Theorem ress0 17421

Description: All restrictions of the empty set are trivial. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ress0	⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅

Proof of Theorem ress0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴)
4		base0 17392	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	ressid2 17412	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
6	1, 2, 5	mp3an12 1480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
7		reldmress 17410	. . 3 ⊢ Rel dom ↾s
8	7	ovprc2 7460	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐴) = ∅)
9	6, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  (class class class)co 7420   ↾_s cress 17408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-nn 12336  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409

This theorem is used by:  ressress  17425  symgval  19585  invrfval  20619  dsmmval  22040  dsmmval2  22042  mplval  22296  ply1val  22512  resvsca  33893