altc . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliocd.cleb . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliocd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliocd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioc1 13307 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1343 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,]cioc 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-xr 11194  df-ioc 13270
This theorem is referenced by:  iocopn  43765  eliccelioc  43766  iccdificc  43784  ressiocsup  43799  iooiinioc  43801  preimaiocmnf  43806  xlimpnfvlem2  44085  ioccncflimc  44133  fourierdlem41  44396  fourierdlem46  44400  fourierdlem48  44402  fourierdlem49  44403  fourierdlem51  44405  fourierswlem  44478  smfsuplem1  45059
  Copyright terms: Public domain W3C validator