Theorem prjsper 43439

Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsper	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem prjsper

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	relopabiv 5805	. . 3 ⊢ Rel ∼
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → Rel ∼ )
4		prjspertr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5		prjspertr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6		prjspertr.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		prjspertr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
8	1, 4, 5, 6, 7	prjspersym 43438	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 ∼ 𝑏) → 𝑏 ∼ 𝑎)
9		lveclmod 21289	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
10	1, 4, 5, 6, 7	prjspertr 43436	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
11	9, 10	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
12	1, 4, 5, 6, 7	prjsperref 43437	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
13	9, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
14	3, 8, 11, 13	iserd 8726	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899  {csn 4587   class class class wbr 5107  {copab 5171  Rel wrel 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   Er wer 8696  Basecbs 17303  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  0_gc0g 17526  LModclmod 21043  LVecclvec 21285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lvec 21286

This theorem is used by:  prjspeclsp  43443  prjspner  43450  0prjspn  43459