Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspreln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspreln0 39410
 Description: Two nonzero vectors are equivalent by a nonzero scalar. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspreln0 (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙,𝑚   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙,𝑚   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙,𝑚   𝑥, · ,𝑦,𝑙,𝑚   𝑚,𝑉   ,𝑚   𝐵,𝑚   𝑆,𝑚   0 ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspreln0
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 39405 . 2 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑚𝐾)
4 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
5 eldifsni 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
6 prjspertr.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
75, 6eleq2s 2930 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
9 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
10 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑚 = 0 )
1110oveq1d 7145 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
12 lveclmod 19854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
1312ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑉 ∈ LMod)
14 difss 4084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
156, 14eqsstri 3977 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
16 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = 0 )) → 𝑌𝐵)
1716anassrs 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑌𝐵)
1815, 17sseldi 3941 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
19 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20 prjspertr.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
21 prjspertr.x . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑉)
22 prjspreln0.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑆)
23 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑉) = (0g𝑉)
2419, 20, 21, 22, 23lmod0vs 19643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ( 0 · 𝑌) = (0g𝑉))
2513, 18, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → ( 0 · 𝑌) = (0g𝑉))
269, 11, 253eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ 𝑚 = 0 ) → 𝑋 = (0g𝑉))
278, 26mteqand 3110 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑚0 )
28 nelsn 4578 . . . . . . . . 9 (𝑚0 → ¬ 𝑚 ∈ { 0 })
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ¬ 𝑚 ∈ { 0 })
303, 29eldifd 3921 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
3130ex 416 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })))
32 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
3331, 32jca2 517 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
3433reximdv2 3257 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
35 difss 4084 . . . . 5 (𝐾 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐾
36 ssrexv 4010 . . . . 5 ((𝐾 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐾 → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3735, 36mp1i 13 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3834, 37impbid 215 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3938pm5.32da 582 . 2 (𝑉 ∈ LVec → (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
402, 39syl5bb 286 1 (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4540   class class class wbr 5039  {copab 5101  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  LModclmod 19610  LVecclvec 19850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-ring 19278  df-lmod 19612  df-lvec 19851 This theorem is referenced by:  prjsprellsp  39412
 Copyright terms: Public domain W3C validator