MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snsymgefmndeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snsymgefmndeq 19184
Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
snsymgefmndeq (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq
StepHypRef Expression
1 ssidd 3971 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4 eqid 2733 . . . . . . 7 {𝑋} = {𝑋}
52, 3, 4efmnd1bas 18711 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
86, 7, 4symg1bas 19180 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
91, 5, 83sstr4d 3995 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10 fvexd 6861 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11 fvexd 6861 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
126, 7, 2symgressbas 19171 . . . . . 6 (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
1312, 3ressid2 17124 . . . . 5 (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
149, 10, 11, 13syl3anc 1372 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
1514eqcomd 2739 . . 3 (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16 fveq2 6846 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17 fveq2 6846 . . . 4 (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
1816, 17eqeq12d 2749 . . 3 (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
1915, 18syl5ibrcom 247 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20 snprc 4682 . . . . 5 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
2120biimpi 215 . . . 4 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
2221eqeq2d 2744 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23 0symgefmndeq 19183 . . . 4 (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24 fveq2 6846 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25 fveq2 6846 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
2623, 24, 253eqtr4a 2799 . . 3 (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
2722, 26syl6bi 253 . 2 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
2819, 27pm2.61i 182 1 (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  wss 3914  c0 4286  {csn 4590  cop 4596  cfv 6500  Basecbs 17091  EndoFMndcefmnd 18686  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-efmnd 18687  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19186  symgvalstructOLD  19187
  Copyright terms: Public domain W3C validator