Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsprellsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsprellsp 41808
Description: Two vectors are equivalent iff their spans are equal. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
Assertion
Ref Expression
prjsprellsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsprellsp
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibar 528 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
21bicomd 222 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
32adantl 481 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4 prjsprel.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5 prjspertr.b . . . 4 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
6 prjspertr.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
7 prjspertr.x . . . 4 · = ( ·𝑠𝑉)
8 prjspertr.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑆)
9 eqid 2724 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
104, 5, 6, 7, 8, 9prjspreln0 41806 . . 3 (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
1110adantr 480 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
12 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
13 prjsprellsp.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14 simpl 482 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑉 ∈ LVec)
15 eldifi 4118 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
1615, 5eleq2s 2843 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
1716ad2antrl 725 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
18 eldifi 4118 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
1918, 5eleq2s 2843 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2019ad2antll 726 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2112, 6, 8, 9, 7, 13, 14, 17, 20lspsneq 20962 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
223, 11, 213bitr4d 311 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  cdif 3937  {csn 4620   class class class wbr 5138  {copab 5200  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  0gc0g 17383  LSpanclspn 20807  LVecclvec 20939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator