Theorem snsymgefmndeq 19261

Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
snsymgefmndeq	⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋}
5	2, 3, 4	efmnd1bas 18773	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
8	6, 7, 4	symg1bas 19257	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
9	1, 5, 8	3sstr4d 4029	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
12	6, 7, 2	symgressbas 19248	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
13	12, 3	ressid2 17176	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
15	14	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
18	16, 17	eqeq12d 2748	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
19	15, 18	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20		snprc 4721	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
21	20	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
22	21	eqeq2d 2743	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23		0symgefmndeq 19260	. . . 4 ⊢ (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
26	23, 24, 25	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
27	22, 26	syl6bi 252	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
28	19, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  ⟨cop 4634  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  EndoFMndcefmnd 18748  SymGrpcsymg 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18749  df-symg 19234

This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19263  symgvalstructOLD  19264