Theorem elbigolo1 44611

Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elbigolo1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2		rpssre 12390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
4	1, 3	fssd 6522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
5	4	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6	5	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	ffvelrnda 6845	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9		simpl2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
10	9	ffvelrnda 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpregt0d 12431	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦)))
12	7, 8, 11	3jca 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))))
13		ledivmul2 11513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → (((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
14	13	bicomd 225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
16		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
17	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
18	16, 17	fssd 6522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
19	18	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20		reex 10622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	ssex 5217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22	21	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
23	5, 19, 22	3jca 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
24	23	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
25	24	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26		ffun 6511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
28	21	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V))
29		fex 6983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
31		0red 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
32		frn 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
33		0nrp 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
35	34	ssneld 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
36	33, 35	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
37		df-nel 3124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
38	36, 37	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
39	32, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
40	39	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
41		suppdm 44559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
42	27, 30, 31, 40, 41	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43		fdm 6516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
44	43	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
45	42, 44	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
46	45	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
47	46	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
48	47	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
49	48	eleq2d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
50	49	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
51		refdivmptfv 44600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
52	25, 50, 51	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
53	52	breq1d 5068	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
54	15, 53	bitr4d 284	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
55	54	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
56	55	ralbidva 3196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57	56	2rexbidva 3299	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
59		ssidd 3989	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
60		elbigo2 44606	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
61	19, 58, 5, 59, 60	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
62		refdivmptf 44596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
63	23, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
64	47	feq2d 6494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
65	63, 64	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
66		ello12 14867	. . 3 ⊢ (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
67	65, 58, 66	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
68	57, 61, 67	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3123  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ran crn 5550  Fun wfun 6343  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   supp csupp 7824  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℝ⁺crp 12383  ≤𝑂(1)clo1 14838   /_f cfdiv 44591  Οcbigo 44601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-supp 7825  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-rp 12384  df-ico 12738  df-lo1 14842  df-fdiv 44592  df-bigo 44602

This theorem is referenced by: (None)