Theorem prjsper 43269

Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsper	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsper

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	relopabiv 5810	. . 3 ⊢ Rel ∼
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → Rel ∼ )
4		prjspertr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5		prjspertr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6		prjspertr.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		prjspertr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
8	1, 4, 5, 6, 7	prjspersym 43268	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 ∼ 𝑏) → 𝑏 ∼ 𝑎)
9		lveclmod 21207	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
10	1, 4, 5, 6, 7	prjspertr 43266	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
11	9, 10	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
12	1, 4, 5, 6, 7	prjsperref 43267	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
13	9, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
14	3, 8, 11, 13	iserd 8723	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  {csn 4594   class class class wbr 5113  {copab 5177  Rel wrel 5669  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   Er wer 8693  Basecbs 17271  Scalarcsca 17315   ·_𝑠 cvsca 17316  0_gc0g 17494  LModclmod 20961  LVecclvec 21203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-0g 17496  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-drng 20817  df-lmod 20963  df-lvec 21204

This theorem is referenced by:  prjspeclsp  43273  prjspner  43280  0prjspn  43289