MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lswco 14755
Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if π‘Š = βˆ…, (πΉβ€˜βˆ…) β‰  βˆ… and βˆ… ∈ 𝐴, because then (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (lastSβ€˜βˆ…) = βˆ… β‰  (πΉβ€˜βˆ…) = (𝐹(lastSβ€˜π‘Š)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswco ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
Proof of Theorem lswco
StepHypRef Expression
1 ffun 6691 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ Fun 𝐹)
21anim1i 615 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴))
32ancoms 459 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴))
433adant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴))
5 cofunexg 7901 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V)
6 lsw 14479 . . 3 ((𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1)))
74, 5, 63syl 18 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1)))
8 lenco 14748 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
983adant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
109fvoveq1d 7399 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
11 wrdf 14434 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
13 lennncl 14449 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
14 fzo0end 13689 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1612, 15jca 512 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
17163adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
18 fvco3 6960 . . . 4 ((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
1917, 18syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
20 lsw 14479 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
21203ad2ant1 1133 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2221eqcomd 2737 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
2322fveq2d 6866 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
2419, 23eqtrd 2771 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
257, 10, 243eqtrd 2775 1 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  Vcvv 3459  βˆ…c0 4302   ∘ ccom 5657  Fun wfun 6510  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  0cc0 11075  1c1 11076   βˆ’ cmin 11409  β„•cn 12177  ..^cfzo 13592  β™―chash 14255  Word cword 14429  lastSclsw 14477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-lsw 14478
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator