Theorem prjsprellsp 42626

Description: Two vectors are equivalent iff their spans are equal. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjsprellsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsprellsp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 528	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
2	1	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5		prjspertr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
6		prjspertr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
7		prjspertr.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
8		prjspertr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	prjspreln0 42624	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
13		prjsprellsp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ LVec)
15		eldifi 4130	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
16	15, 5	eleq2s 2858	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
17	16	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
18		eldifi 4130	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
19	18, 5	eleq2s 2858	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
20	19	ad2antll 729	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
21	12, 6, 8, 9, 7, 13, 14, 17, 20	lspsneq 21125	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
22	3, 11, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142  {copab 5204  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485  LSpanclspn 20970  LVecclvec 21102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103

This theorem is referenced by: (None)