Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigolo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigolo1 46633
Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
elbigolo1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2 rpssre 12922 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
41, 3fssd 6686 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ)
543ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
76ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
109ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ+)
1110rpregt0d 12963 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦)))
127, 8, 113jca 1128 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))))
13 ledivmul2 12034 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))) → (((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))))
1413bicomd 222 . . . . . . 7 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
1512, 14syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐺:𝐴⟶ℝ+)
172a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
1816, 17fssd 6686 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐺:𝐴⟶ℝ)
19183ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20 reex 11142 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
2120ssex 5278 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
235, 19, 223jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26 ffun 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
2821anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐴 ∈ V))
29 fex 7176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
31 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
32 frn 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
33 0nrp 12950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
3534ssneld 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
3633, 35mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
37 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
41 suppdm 46581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
4227, 30, 31, 40, 41syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43 fdm 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
4542, 44eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
46453adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
4746eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
4948eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
5049biimpa 477 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
51 refdivmptfv 46622 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
5225, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
5352breq1d 5115 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
5415, 53bitr4d 281 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
5554imbi2d 340 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
5655ralbidva 3172 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57562rexbidva 3211 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58 simp1 1136 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
59 ssidd 3967 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴𝐴)
60 elbigo2 46628 . . 3 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)))))
6119, 58, 5, 59, 60syl22anc 837 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)))))
62 refdivmptf 46618 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
6323, 62syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
6447feq2d 6654 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
6563, 64mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
66 ello12 15398 . . 3 (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
6765, 58, 66syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
6857, 61, 673bitr4d 310 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3049  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915  ≤𝑂(1)clo1 15369   /f cfdiv 46613  Οcbigo 46623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-supp 8093  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916  df-ico 13270  df-lo1 15373  df-fdiv 46614  df-bigo 46624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator