Theorem ress0 17430

Description: All restrictions of the empty set are trivial. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ress0	⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅

Proof of Theorem ress0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴)
4		base0 17401	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	ressid2 17421	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
6	1, 2, 5	mp3an12 1480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
7		reldmress 17419	. . 3 ⊢ Rel dom ↾s
8	7	ovprc2 7464	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
9	6, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  (class class class)co 7424   ↾_s cress 17417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-1cn 11265  ax-addcl 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-nn 12343  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418

This theorem is used by:  ressress  17434  symgval  19594  invrfval  20628  dsmmval  22049  dsmmval2  22051  mplval  22305  ply1val  22521  resvsca  33943