Theorem prjsper 43637

Description: The relation used to define ℙroj is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsper	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem prjsper

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	relopabiv 5797	. . 3 ⊢ Rel ∼
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → Rel ∼ )
4		prjspertr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5		prjspertr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6		prjspertr.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		prjspertr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
8	1, 4, 5, 6, 7	prjspersym 43636	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 ∼ 𝑏) → 𝑏 ∼ 𝑎)
9		lveclmod 21381	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
10	1, 4, 5, 6, 7	prjspertr 43634	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
11	9, 10	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
12	1, 4, 5, 6, 7	prjsperref 43635	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
13	9, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
14	3, 8, 11, 13	iserd 8744	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  {csn 4583   class class class wbr 5102  {copab 5166  Rel wrel 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   Er wer 8714  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  LModclmod 21135  LVecclvec 21377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lvec 21378

This theorem is used by:  prjspeclsp  43641  prjspner  43648  0prjspn  43665