MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringacl 20007
Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringacl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringacl
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19977 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 ringacl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ringacl.p . . 3 + = (+g𝑅)
42, 3grpcl 18764 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1164 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5267
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  ringcomlem  20008  ringcom  20009  ringlghm  20036  ringrghm  20037  imasring  20053  qusring2  20054  cntzsubr  20298  srngadd  20359  issrngd  20363  lmodprop2d  20428  prdslmodd  20474  ip2subdi  21071  psrlmod  21393  mpfind  21540  coe1add  21658  mat1ghm  21855  scmatghm  21905  mdetrlin2  21979  mdetunilem5  21988  cpmatacl  22088  mdegaddle  25462  deg1addle2  25490  deg1add  25491  ply1divex  25524  frobrhm  32124  rhmpreimaidl  32255  dvhlveclem  39621  baerlem3lem1  40220  mendlmod  41567  cznrng  46343  lmod1lem3  46660
  Copyright terms: Public domain W3C validator