Theorem deg1addle2 26056

Description: If both factors have degree bounded by 𝐿, then the sum of the polynomials also has degree bounded by 𝐿. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1addle2.l1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
deg1addle2.l2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
deg1addle2.l3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
deg1addle2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ 𝐿)

Proof of Theorem deg1addle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22175	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
5		deg1addle.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1addle.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1addle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		deg1addle.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	7, 8	ringacl 20218	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1addle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26036	. . 3 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
14	11, 2, 7	deg1xrcl 26036	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
16	11, 2, 7	deg1xrcl 26036	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
17	5, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
18	15, 17	ifcld 4570	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
19		deg1addle2.l1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
20	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6	deg1addle 26055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
21		deg1addle2.l2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
22		deg1addle2.l3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
23		xrmaxle 13194	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
24	17, 15, 19, 23	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
25	21, 22, 24	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿)
26	13, 18, 19, 20, 25	xrletrd 13173	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11277   ≤ cle 11279  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Ringcrg 20177  Poly₁cpl1 22104   deg₁ cdg1 26005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-cnfld 21284  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-ply1 22109  df-mdeg 26006  df-deg1 26007

This theorem is referenced by:  ply1degltlss  33324  hbtlem2  42613