Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsprellsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjsprellsp 42099
Description: Two vectors are equivalent iff their spans are equal. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
prjsprellsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjsprellsp
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibar 527 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
21bicomd 222 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
32adantl 480 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
4 prjsprel.1 . . . 4 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
5 prjspertr.b . . . 4 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
6 prjspertr.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
7 prjspertr.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
8 prjspertr.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
9 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
104, 5, 6, 7, 8, 9prjspreln0 42097 . . 3 (𝑉 ∈ LVec β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
1110adantr 479 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
12 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
13 prjsprellsp.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
14 simpl 481 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
15 eldifi 4119 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1615, 5eleq2s 2843 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1716ad2antrl 726 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
18 eldifi 4119 . . . . 5 (π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1918, 5eleq2s 2843 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2019ad2antll 727 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2112, 6, 8, 9, 7, 13, 14, 17, 20lspsneq 21012 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
223, 11, 213bitr4d 310 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3937  {csn 4624   class class class wbr 5143  {copab 5205  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator