Theorem prjsprellsp 42559

Description: Two vectors are equivalent iff their spans are equal. (Contributed by Steven Nguyen, 31-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjsprellsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsprellsp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 528	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
2	1	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5		prjspertr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
6		prjspertr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
7		prjspertr.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
8		prjspertr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	prjspreln0 42557	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
12		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
13		prjsprellsp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ LVec)
15		eldifi 4104	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
16	15, 5	eleq2s 2851	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
17	16	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
18		eldifi 4104	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
19	18, 5	eleq2s 2851	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
20	19	ad2antll 729	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
21	12, 6, 8, 9, 7, 13, 14, 17, 20	lspsneq 21068	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)})𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
22	3, 11, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3921  {csn 4599   class class class wbr 5116  {copab 5178  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Basecbs 17213  Scalarcsca 17259   ·_𝑠 cvsca 17260  0_gc0g 17438  LSpanclspn 20913  LVecclvec 21045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8219  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-0g 17440  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-invr 20333  df-drng 20676  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046

This theorem is referenced by: (None)