Theorem prjsper 42568

Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsper	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsper

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	relopabiv 5791	. . 3 ⊢ Rel ∼
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → Rel ∼ )
4		prjspertr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5		prjspertr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6		prjspertr.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		prjspertr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
8	1, 4, 5, 6, 7	prjspersym 42567	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 ∼ 𝑏) → 𝑏 ∼ 𝑎)
9		lveclmod 21019	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
10	1, 4, 5, 6, 7	prjspertr 42565	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
11	9, 10	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
12	1, 4, 5, 6, 7	prjsperref 42566	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
14	3, 8, 11, 13	iserd 8708	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3055   ∖ cdif 3919  {csn 4597   class class class wbr 5115  {copab 5177  Rel wrel 5651  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   Er wer 8679  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17408  LModclmod 20772  LVecclvec 21015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lvec 21016

This theorem is referenced by:  prjspeclsp  42572  prjspner  42579  0prjspn  42588