Theorem mdetrlin2 22551

Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrlin2.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrlin2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetrlin2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetrlin2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
mdetrlin2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrlin2.z	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ 𝐾)
mdetrlin2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mdetrlin2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   + ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrlin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrlin2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		mdetrlin2.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		mdetrlin2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		mdetrlin2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		mdetrlin2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8		crngring 20180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mdetrlin2.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
12		mdetrlin2.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
13	6, 4	ringacl 20213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
15		mdetrlin2.z	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ 𝐾)
16	14, 15	ifcld 4526	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) ∈ 𝐾)
17	2, 6, 3, 7, 5, 16	matbas2d 22367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
18	11, 15	ifcld 4526	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) ∈ 𝐾)
19	2, 6, 3, 7, 5, 18	matbas2d 22367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20	12, 15	ifcld 4526	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
21	2, 6, 3, 7, 5, 20	matbas2d 22367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
22		mdetrlin2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
23		snex 5381	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
25	22	snssd 4765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
27		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ {𝐼})
28	26, 27	sseldd 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29	28, 11	syld3an2 1413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
30	28, 12	syld3an2 1413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
31		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
32		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))
33	24, 7, 29, 30, 31, 32	offval22 8030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)))
34	33	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌)))
35		mposnif 7474	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌))
36		mposnif 7474	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
37		mposnif 7474	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌)
38	36, 37	oveq12i 7370	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))
39	34, 35, 38	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
40		ssid 3956	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
41		resmpo 7478	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
42	25, 40, 41	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
43		resmpo 7478	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
44	25, 40, 43	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
45		resmpo 7478	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
46	25, 40, 45	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
47	44, 46	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘f + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
48	39, 42, 47	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
49		eldifsni 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ≠ 𝐼)
50	49	neneqd 2937	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
51		iffalse 4488	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = 𝑍)
52		iffalse 4488	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) = 𝑍)
53	51, 52	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
54	50, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
55	54	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
56	55	mpoeq3dva 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
57		difss 4088	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
58		resmpo 7478	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
59	57, 40, 58	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))
60		resmpo 7478	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
61	57, 40, 60	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
62	56, 59, 61	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
63		iffalse 4488	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) = 𝑍)
64	51, 63	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
65	50, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
66	65	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
67	66	mpoeq3dva 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
68		resmpo 7478	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
69	57, 40, 68	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
70	67, 59, 69	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
71	1, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 48, 62, 70	mdetrlin 22546	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ∘_f cof 7620  Fincfn 8883  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169   Mat cmat 22351   maDet cmdat 22528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-splice 14673  df-reverse 14682  df-s2 14771  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-symg 19299  df-pmtr 19371  df-psgn 19420  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mat 22352  df-mdet 22529

This theorem is referenced by:  mdetero  22554  madugsum  22587