MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snsymgefmndeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snsymgefmndeq 19353
Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
snsymgefmndeq (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq
StepHypRef Expression
1 ssidd 3996 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2 eqid 2725 . . . . . . 7 (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4 eqid 2725 . . . . . . 7 {𝑋} = {𝑋}
52, 3, 4efmnd1bas 18849 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6 eqid 2725 . . . . . . 7 (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
86, 7, 4symg1bas 19349 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
91, 5, 83sstr4d 4020 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10 fvexd 6907 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11 fvexd 6907 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
126, 7, 2symgressbas 19340 . . . . . 6 (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
1312, 3ressid2 17212 . . . . 5 (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
149, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
1514eqcomd 2731 . . 3 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16 fveq2 6892 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17 fveq2 6892 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
1816, 17eqeq12d 2741 . . 3 (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
1915, 18syl5ibrcom 246 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20 snprc 4717 . . . . 5 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
2120biimpi 215 . . . 4 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
2221eqeq2d 2736 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23 0symgefmndeq 19352 . . . 4 (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24 fveq2 6892 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25 fveq2 6892 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
2623, 24, 253eqtr4a 2791 . . 3 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
2722, 26biimtrdi 252 . 2 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
2819, 27pm2.61i 182 1 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  wss 3939  c0 4318  {csn 4624  cop 4630  cfv 6543  Basecbs 17179  EndoFMndcefmnd 18824  SymGrpcsymg 19325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-efmnd 18825  df-symg 19326
This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19355  symgvalstructOLD  19356
  Copyright terms: Public domain W3C validator