MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin2 21956
Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrlin2.p + = (+g𝑅)
mdetrlin2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrlin2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrlin2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrlin2.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetrlin2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrlin2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrlin2
StepHypRef Expression
1 mdetrlin2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2736 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2736 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrlin2.p . 2 + = (+g𝑅)
5 mdetrlin2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 mdetrlin2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 mdetrlin2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 19976 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrlin2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
12 mdetrlin2.y . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
136, 4ringacl 19999 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
15 mdetrlin2.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1614, 15ifcld 4532 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) ∈ 𝐾)
172, 6, 3, 7, 5, 16matbas2d 21772 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1811, 15ifcld 4532 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) ∈ 𝐾)
192, 6, 3, 7, 5, 18matbas2d 21772 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
2012, 15ifcld 4532 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
212, 6, 3, 7, 5, 20matbas2d 21772 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
22 mdetrlin2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
23 snex 5388 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
2522snssd 4769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
27 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖 ∈ {𝐼})
2826, 27sseldd 3945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2928, 11syld3an2 1411 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
3028, 12syld3an2 1411 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
31 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
32 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌))
3324, 7, 29, 30, 31, 32offval22 8020 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)))
3433eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)))
35 mposnif 7472 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌))
36 mposnif 7472 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
37 mposnif 7472 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)
3836, 37oveq12i 7369 . . . 4 ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌))
3934, 35, 383eqtr4g 2801 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
40 ssid 3966 . . . 4 𝑁𝑁
41 resmpo 7476 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
4225, 40, 41sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
43 resmpo 7476 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
4425, 40, 43sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
45 resmpo 7476 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
4625, 40, 45sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
4744, 46oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
4839, 42, 473eqtr4d 2786 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
49 eldifsni 4750 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
5049neneqd 2948 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
51 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = 𝑍)
52 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) = 𝑍)
5351, 52eqtr4d 2779 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
5450, 53syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
55543ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
5655mpoeq3dva 7434 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
57 difss 4091 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
58 resmpo 7476 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
5957, 40, 58mp2an 690 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))
60 resmpo 7476 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
6157, 40, 60mp2an 690 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
6256, 59, 613eqtr4g 2801 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
63 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) = 𝑍)
6451, 63eqtr4d 2779 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
6550, 64syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
66653ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
6766mpoeq3dva 7434 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
68 resmpo 7476 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
6957, 40, 68mp2an 690 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
7067, 59, 693eqtr4g 2801 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
711, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 48, 62, 70mdetrlin 21951 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934
This theorem is referenced by:  mdetero  21959  madugsum  21992
  Copyright terms: Public domain W3C validator