Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivmpt 44893
Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivmpt ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt
StepHypRef Expression
1 fex 6971 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
213adant2 1128 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3 fex 6971 . . . 4 ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
433adant1 1127 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 fdivval 44892 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6 offres 7670 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
75, 6eqtrd 2857 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
82, 4, 7syl2anc 587 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9 ffn 6494 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11 suppssdm 7830 . . . . 5 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12 fdm 6502 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
1312eqcomd 2828 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14133ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
1511, 14sseqtrrid 3995 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16 fnssres 6450 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
1710, 15, 16syl2anc 587 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18 ffn 6494 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19183ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20 fnssres 6450 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
2119, 15, 20syl2anc 587 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22 ovexd 7175 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23 inidm 4169 . . 3 ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24 fvres 6671 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
2524adantl 485 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
26 fvres 6671 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2726adantl 485 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2817, 21, 22, 22, 23, 25, 27offval 7401 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
298, 28eqtrd 2857 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  wss 3908  cmpt 5122  dom cdm 5532  cres 5534   Fn wfn 6329  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  f cof 7392   supp csupp 7817  cc 10524  0cc0 10526   / cdiv 11286   /f cfdiv 44890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-supp 7818  df-fdiv 44891
This theorem is referenced by:  fdivmptf  44894  refdivmptf  44895  fdivmptfv  44898  refdivmptfv  44899
  Copyright terms: Public domain W3C validator