Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspreln0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjspreln0 41038
Description: Two nonzero vectors are equivalent by a nonzero scalar. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjspreln0.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspreln0 (𝑉 ∈ LVec β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙,π‘š   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙,π‘š   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙,π‘š   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙,π‘š   π‘š,𝑉   ∼ ,π‘š   𝐡,π‘š   𝑆,π‘š   0 ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)   0 (π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjspreln0
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . 3 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
21prjsprel 41033 . 2 (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
3 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ 𝐾)
4 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 eldifsni 4770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
6 prjspertr.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
75, 6eleq2s 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
9 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
10 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ π‘š = 0 )
1110oveq1d 7392 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ( 0 Β· π‘Œ))
12 lveclmod 20639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
1312ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
14 difss 4111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
156, 14eqsstri 3996 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
16 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ ((π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = 0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1716anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1815, 17sselid 3960 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
19 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
20 prjspertr.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
21 prjspertr.x . . . . . . . . . . . . 13 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
22 prjspreln0.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘†)
23 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘‰) = (0gβ€˜π‘‰)
2419, 20, 21, 22, 23lmod0vs 20427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘‰))
2513, 18, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘‰))
269, 11, 253eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ π‘š = 0 ) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘‰))
278, 26mteqand 3032 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ π‘š β‰  0 )
28 nelsn 4646 . . . . . . . . 9 (π‘š β‰  0 β†’ Β¬ π‘š ∈ { 0 })
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ π‘š ∈ { 0 })
303, 29eldifd 3939 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
3130ex 413 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })))
32 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
3331, 32jca2 514 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
3433reximdv2 3163 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
35 difss 4111 . . . . 5 (𝐾 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐾
36 ssrexv 4031 . . . . 5 ((𝐾 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐾 β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
3735, 36mp1i 13 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
3834, 37impbid 211 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
3938pm5.32da 579 . 2 (𝑉 ∈ LVec β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
402, 39bitrid 282 1 (𝑉 ∈ LVec β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925   βŠ† wss 3928  {csn 4606   class class class wbr 5125  {copab 5187  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  0gc0g 17350  LModclmod 20393  LVecclvec 20635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lvec 20636
This theorem is referenced by:  prjsprellsp  41040
  Copyright terms: Public domain W3C validator