Theorem psgnghm2 21488

Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnghm2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgnghm2.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgnghm2.u	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
psgnghm2	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem psgnghm2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnghm2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnghm2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s dom 𝑁) = (𝑆 ↾s dom 𝑁)
4		psgnghm2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
5	1, 2, 3, 4	psgnghm 21487	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((𝑆 ↾s dom 𝑁) GrpHom 𝑈))
6		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	1, 6	sygbasnfpfi 19391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
8	7	ralrimiva 3121	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
9		rabid2 3428	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
12	1, 6, 11, 2	psgnfn 19380	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
13	12	fndmi 6586	. . . . 5 ⊢ dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
14	10, 13	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = dom 𝑁)
15		eqimss 3994	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑆) = dom 𝑁 → (Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁)
16	1	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
17	2	fvexi 6836	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ V
18	17	dmex 7842	. . . . 5 ⊢ dom 𝑁 ∈ V
19	3, 6	ressid2 17145	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑁 ∈ V) → (𝑆 ↾s dom 𝑁) = 𝑆)
20	16, 18, 19	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 → (𝑆 ↾s dom 𝑁) = 𝑆)
21	14, 15, 20	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆 ↾s dom 𝑁) = 𝑆)
22	21	oveq1d 7364	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((𝑆 ↾s dom 𝑁) GrpHom 𝑈) = (𝑆 GrpHom 𝑈))
23	5, 22	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {cpr 4579   I cid 5513  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  1c1 11010  -cneg 11348  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141   GrpHom cghm 19091  SymGrpcsymg 19248  pmSgncpsgn 19368  mulGrpcmgp 20025  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-splice 14656  df-reverse 14665  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-efmnd 18743  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-gim 19138  df-oppg 19225  df-symg 19249  df-pmtr 19321  df-psgn 19370  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  psgninv  21489  psgnco  21490  zrhpsgnmhm  21491  zrhpsgninv  21492  psgnevpmb  21494  psgnodpm  21495  zrhpsgnevpm  21498  zrhpsgnodpm  21499  evpmodpmf1o  21503  mdetralt  22493  psgnid  33039  evpmsubg  33089  altgnsg  33091