MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm2 21470
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgnghm2.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgnghm2.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnghm2.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2726 . . 3 (𝑆s dom 𝑁) = (𝑆s dom 𝑁)
4 psgnghm2.u . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
51, 2, 3, 4psgnghm 21469 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈))
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
71, 6sygbasnfpfi 19430 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
87ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
9 rabid2 3458 . . . . . 6 ((Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
108, 9sylibr 233 . . . . 5 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
11 eqid 2726 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
121, 6, 11, 2psgnfn 19419 . . . . . 6 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1312fndmi 6646 . . . . 5 dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1410, 13eqtr4di 2784 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = dom 𝑁)
15 eqimss 4035 . . . 4 ((Base‘𝑆) = dom 𝑁 → (Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁)
161fvexi 6898 . . . . 5 𝑆 ∈ V
172fvexi 6898 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
1817dmex 7898 . . . . 5 dom 𝑁 ∈ V
193, 6ressid2 17184 . . . . 5 (((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑁 ∈ V) → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2016, 18, 19mp3an23 1449 . . . 4 ((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2114, 15, 203syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2221oveq1d 7419 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈) = (𝑆 GrpHom 𝑈))
235, 22eleqtrd 2829 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  wss 3943  {cpr 4625   I cid 5566  dom cdm 5669  cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  1c1 11110  -cneg 11446  Basecbs 17151  s cress 17180   GrpHom cghm 19136  SymGrpcsymg 19284  pmSgncpsgn 19407  mulGrpcmgp 20037  fldccnfld 21236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-oppg 19260  df-symg 19285  df-pmtr 19360  df-psgn 19409  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-cnfld 21237
This theorem is referenced by:  psgninv  21471  psgnco  21472  zrhpsgnmhm  21473  zrhpsgninv  21474  psgnevpmb  21476  psgnodpm  21477  zrhpsgnevpm  21480  zrhpsgnodpm  21481  evpmodpmf1o  21485  mdetralt  22461  psgnid  32760  evpmsubg  32810  altgnsg  32812
  Copyright terms: Public domain W3C validator