MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringacl 19320
Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringacl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringacl
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19294 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 ringacl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ringacl.p . . 3 + = (+g𝑅)
42, 3grpcl 18103 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1157 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Grpcgrp 18095  Ringcrg 19289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7151  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-ring 19291
This theorem is referenced by:  ringcom  19321  ringlghm  19346  ringrghm  19347  imasring  19361  qusring2  19362  cntzsubr  19560  srngadd  19620  issrngd  19624  lmodprop2d  19688  prdslmodd  19733  psrlmod  20173  mpfind  20312  coe1add  20424  ip2subdi  20780  mat1ghm  21084  scmatghm  21134  mdetrlin2  21208  mdetunilem5  21217  cpmatacl  21316  mdegaddle  24660  deg1addle2  24688  deg1add  24689  ply1divex  24722  dvhlveclem  38226  baerlem3lem1  38825  mendlmod  39773  cznrng  44206  lmod1lem3  44524
  Copyright terms: Public domain W3C validator