MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm2 21599
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgnghm2.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgnghm2.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnghm2.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2737 . . 3 (𝑆s dom 𝑁) = (𝑆s dom 𝑁)
4 psgnghm2.u . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
51, 2, 3, 4psgnghm 21598 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈))
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
71, 6sygbasnfpfi 19530 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
87ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
9 rabid2 3470 . . . . . 6 ((Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
108, 9sylibr 234 . . . . 5 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
11 eqid 2737 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
121, 6, 11, 2psgnfn 19519 . . . . . 6 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1312fndmi 6672 . . . . 5 dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1410, 13eqtr4di 2795 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = dom 𝑁)
15 eqimss 4042 . . . 4 ((Base‘𝑆) = dom 𝑁 → (Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁)
161fvexi 6920 . . . . 5 𝑆 ∈ V
172fvexi 6920 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
1817dmex 7931 . . . . 5 dom 𝑁 ∈ V
193, 6ressid2 17278 . . . . 5 (((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑁 ∈ V) → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2016, 18, 19mp3an23 1455 . . . 4 ((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2114, 15, 203syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2221oveq1d 7446 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈) = (𝑆 GrpHom 𝑈))
235, 22eleqtrd 2843 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {cpr 4628   I cid 5577  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156  -cneg 11493  Basecbs 17247  s cress 17274   GrpHom cghm 19230  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  mulGrpcmgp 20137  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  psgninv  21600  psgnco  21601  zrhpsgnmhm  21602  zrhpsgninv  21603  psgnevpmb  21605  psgnodpm  21606  zrhpsgnevpm  21609  zrhpsgnodpm  21610  evpmodpmf1o  21614  mdetralt  22614  psgnid  33117  evpmsubg  33167  altgnsg  33169
  Copyright terms: Public domain W3C validator