Theorem prjspreln0 42624

Description: Two nonzero vectors are equivalent by a nonzero scalar. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspreln0	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙,𝑚   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙,𝑚   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙,𝑚   𝑥, · ,𝑦,𝑙,𝑚   𝑚,𝑉   ∼ ,𝑚   𝐵,𝑚   𝑆,𝑚   0 ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspreln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 42619	. 2 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ 𝐾)
4		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		eldifsni 4789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
6		prjspertr.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
7	5, 6	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
9		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
10		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑚 = 0 )
11	10	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
12		lveclmod 21106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
13	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑉 ∈ LMod)
14		difss 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
15	6, 14	eqsstri 4029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
16		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	16	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	15, 17	sselid 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20		prjspertr.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
21		prjspertr.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
22		prjspreln0.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
24	19, 20, 21, 22, 23	lmod0vs 20894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ( 0 · 𝑌) = (0g‘𝑉))
25	13, 18, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → ( 0 · 𝑌) = (0g‘𝑉))
26	9, 11, 25	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑋 = (0g‘𝑉))
27	8, 26	mteqand 3032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑚 ≠ 0 )
28		nelsn 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ≠ 0 → ¬ 𝑚 ∈ { 0 })
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ¬ 𝑚 ∈ { 0 })
30	3, 29	eldifd 3961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
31	30	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
33	31, 32	jca2 513	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
34	33	reximdv2 3163	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
35		difss 4135	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐾
36		ssrexv 4052	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐾 → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
37	35, 36	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
38	34, 37	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
39	38	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
40	2, 39	bitrid 283	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  {copab 5204  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485  LModclmod 20859  LVecclvec 21102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-lvec 21103

This theorem is referenced by:  prjsprellsp  42626