Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswco 14195
 Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if 𝑊 = ∅, (𝐹‘∅) ≠ ∅ and ∅ ∈ 𝐴, because then (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (lastS‘∅) = ∅ ≠ (𝐹‘∅) = (𝐹(lastS‘𝑊)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (lastS‘(𝐹𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

Proof of Theorem lswco
StepHypRef Expression
1 ffun 6491 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
21anim1i 617 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
32ancoms 462 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
433adant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
5 cofunexg 7635 . . 3 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
6 lsw 13910 . . 3 ((𝐹𝑊) ∈ V → (lastS‘(𝐹𝑊)) = ((𝐹𝑊)‘((♯‘(𝐹𝑊)) − 1)))
74, 5, 63syl 18 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (lastS‘(𝐹𝑊)) = ((𝐹𝑊)‘((♯‘(𝐹𝑊)) − 1)))
8 lenco 14188 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
983adant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
109fvoveq1d 7158 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊)‘((♯‘(𝐹𝑊)) − 1)) = ((𝐹𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
11 wrdf 13865 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
1211adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
13 lennncl 13880 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14 fzo0end 13127 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1612, 15jca 515 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17163adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
18 fvco3 6738 . . . 4 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
1917, 18syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
20 lsw 13910 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
21203ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2221eqcomd 2804 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
2322fveq2d 6650 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
2419, 23eqtrd 2833 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
257, 10, 243eqtrd 2837 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (lastS‘(𝐹𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ∅c0 4243   ∘ ccom 5524  Fun wfun 6319  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   − cmin 10862  ℕcn 11628  ..^cfzo 13031  ♯chash 13689  Word cword 13860  lastSclsw 13908 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13909 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator