Theorem snsymgefmndeq 19339

Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
snsymgefmndeq	⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋}
5	2, 3, 4	efmnd1bas 18830	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
8	6, 7, 4	symg1bas 19335	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
9	1, 5, 8	3sstr4d 3991	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
12	6, 7, 2	symgressbas 19326	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
13	12, 3	ressid2 17173	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
15	14	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
18	16, 17	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
19	15, 18	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20		snprc 4676	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
21	20	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
22	21	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23		0symgefmndeq 19338	. . . 4 ⊢ (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
26	23, 24, 25	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
27	22, 26	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
28	19, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  EndoFMndcefmnd 18805  SymGrpcsymg 19313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-efmnd 18806  df-symg 19314

This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19341