Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsprellsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsprellsp 40978
Description: Two vectors are equivalent iff their spans are equal. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
prjsprellsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsprellsp
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibar 530 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
21bicomd 222 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
32adantl 483 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
4 prjsprel.1 . . . 4 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
5 prjspertr.b . . . 4 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
6 prjspertr.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
7 prjspertr.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
8 prjspertr.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
9 eqid 2737 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
104, 5, 6, 7, 8, 9prjspreln0 40976 . . 3 (𝑉 ∈ LVec β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
1110adantr 482 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
12 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
13 prjsprellsp.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
14 simpl 484 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
15 eldifi 4091 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1615, 5eleq2s 2856 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1716ad2antrl 727 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
18 eldifi 4091 . . . . 5 (π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
1918, 5eleq2s 2856 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2019ad2antll 728 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2112, 6, 8, 9, 7, 13, 14, 17, 20lspsneq 20599 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)})𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
223, 11, 213bitr4d 311 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912  {csn 4591   class class class wbr 5110  {copab 5172  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  LSpanclspn 20448  LVecclvec 20579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator