Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigolo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigolo1 48406
Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
elbigolo1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2 rpssre 13039 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
41, 3fssd 6753 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ)
543ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
76ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 simplrr 778 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
109ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ+)
1110rpregt0d 13080 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦)))
127, 8, 113jca 1127 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))))
13 ledivmul2 12144 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))) → (((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))))
1413bicomd 223 . . . . . . 7 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺𝑦))) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
1512, 14syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐺:𝐴⟶ℝ+)
172a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
1816, 17fssd 6753 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐺:𝐴⟶ℝ)
19183ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20 reex 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
2120ssex 5326 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
235, 19, 223jca 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
2821anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐴 ∈ V))
29 fex 7245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
31 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
32 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
33 0nrp 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
3534ssneld 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
3633, 35mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
37 df-nel 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
3836, 37sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
41 suppdm 48355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
4227, 30, 31, 40, 41syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43 fdm 6745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
4542, 44eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
46453adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
4746eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
4948eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
5049biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
51 refdivmptfv 48395 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
5225, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
5352breq1d 5157 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) ≤ 𝑚))
5415, 53bitr4d 282 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
5554imbi2d 340 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
5655ralbidva 3173 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57562rexbidva 3217 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58 simp1 1135 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
59 ssidd 4018 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴𝐴)
60 elbigo2 48401 . . 3 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)))))
6119, 58, 5, 59, 60syl22anc 839 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑦)))))
62 refdivmptf 48391 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
6323, 62syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
6447feq2d 6722 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
6563, 64mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
66 ello12 15548 . . 3 (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
6765, 58, 66syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
6857, 61, 673bitr4d 311 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wnel 3043  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ran crn 5689  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  +crp 13031  ≤𝑂(1)clo1 15519   /f cfdiv 48386  Οcbigo 48396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-supp 8184  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032  df-ico 13389  df-lo1 15523  df-fdiv 48387  df-bigo 48397
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator