MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegaddle 26113
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegaddle.p + = (+g𝑌)
mdegaddle.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegaddle.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑌)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐵)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 22029 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹f (+g𝑅)𝐺))
87fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐))
10 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 22018 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1312ffnd 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
151, 10, 2, 11, 6mplelf 22018 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615ffnd 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1918rabex 5339 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
22 fnfvof 7714 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})) → ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
2314, 17, 20, 21, 22syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
249, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
2524adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
26 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
295adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐹𝐵)
30 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3126, 1, 2mdegxrcl 26106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3426, 1, 2mdegxrcl 26106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
356, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3635, 32ifcld 4572 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
38 nn0ssre 12530 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℝ
39 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
4038, 39sstri 3993 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ*
4111, 28tdeglem1 26097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
4342ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℕ0)
4440, 43sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*)
4533, 37, 443jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
4645adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
47 xrmax1 13217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
4832, 35, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
50 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
5149, 50jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
52 xrlelttr 13198 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
5346, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
5426, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53mdeglt 26104 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐹𝑐) = (0g𝑅))
556adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐺𝐵)
5635adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
5756, 37, 443jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
5857adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
59 xrmax2 13218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6032, 35, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6261, 50jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
63 xrlelttr 13198 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
6458, 62, 63sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
6526, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64mdeglt 26104 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐺𝑐) = (0g𝑅))
6654, 65oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)))
67 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
68 ringgrp 20235 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7010, 27ring0cl 20264 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7167, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7210, 3, 27grplid 18985 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7369, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7473adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7566, 74eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)) = (0g𝑅))
7625, 75eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))
7776expr 456 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅)))
7877ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅)))
79 mdegaddle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
801, 79, 67mplringd 22043 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
812, 4ringacl 20275 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
8280, 5, 6, 81syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
8326, 1, 2, 27, 11, 28mdegleb 26103 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))))
8482, 36, 83syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))))
8578, 84mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Fincfn 8985  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Grpcgrp 18951  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mDeg cmdg 26092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mdeg 26094
This theorem is referenced by:  deg1addle  26140
  Copyright terms: Public domain W3C validator