Theorem ringacl 20307

Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringacl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20267	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ringacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4	2, 3	grpcl 18966	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1175	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18958  Ringcrg 20262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-ring 20264

This theorem is referenced by:  ringcomlem  20308  ringcom  20309  ringlghm  20341  ringrghm  20342  imasring  20358  qusring2  20362  cntzsubr  20635  srngadd  20880  issrngd  20884  lmodprop2d  20971  prdslmodd  21016  rhmpreimaidl  21327  frobrhm  21607  ip2subdi  21676  psrlmod  21991  mpfind  22148  coe1add  22307  mat1ghm  22523  scmatghm  22573  mdetrlin2  22647  mdetunilem5  22656  cpmatacl  22756  mdegaddle  26114  deg1addle2  26142  deg1add  26143  ply1divex  26177  deg1addlt  33757  dvhlveclem  41696  baerlem3lem1  42295  mendlmod  43730  cznrng  48847  lmod1lem3  49075