MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ress0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ress0 17289
Description: All restrictions of the null set are trivial. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ress0 (∅ ↾s 𝐴) = ∅

Proof of Theorem ress0
StepHypRef Expression
1 0ss 4406 . . 3 ∅ ⊆ 𝐴
2 0ex 5313 . . 3 ∅ ∈ V
3 eqid 2735 . . . 4 (∅ ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴)
4 base0 17250 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
53, 4ressid2 17278 . . 3 ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
61, 2, 5mp3an12 1450 . 2 (𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
7 reldmress 17276 . . 3 Rel dom ↾s
87ovprc2 7471 . 2 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
96, 8pm2.61i 182 1 (∅ ↾s 𝐴) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  (class class class)co 7431  s cress 17274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275
This theorem is referenced by:  ressress  17294  symgval  19403  invrfval  20406  dsmmval  21772  dsmmval2  21774  mplval  22027  ply1val  22211  resvsca  33336
  Copyright terms: Public domain W3C validator