Theorem fdivmpt 49171

Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivmpt	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7214	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3		fex 7214	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4	3	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		fdivval 49170	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6		offres 7968	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
7	5, 6	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
8	2, 4, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9		ffn 6695	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10	9	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		suppssdm 8161	. . . . 5 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12		fdm 6705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
13	12	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14	13	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
15	11, 14	sseqtrrid 3982	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16		fnssres 6648	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18		ffn 6695	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19	18	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20		fnssres 6648	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
21	19, 15, 20	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22		ovexd 7435	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23		inidm 4181	. . 3 ⊢ ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24		fvres 6890	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	24	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
26		fvres 6890	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27	26	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
28	17, 21, 22, 22, 23, 25, 27	offval 7673	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	8, 28	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652   ↾ cres 5654   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662   supp csupp 8144  ℂcc 11086  0cc0 11088   / cdiv 11859   /_f cfdiv 49168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-supp 8145  df-fdiv 49169

This theorem is referenced by:  fdivmptf  49172  refdivmptf  49173  fdivmptfv  49176  refdivmptfv  49177