Theorem fdivmpt 49038

Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivmpt	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7177	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	3adant2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3		fex 7177	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4	3	3adant1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		fdivval 49037	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6		offres 7932	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
7	5, 6	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
8	2, 4, 7	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9		ffn 6662	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10	9	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		suppssdm 8124	. . . . 5 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12		fdm 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
13	12	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14	13	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
15	11, 14	sseqtrrid 3965	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16		fnssres 6615	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18		ffn 6662	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19	18	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20		fnssres 6615	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
21	19, 15, 20	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22		ovexd 7398	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23		inidm 4162	. . 3 ⊢ ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24		fvres 6853	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	24	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
26		fvres 6853	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27	26	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
28	17, 21, 22, 22, 23, 25, 27	offval 7636	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	8, 28	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   supp csupp 8107  ℂcc 11034  0cc0 11036   / cdiv 11805   /_f cfdiv 49035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-supp 8108  df-fdiv 49036

This theorem is referenced by:  fdivmptf  49039  refdivmptf  49040  fdivmptfv  49043  refdivmptfv  49044