MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snsymgefmndeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snsymgefmndeq 19299
Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
snsymgefmndeq (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq
StepHypRef Expression
1 ssidd 3997 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2 eqid 2724 . . . . . . 7 (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4 eqid 2724 . . . . . . 7 {𝑋} = {𝑋}
52, 3, 4efmnd1bas 18805 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6 eqid 2724 . . . . . . 7 (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
86, 7, 4symg1bas 19295 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
91, 5, 83sstr4d 4021 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10 fvexd 6896 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11 fvexd 6896 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
126, 7, 2symgressbas 19286 . . . . . 6 (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
1312, 3ressid2 17173 . . . . 5 (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
149, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
1514eqcomd 2730 . . 3 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16 fveq2 6881 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17 fveq2 6881 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
1816, 17eqeq12d 2740 . . 3 (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
1915, 18syl5ibrcom 246 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20 snprc 4713 . . . . 5 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
2120biimpi 215 . . . 4 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
2221eqeq2d 2735 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23 0symgefmndeq 19298 . . . 4 (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24 fveq2 6881 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25 fveq2 6881 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
2623, 24, 253eqtr4a 2790 . . 3 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
2722, 26syl6bi 253 . 2 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
2819, 27pm2.61i 182 1 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3940  c0 4314  {csn 4620  cop 4626  cfv 6533  Basecbs 17140  EndoFMndcefmnd 18780  SymGrpcsymg 19271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18781  df-symg 19272
This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19301  symgvalstructOLD  19302
  Copyright terms: Public domain W3C validator