Theorem elbigolo1 49259

Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elbigolo1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2		rpssre 13026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
4	1, 3	fssd 6726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
5	4	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9		simpl2 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
10	9	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpregt0d 13068	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦)))
12	7, 8, 11	3jca 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))))
13		ledivmul2 12096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → (((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
14	13	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	12, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
16		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
17	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
18	16, 17	fssd 6726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
19	18	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20		reex 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	ssex 5294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22	21	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
23	5, 19, 22	3jca 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
24	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
25	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26		ffun 6711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
27	26	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
28	21	anim1ci 627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V))
29		fex 7227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
31		0red 11213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
32		frn 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
33		0nrp 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
34		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
35	34	ssneld 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
36	33, 35	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
37		df-nel 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
39	32, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
41		suppdm 49212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
42	27, 30, 31, 40, 41	syl31anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43		fdm 6718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
44	43	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
45	42, 44	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
46	45	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
47	46	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
48	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
49	48	eleq2d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
50	49	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
51		refdivmptfv 49248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
52	25, 50, 51	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
53	52	breq1d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
54	15, 53	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
55	54	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
56	55	ralbidva 3192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57	56	2rexbidva 3234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
59		ssidd 3968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
60		elbigo2 49254	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
61	19, 58, 5, 59, 60	syl22anc 851	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
62		refdivmptf 49244	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
63	23, 62	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
64	47	feq2d 6692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
65	63, 64	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
66		ello12 15569	. . 3 ⊢ (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
67	65, 58, 66	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
68	57, 61, 67	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  dom cdm 5664  ran crn 5665  Fun wfun 6533  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   supp csupp 8158  ℝcr 11101  0cc0 11102   · cmul 11107   < clt 11245   ≤ cle 11246   / cdiv 11873  ℝ⁺crp 13018  ≤𝑂(1)clo1 15540   /_f cfdiv 49239  Οcbigo 49249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-supp 8159  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-rp 13019  df-ico 13380  df-lo1 15544  df-fdiv 49240  df-bigo 49250

This theorem is referenced by: (None)