MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm2 20273
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgnghm2.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgnghm2.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnghm2.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2801 . . 3 (𝑆s dom 𝑁) = (𝑆s dom 𝑁)
4 psgnghm2.u . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
51, 2, 3, 4psgnghm 20272 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈))
6 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
71, 6sygbasnfpfi 18635 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
87ralrimiva 3152 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
9 rabid2 3337 . . . . . 6 ((Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
108, 9sylibr 237 . . . . 5 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
11 eqid 2801 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
121, 6, 11, 2psgnfn 18624 . . . . . 6 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1312fndmi 6430 . . . . 5 dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1410, 13eqtr4di 2854 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = dom 𝑁)
15 eqimss 3974 . . . 4 ((Base‘𝑆) = dom 𝑁 → (Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁)
161fvexi 6663 . . . . 5 𝑆 ∈ V
172fvexi 6663 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
1817dmex 7602 . . . . 5 dom 𝑁 ∈ V
193, 6ressid2 16547 . . . . 5 (((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑁 ∈ V) → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2016, 18, 19mp3an23 1450 . . . 4 ((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2114, 15, 203syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2221oveq1d 7154 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈) = (𝑆 GrpHom 𝑈))
235, 22eleqtrd 2895 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  {cpr 4530   I cid 5427  dom cdm 5523  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  1c1 10531  -cneg 10864  Basecbs 16478  s cress 16479   GrpHom cghm 18350  SymGrpcsymg 18490  pmSgncpsgn 18612  mulGrpcmgp 19235  fldccnfld 20094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-efmnd 18029  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-gim 18394  df-oppg 18469  df-symg 18491  df-pmtr 18565  df-psgn 18614  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-cnfld 20095
This theorem is referenced by:  psgninv  20274  psgnco  20275  zrhpsgnmhm  20276  zrhpsgninv  20277  psgnevpmb  20279  psgnodpm  20280  zrhpsgnevpm  20283  zrhpsgnodpm  20284  evpmodpmf1o  20288  mdetralt  21216  psgnid  30792  evpmsubg  30842  altgnsg  30844
  Copyright terms: Public domain W3C validator