Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigolo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigolo1 46763
Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
elbigolo1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2 rpssre 12931 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
41, 3fssd 6691 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ)
543ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
76ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
109ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ+)
1110rpregt0d 12972 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦)))
127, 8, 113jca 1128 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))))
13 ledivmul2 12043 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))) → (((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))))
1413bicomd 222 . . . . . . 7 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
1512, 14syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐺:𝐴⟶ℝ+)
172a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
1816, 17fssd 6691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐺:𝐴⟶ℝ)
19183ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20 reex 11151 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
2120ssex 5283 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
235, 19, 223jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26 ffun 6676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
2821anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐴 ∈ V))
29 fex 7181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
31 0red 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
32 frn 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
33 0nrp 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
3534ssneld 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
3633, 35mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
37 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
41 suppdm 46711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
4227, 30, 31, 40, 41syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43 fdm 6682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
4542, 44eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
46453adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
4746eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
4948eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
5049biimpa 477 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
51 refdivmptfv 46752 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
5225, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
5352breq1d 5120 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
5415, 53bitr4d 281 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
5554imbi2d 340 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
5655ralbidva 3168 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57562rexbidva 3207 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58 simp1 1136 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
59 ssidd 3970 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴𝐴)
60 elbigo2 46758 . . 3 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)))))
6119, 58, 5, 59, 60syl22anc 837 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)))))
62 refdivmptf 46748 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
6323, 62syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
6447feq2d 6659 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
6563, 64mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
66 ello12 15410 . . 3 (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
6765, 58, 66syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
6857, 61, 673bitr4d 310 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3045  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3446  wss 3913   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  ran crn 5639  Fun wfun 6495  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362   supp csupp 8097  cr 11059  0cc0 11060   · cmul 11065   < clt 11198  cle 11199   / cdiv 11821  +crp 12924  ≤𝑂(1)clo1 15381   /f cfdiv 46743  Οcbigo 46753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-supp 8098  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-rp 12925  df-ico 13280  df-lo1 15385  df-fdiv 46744  df-bigo 46754
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator