Theorem lswco 14902

Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if 𝑊 = ∅, (𝐹‘∅) ≠ ∅ and ∅ ∈ 𝐴, because then (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (lastS‘∅) = ∅ ≠ (𝐹‘∅) = (𝐹(lastS‘𝑊)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

Proof of Theorem lswco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
2	1	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
3	2	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
5		cofunexg 7955	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
6		lsw 14621	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)))
7	4, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)))
8		lenco 14895	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	8	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
10	9	fvoveq1d 7445	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
11		wrdf 14575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
13		lennncl 14591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14		fzo0end 13806	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	12, 15	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
18		fvco3 6988	. . . 4 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
20		lsw 14621	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
22	21	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
23	22	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
24	19, 23	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
25	7, 10, 24	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   − cmin 11459  ℕcn 12251  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570  lastSclsw 14619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620

This theorem is used by:  wrdpmtrlast  33444