Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjsper Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjsper 39522
 Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjsper (𝑉 ∈ LVec → Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsper
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21relopabi 5681 . . 3 Rel
32a1i 11 . 2 (𝑉 ∈ LVec → Rel )
4 prjspertr.b . . 3 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
5 prjspertr.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6 prjspertr.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑉)
7 prjspertr.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
81, 4, 5, 6, 7prjspersym 39521 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 𝑏) → 𝑏 𝑎)
9 lveclmod 19878 . . 3 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
101, 4, 5, 6, 7prjspertr 39519 . . 3 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 𝑏𝑏 𝑐)) → 𝑎 𝑐)
119, 10sylan 583 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 𝑏𝑏 𝑐)) → 𝑎 𝑐)
121, 4, 5, 6, 7prjsperref 39520 . . 3 (𝑉 ∈ LMod → (𝑎𝐵𝑎 𝑎))
139, 12syl 17 . 2 (𝑉 ∈ LVec → (𝑎𝐵𝑎 𝑎))
143, 8, 11, 13iserd 8311 1 (𝑉 ∈ LVec → Er 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134   ∖ cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5052  {copab 5114  Rel wrel 5547  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   Er wer 8282  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LVecclvec 19874 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lvec 19875 This theorem is referenced by:  prjspeclsp  39526  0prjspn  39534
 Copyright terms: Public domain W3C validator