Theorem snsymgefmndeq 19525

Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
snsymgefmndeq	⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋}
5	2, 3, 4	efmnd1bas 19005	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
8	6, 7, 4	symg1bas 19521	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
9	1, 5, 8	3sstr4d 3986	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10		fvexd 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11		fvexd 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
12	6, 7, 2	symgressbas 19512	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
13	12, 3	ressid2 17329	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
15	14	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
18	16, 17	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
19	15, 18	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20		snprc 4678	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
21	20	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
22	21	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23		0symgefmndeq 19524	. . . 4 ⊢ (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
26	23, 24, 25	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
27	22, 26	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
28	19, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  EndoFMndcefmnd 18980  SymGrpcsymg 19499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-tset 17364  df-efmnd 18981  df-symg 19500

This theorem is used by:  symgvalstruct  19527