Theorem ringacl 20253

Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringacl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20217	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ringacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4	2, 3	grpcl 18931	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  Grpcgrp 18923  Ringcrg 20212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-nul 5303

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-iota 6498  df-fv 6554  df-ov 7419  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-ring 20214

This theorem is referenced by:  ringcomlem  20254  ringcom  20255  ringlghm  20287  ringrghm  20288  imasring  20305  qusring2  20309  cntzsubr  20586  srngadd  20826  issrngd  20830  lmodprop2d  20896  prdslmodd  20942  rhmpreimaidl  21262  ip2subdi  21636  psrlmod  21965  mpfind  22118  coe1add  22251  mat1ghm  22473  scmatghm  22523  mdetrlin2  22597  mdetunilem5  22606  cpmatacl  22706  mdegaddle  26098  deg1addle2  26126  deg1add  26127  ply1divex  26161  frobrhm  33103  deg1addlt  33473  dvhlveclem  40820  baerlem3lem1  41419  mendlmod  42891  cznrng  47674  lmod1lem3  47908