Theorem fdivmpt 49745

Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivmpt	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7232	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3		fex 7232	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4	3	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		fdivval 49744	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6		offres 7995	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
7	5, 6	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
8	2, 4, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		suppssdm 8197	. . . . 5 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12		fdm 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
13	12	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
15	11, 14	sseqtrrid 3951	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16		fnssres 6662	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19	18	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20		fnssres 6662	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
21	19, 15, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22		ovexd 7455	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23		inidm 4123	. . 3 ⊢ ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24		fvres 6904	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	24	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
26		fvres 6904	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27	26	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
28	17, 21, 22, 22, 23, 25, 27	offval 7702	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	8, 28	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ↾ cres 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   supp csupp 8179  ℂcc 11201  0cc0 11203   / cdiv 11976   /_f cfdiv 49742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-supp 8180  df-fdiv 49743

This theorem is used by:  fdivmptf  49746  refdivmptf  49747  fdivmptfv  49750  refdivmptfv  49751