Theorem ringacl 20425

Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringacl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20383	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ringacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4	2, 3	grpcl 19071	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Grpcgrp 19063  Ringcrg 20378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-ring 20380

This theorem is used by:  ringcomlem  20426  ringcom  20427  ringlghm  20460  ringrghm  20461  imasring  20477  qusring2  20481  cntzsubr  20774  srngadd  21023  issrngd  21027  lmodprop2d  21114  prdslmodd  21159  rhmpreimaidl  21485  frobrhm  21794  ip2subdi  21863  psrlmod  22180  mpfind  22337  coe1add  22496  mat1ghm  22711  scmatghm  22761  mdetrlin2  22835  mdetunilem5  22844  cpmatacl  22947  mdegaddle  26306  deg1addle2  26334  deg1add  26335  ply1divex  26369  deg1addlt  34018  dvhlveclem  41989  baerlem3lem1  42588  mendlmod  44038  cznrng  49184  lmod1lem3  49427