Theorem refdivmptfv 49044

Description: The function value of a quotient of two functions into the real numbers. (Contributed by AV, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refdivmptfv	⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem refdivmptfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		ax-resscn 11093	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
4	1, 3	fssd 6679	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
7	5, 6	fssd 6679	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	4, 7, 8	3anim123i 1157	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
10		fdivmpt 49038	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
12	11	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
13		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
14		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
15	13, 14	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))
16	15	adantl 482	. 2 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))
17		simpr 485	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0))
18		ovexd 7398	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ V)
19	12, 16, 17, 18	fvmptd 6950	1 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   supp csupp 8107  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   / cdiv 11805   /_f cfdiv 49035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-supp 8108  df-fdiv 49036

This theorem is referenced by:  elbigolo1  49055