Theorem lswco 14772

Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if 𝑊 = ∅, (𝐹‘∅) ≠ ∅ and ∅ ∈ 𝐴, because then (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (lastS‘∅) = ∅ ≠ (𝐹‘∅) = (𝐹(lastS‘𝑊)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

Proof of Theorem lswco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
2	1	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
3	2	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
4	3	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴))
5		cofunexg 7917	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
6		lsw 14496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)))
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)))
8		lenco 14765	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	8	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
10	9	fvoveq1d 7415	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
11		wrdf 14451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
13		lennncl 14466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14		fzo0end 13706	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	12, 15	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
18		fvco3 6976	. . . 4 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))))
20		lsw 14496	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
22	21	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
23	22	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹‘(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
24	19, 23	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))
25	7, 10, 24	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (lastS‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝐹‘(lastS‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3473  ∅c0 4318   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6526  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093   − cmin 11426  ℕcn 12194  ..^cfzo 13609  ♯chash 14272  Word cword 14446  lastSclsw 14494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-lsw 14495

This theorem is referenced by: (None)