Theorem snsymgefmndeq 19314

Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
snsymgefmndeq	⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4000	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋}
5	2, 3, 4	efmnd1bas 18818	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
8	6, 7, 4	symg1bas 19310	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
9	1, 5, 8	3sstr4d 4024	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
12	6, 7, 2	symgressbas 19301	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
13	12, 3	ressid2 17186	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
15	14	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
18	16, 17	eqeq12d 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
19	15, 18	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20		snprc 4716	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
21	20	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
22	21	eqeq2d 2737	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23		0symgefmndeq 19313	. . . 4 ⊢ (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
26	23, 24, 25	3eqtr4a 2792	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
27	22, 26	biimtrdi 252	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
28	19, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {csn 4623  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  EndoFMndcefmnd 18793  SymGrpcsymg 19286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794  df-symg 19287

This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19316  symgvalstructOLD  19317