Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsprellsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjsprellsp 41349
Description: Two vectors are equivalent iff their spans are equal. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
prjsprellsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjsprellsp
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibar 529 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
21bicomd 222 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
32adantl 482 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
4 prjsprel.1 . . . 4 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
5 prjspertr.b . . . 4 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
6 prjspertr.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
7 prjspertr.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
8 prjspertr.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
9 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
104, 5, 6, 7, 8, 9prjspreln0 41347 . . 3 (𝑉 ∈ LVec β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
1110adantr 481 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
12 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
13 prjsprellsp.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
14 simpl 483 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
15 eldifi 4125 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1615, 5eleq2s 2851 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1716ad2antrl 726 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
18 eldifi 4125 . . . . 5 (π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1918, 5eleq2s 2851 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2019ad2antll 727 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2112, 6, 8, 9, 7, 13, 14, 17, 20lspsneq 20727 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
223, 11, 213bitr4d 310 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  {copab 5209  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator