Theorem fdivmpt 46145

Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivmpt	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 7139	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2	1	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3		fex 7139	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4	3	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5		fdivval 46144	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6		offres 7869	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
7	5, 6	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
8	2, 4, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9		ffn 6635	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10	9	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		suppssdm 8038	. . . . 5 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12		fdm 6644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
13	12	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14	13	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
15	11, 14	sseqtrrid 3983	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16		fnssres 6591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18		ffn 6635	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19	18	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20		fnssres 6591	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
21	19, 15, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22		ovexd 7348	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23		inidm 4162	. . 3 ⊢ ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24		fvres 6828	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	24	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
26		fvres 6828	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27	26	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
28	17, 21, 22, 22, 23, 25, 27	offval 7580	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘f / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	8, 28	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5168  dom cdm 5605   ↾ cres 5607   Fn wfn 6458  ⟶wf 6459  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313   ∘_f cof 7569   supp csupp 8022  ℂcc 10939  0cc0 10941   / cdiv 11702   /_f cfdiv 46142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pr 5365  ax-un 7626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-supp 8023  df-fdiv 46143

This theorem is referenced by:  fdivmptf  46146  refdivmptf  46147  fdivmptfv  46150  refdivmptfv  46151