Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivmpt 48461
Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivmpt ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt
StepHypRef Expression
1 fex 7246 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
213adant2 1132 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3 fex 7246 . . . 4 ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
433adant1 1131 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 fdivval 48460 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6 offres 8008 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
75, 6eqtrd 2777 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
82, 4, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9 ffn 6736 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
1093ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11 suppssdm 8202 . . . . 5 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12 fdm 6745 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
1312eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14133ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
1511, 14sseqtrrid 4027 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16 fnssres 6691 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
1710, 15, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18 ffn 6736 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19183ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20 fnssres 6691 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
2119, 15, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22 ovexd 7466 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23 inidm 4227 . . 3 ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24 fvres 6925 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
2524adantl 481 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
26 fvres 6925 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2726adantl 481 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2817, 21, 22, 22, 23, 25, 27offval 7706 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
298, 28eqtrd 2777 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  cc 11153  0cc0 11155   / cdiv 11920   /f cfdiv 48458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-supp 8186  df-fdiv 48459
This theorem is referenced by:  fdivmptf  48462  refdivmptf  48463  fdivmptfv  48466  refdivmptfv  48467
  Copyright terms: Public domain W3C validator