Theorem prjsper 39256

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is an equivalence relation. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsper	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑙,𝑦,𝐾   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsper

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	relopabi 5693	. . 3 ⊢ Rel ∼
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → Rel ∼ )
4		prjspertr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5		prjspertr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
6		prjspertr.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		prjspertr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
8	1, 4, 5, 6, 7	prjspersym 39255	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑎 ∼ 𝑏) → 𝑏 ∼ 𝑎)
9		lveclmod 19877	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
10	1, 4, 5, 6, 7	prjspertr 39253	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
11	9, 10	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑏 ∼ 𝑐)) → 𝑎 ∼ 𝑐)
12	1, 4, 5, 6, 7	prjsperref 39254	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∼ 𝑎))
14	3, 8, 11, 13	iserd 8314	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932  {csn 4566   class class class wbr 5065  {copab 5127  Rel wrel 5559  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   Er wer 8285  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567   ·_𝑠 cvsca 16568  0_gc0g 16712  LModclmod 19633  LVecclvec 19873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lvec 19874

This theorem is referenced by:  prjspeclsp  39260  0prjspn  39268