Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsper Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsper 42496
Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjsper (𝑉 ∈ LVec → Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsper
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21relopabiv 5843 . . 3 Rel
32a1i 11 . 2 (𝑉 ∈ LVec → Rel )
4 prjspertr.b . . 3 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
5 prjspertr.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6 prjspertr.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑉)
7 prjspertr.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
81, 4, 5, 6, 7prjspersym 42495 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 𝑏) → 𝑏 𝑎)
9 lveclmod 21123 . . 3 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
101, 4, 5, 6, 7prjspertr 42493 . . 3 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 𝑏𝑏 𝑐)) → 𝑎 𝑐)
119, 10sylan 579 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 𝑏𝑏 𝑐)) → 𝑎 𝑐)
121, 4, 5, 6, 7prjsperref 42494 . . 3 (𝑉 ∈ LMod → (𝑎𝐵𝑎 𝑎))
139, 12syl 17 . 2 (𝑉 ∈ LVec → (𝑎𝐵𝑎 𝑎))
143, 8, 11, 13iserd 8785 1 (𝑉 ∈ LVec → Er 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wrex 3072  cdif 3967  {csn 4648   class class class wbr 5169  {copab 5231  Rel wrel 5704  cfv 6572  (class class class)co 7445   Er wer 8756  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309   ·𝑠 cvsca 17310  0gc0g 17494  LModclmod 20875  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  prjspeclsp  42500  prjspner  42507  0prjspn  42516
  Copyright terms: Public domain W3C validator