MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin2 22430
Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrlin2.p + = (+g𝑅)
mdetrlin2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrlin2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrlin2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrlin2.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetrlin2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrlin2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrlin2
StepHypRef Expression
1 mdetrlin2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2724 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2724 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrlin2.p . 2 + = (+g𝑅)
5 mdetrlin2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 mdetrlin2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 mdetrlin2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 20139 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrlin2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
12 mdetrlin2.y . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
136, 4ringacl 20166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
15 mdetrlin2.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1614, 15ifcld 4566 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) ∈ 𝐾)
172, 6, 3, 7, 5, 16matbas2d 22246 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1811, 15ifcld 4566 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) ∈ 𝐾)
192, 6, 3, 7, 5, 18matbas2d 22246 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
2012, 15ifcld 4566 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
212, 6, 3, 7, 5, 20matbas2d 22246 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
22 mdetrlin2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
23 snex 5421 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
2522snssd 4804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
27 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖 ∈ {𝐼})
2826, 27sseldd 3975 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2928, 11syld3an2 1408 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
3028, 12syld3an2 1408 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
31 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
32 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌))
3324, 7, 29, 30, 31, 32offval22 8068 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)))
3433eqcomd 2730 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)))
35 mposnif 7516 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌))
36 mposnif 7516 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
37 mposnif 7516 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)
3836, 37oveq12i 7413 . . . 4 ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌))
3934, 35, 383eqtr4g 2789 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
40 ssid 3996 . . . 4 𝑁𝑁
41 resmpo 7520 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
4225, 40, 41sylancl 585 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
43 resmpo 7520 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
4425, 40, 43sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
45 resmpo 7520 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
4625, 40, 45sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
4744, 46oveq12d 7419 . . 3 (𝜑 → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
4839, 42, 473eqtr4d 2774 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
49 eldifsni 4785 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
5049neneqd 2937 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
51 iffalse 4529 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = 𝑍)
52 iffalse 4529 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) = 𝑍)
5351, 52eqtr4d 2767 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
5450, 53syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
55543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
5655mpoeq3dva 7478 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
57 difss 4123 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
58 resmpo 7520 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
5957, 40, 58mp2an 689 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))
60 resmpo 7520 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
6157, 40, 60mp2an 689 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
6256, 59, 613eqtr4g 2789 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
63 iffalse 4529 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) = 𝑍)
6451, 63eqtr4d 2767 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
6550, 64syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
66653ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
6766mpoeq3dva 7478 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
68 resmpo 7520 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
6957, 40, 68mp2an 689 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
7067, 59, 693eqtr4g 2789 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
711, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 48, 62, 70mdetrlin 22425 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  cdif 3937  wss 3940  ifcif 4520  {csn 4620   × cxp 5664  cres 5668  cfv 6533  (class class class)co 7401  cmpo 7403  f cof 7661  Fincfn 8934  Basecbs 17142  +gcplusg 17195  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   Mat cmat 22228   maDet cmdat 22407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-efmnd 18783  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-symg 19276  df-pmtr 19351  df-psgn 19400  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20578  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-cnfld 21228  df-zring 21301  df-zrh 21357  df-dsmm 21594  df-frlm 21609  df-mat 22229  df-mdet 22408
This theorem is referenced by:  mdetero  22433  madugsum  22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator