Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snsymgefmndeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snsymgefmndeq 18502
 Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
snsymgefmndeq (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq
StepHypRef Expression
1 ssidd 3966 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2 eqid 2821 . . . . . . 7 (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4 eqid 2821 . . . . . . 7 {𝑋} = {𝑋}
52, 3, 4efmnd1bas 18037 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6 eqid 2821 . . . . . . 7 (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
86, 7, 4symg1bas 18498 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
91, 5, 83sstr4d 3990 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10 fvexd 6658 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11 fvexd 6658 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
126, 7, 2symgressbas 18489 . . . . . 6 (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
1312, 3ressid2 16531 . . . . 5 (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
149, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
1514eqcomd 2827 . . 3 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16 fveq2 6643 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17 fveq2 6643 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
1816, 17eqeq12d 2837 . . 3 (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
1915, 18syl5ibrcom 250 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20 snprc 4626 . . . . 5 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
2120biimpi 219 . . . 4 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
2221eqeq2d 2832 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23 0symgefmndeq 18501 . . . 4 (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24 fveq2 6643 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25 fveq2 6643 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
2623, 24, 253eqtr4a 2882 . . 3 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
2722, 26syl6bi 256 . 2 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
2819, 27pm2.61i 185 1 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  {csn 4540  ⟨cop 4546  ‘cfv 6328  Basecbs 16462  EndoFMndcefmnd 18012  SymGrpcsymg 18474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-tset 16563  df-efmnd 18013  df-symg 18475 This theorem is referenced by:  symgvalstruct  18504
 Copyright terms: Public domain W3C validator