Theorem snsymgefmndeq 19513

Description: The symmetric group on a singleton 𝐴 is identical with the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
snsymgefmndeq	⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

Proof of Theorem snsymgefmndeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → {{⟨𝑋, 𝑋⟩}} ⊆ {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
2		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋})
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋}))
4		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋}
5	2, 3, 4	efmnd1bas 18993	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
6		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})
7		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = (Base‘(SymGrp‘{𝑋}))
8	6, 7, 4	symg1bas 19509	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) = {{⟨𝑋, 𝑋⟩}})
9	1, 5, 8	3sstr4d 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
10		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V)
11		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V)
12	6, 7, 2	symgressbas 19500	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘{𝑋}) = ((EndoFMnd‘{𝑋}) ↾s (Base‘(SymGrp‘{𝑋})))
13	12, 3	ressid2 17320	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(EndoFMnd‘{𝑋})) ⊆ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∧ (EndoFMnd‘{𝑋}) ∈ V ∧ (Base‘(SymGrp‘{𝑋})) ∈ V) → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (SymGrp‘{𝑋}) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
15	14	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋}))
16		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝑋}))
17		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝑋}))
18	16, 17	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → ((EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴) ↔ (EndoFMnd‘{𝑋}) = (SymGrp‘{𝑋})))
19	15, 18	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
20		snprc 4685	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
21	20	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
22	21	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} ↔ 𝐴 = ∅))
23		0symgefmndeq 19512	. . . 4 ⊢ (EndoFMnd‘∅) = (SymGrp‘∅)
24		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘∅))
25		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘∅))
26	23, 24, 25	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))
27	22, 26	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)))
28	19, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (EndoFMnd‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  Basecbs 17295  EndoFMndcefmnd 18968  SymGrpcsymg 19487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-tset 17355  df-efmnd 18969  df-symg 19488

This theorem is used by:  symgvalstruct  19515