Theorem fdivmpt 43359

Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivmpt	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 6763	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	3adant2 1122	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3		fex 6763	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4	3	3adant1 1121	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		fdivval 43358	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6		offres 7442	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
7	5, 6	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
8	2, 4, 7	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9		ffn 6293	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10	9	3ad2ant1 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		suppssdm 7591	. . . . 5 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12		fdm 6301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
13	12	eqcomd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14	13	3ad2ant2 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
15	11, 14	syl5sseqr 3873	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16		fnssres 6252	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18		ffn 6293	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19	18	3ad2ant2 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20		fnssres 6252	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
21	19, 15, 20	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22		ovexd 6958	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23		inidm 4043	. . 3 ⊢ ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24		fvres 6467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	24	adantl 475	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
26		fvres 6467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27	26	adantl 475	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
28	17, 21, 22, 22, 23, 25, 27	offval 7183	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	8, 28	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4967  dom cdm 5357   ↾ cres 5359   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘_𝑓 cof 7174   supp csupp 7578  ℂcc 10272  0cc0 10274   / cdiv 11034   /_f cfdiv 43356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-supp 7579  df-fdiv 43357

This theorem is referenced by:  fdivmptf  43360  refdivmptf  43361  fdivmptfv  43364  refdivmptfv  43365