Theorem elbigolo1 48550

Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elbigolo1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2		rpssre 12966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
4	1, 3	fssd 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
10	9	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpregt0d 13008	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦)))
12	7, 8, 11	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))))
13		ledivmul2 12069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → (((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
14	13	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
16		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
17	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
18	16, 17	fssd 6708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20		reex 11166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	ssex 5279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
23	5, 19, 22	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26		ffun 6694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
28	21	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V))
29		fex 7203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
31		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
32		frn 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
33		0nrp 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
35	34	ssneld 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
36	33, 35	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
37		df-nel 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
39	32, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
41		suppdm 48503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
42	27, 30, 31, 40, 41	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43		fdm 6700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
45	42, 44	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
46	45	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
47	46	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
49	48	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
50	49	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
51		refdivmptfv 48539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
52	25, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
53	52	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
54	15, 53	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
55	54	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
56	55	ralbidva 3155	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57	56	2rexbidva 3201	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
59		ssidd 3973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
60		elbigo2 48545	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
61	19, 58, 5, 59, 60	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
62		refdivmptf 48535	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
63	23, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
64	47	feq2d 6675	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
65	63, 64	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
66		ello12 15489	. . 3 ⊢ (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
67	65, 58, 66	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
68	57, 61, 67	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3030  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ran crn 5642  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958  ≤𝑂(1)clo1 15460   /_f cfdiv 48530  Οcbigo 48540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-supp 8143  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959  df-ico 13319  df-lo1 15464  df-fdiv 48531  df-bigo 48541

This theorem is referenced by: (None)