MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lswco 14796
Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if π‘Š = βˆ…, (πΉβ€˜βˆ…) β‰  βˆ… and βˆ… ∈ 𝐴, because then (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (lastSβ€˜βˆ…) = βˆ… β‰  (πΉβ€˜βˆ…) = (𝐹(lastSβ€˜π‘Š)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswco ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
Proof of Theorem lswco
StepHypRef Expression
1 ffun 6721 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ Fun 𝐹)
21anim1i 613 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴))
32ancoms 457 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴))
433adant2 1129 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴))
5 cofunexg 7939 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V)
6 lsw 14520 . . 3 ((𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1)))
74, 5, 63syl 18 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1)))
8 lenco 14789 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
983adant2 1129 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
109fvoveq1d 7435 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
11 wrdf 14475 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
1211adantr 479 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
13 lennncl 14490 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
14 fzo0end 13730 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1612, 15jca 510 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
17163adant3 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
18 fvco3 6991 . . . 4 ((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
1917, 18syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
20 lsw 14520 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
21203ad2ant1 1131 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2221eqcomd 2736 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
2322fveq2d 6896 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
2419, 23eqtrd 2770 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
257, 10, 243eqtrd 2774 1 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘Š β‰  βˆ… ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (lastSβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (πΉβ€˜(lastSβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  βˆ…c0 4323   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  1c1 11115   βˆ’ cmin 11450  β„•cn 12218  ..^cfzo 13633  β™―chash 14296  Word cword 14470  lastSclsw 14518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-lsw 14519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator