Theorem ress0 16550

Description: All restrictions of the null set are trivial. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ress0	⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅

Proof of Theorem ress0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4304	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		0ex 5175	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴)
4		base0 16528	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	ressid2 16544	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
6	1, 2, 5	mp3an12 1448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
7		reldmress 16542	. . 3 ⊢ Rel dom ↾s
8	7	ovprc2 7175	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
9	6, 8	pm2.61i 185	1 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  (class class class)co 7135   ↾_s cress 16476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-slot 16479  df-base 16481  df-ress 16483

This theorem is referenced by:  ressress  16554  symgval  18489  invrfval  19419  dsmmval  20423  dsmmval2  20425  mplval  20666  ply1val  20823  resvsca  30954