Theorem mdetrlin2 22078

Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrlin2.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrlin2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetrlin2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetrlin2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
mdetrlin2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrlin2.z	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ 𝐾)
mdetrlin2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mdetrlin2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   + ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrlin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrlin2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		mdetrlin2.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		mdetrlin2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		mdetrlin2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		mdetrlin2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8		crngring 20050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mdetrlin2.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
12		mdetrlin2.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
13	6, 4	ringacl 20076	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
15		mdetrlin2.z	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ 𝐾)
16	14, 15	ifcld 4570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) ∈ 𝐾)
17	2, 6, 3, 7, 5, 16	matbas2d 21894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
18	11, 15	ifcld 4570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) ∈ 𝐾)
19	2, 6, 3, 7, 5, 18	matbas2d 21894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20	12, 15	ifcld 4570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
21	2, 6, 3, 7, 5, 20	matbas2d 21894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
22		mdetrlin2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
23		snex 5427	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
25	22	snssd 4808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
27		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ {𝐼})
28	26, 27	sseldd 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29	28, 11	syld3an2 1412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
30	28, 12	syld3an2 1412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
31		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
32		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))
33	24, 7, 29, 30, 31, 32	offval22 8061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)))
34	33	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌)))
35		mposnif 7511	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌))
36		mposnif 7511	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
37		mposnif 7511	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌)
38	36, 37	oveq12i 7408	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))
39	34, 35, 38	3eqtr4g 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
40		ssid 4002	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
41		resmpo 7515	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
42	25, 40, 41	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
43		resmpo 7515	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
44	25, 40, 43	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
45		resmpo 7515	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
46	25, 40, 45	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
47	44, 46	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
48	39, 42, 47	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
49		eldifsni 4789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ≠ 𝐼)
50	49	neneqd 2946	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
51		iffalse 4533	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = 𝑍)
52		iffalse 4533	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) = 𝑍)
53	51, 52	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
54	50, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
55	54	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
56	55	mpoeq3dva 7473	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
57		difss 4129	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
58		resmpo 7515	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
59	57, 40, 58	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))
60		resmpo 7515	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
61	57, 40, 60	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
62	56, 59, 61	3eqtr4g 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
63		iffalse 4533	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) = 𝑍)
64	51, 63	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
65	50, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
66	65	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
67	66	mpoeq3dva 7473	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
68		resmpo 7515	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
69	57, 40, 68	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
70	67, 59, 69	3eqtr4g 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
71	1, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 48, 62, 70	mdetrlin 22073	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946  ifcif 4524  {csn 4624   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398   ∘_f cof 7655  Fincfn 8927  Basecbs 17131  +_gcplusg 17184  Ringcrg 20038  CRingccrg 20039   Mat cmat 21876   maDet cmdat 22055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-addf 11176  ax-mulf 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-sup 9424  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-word 14452  df-lsw 14500  df-concat 14508  df-s1 14533  df-substr 14578  df-pfx 14608  df-splice 14687  df-reverse 14696  df-s2 14786  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-prds 17380  df-pws 17382  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-efmnd 18737  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-gim 19118  df-cntz 19166  df-oppg 19194  df-symg 19219  df-pmtr 19294  df-psgn 19343  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-cring 20041  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-dvr 20193  df-rnghom 20229  df-drng 20295  df-subrg 20338  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-cnfld 20919  df-zring 20992  df-zrh 21026  df-dsmm 21260  df-frlm 21275  df-mat 21877  df-mdet 22056

This theorem is referenced by:  mdetero  22081  madugsum  22114