Theorem lswco 14803

Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if 𝑊 = ∅, (𝐹‘∅) ≠ ∅ and ∅ ∈ 𝐴, because then (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (lastS‘∅) = ∅ ≠ (𝐹‘∅) = (𝐹(lastS‘𝑊)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

Proof of Theorem lswco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
2	1	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
3	2	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
4	3	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
5		cofunexg 7904	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
6		lsw 14528	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)))
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)))
8		lenco 14796	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	8	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
10	9	fvoveq1d 7391	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
11		wrdf 14482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
13		lennncl 14498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14		fzo0end 13715	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	12, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17	16	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
18		fvco3 6941	. . . 4 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
20		lsw 14528	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
22	21	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
23	22	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
24	19, 23	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
25	7, 10, 24	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274   ∘ ccom 5636  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  0cc0 11040  1c1 11041   − cmin 11379  ℕcn 12176  ..^cfzo 13610  ♯chash 14294  Word cword 14477  lastSclsw 14526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9865  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-n0 12440  df-z 12527  df-uz 12791  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-hash 14295  df-word 14478  df-lsw 14527

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33156