MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegaddle 25345
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegaddle.p + = (+g𝑌)
mdegaddle.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegaddle.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑌)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐵)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 21319 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹f (+g𝑅)𝐺))
87fveq1d 6827 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐))
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐))
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 21310 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1312ffnd 6652 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
151, 10, 2, 11, 6mplelf 21310 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615ffnd 6652 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ovex 7370 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1918rabex 5276 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
22 fnfvof 7612 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})) → ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
2314, 17, 20, 21, 22syl22anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹f (+g𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
249, 23eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
2524adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
26 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
295adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐹𝐵)
30 simprl 768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3126, 1, 2mdegxrcl 25338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3426, 1, 2mdegxrcl 25338 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
356, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3635, 32ifcld 4519 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
38 nn0ssre 12338 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℝ
39 ressxr 11120 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
4038, 39sstri 3941 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ*
4111, 28tdeglem1 25326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
4342ffvelcdmda 7017 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℕ0)
4440, 43sselid 3930 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*)
4533, 37, 443jca 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
4645adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
47 xrmax1 13010 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
4832, 35, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
50 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
5149, 50jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
52 xrlelttr 12991 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
5346, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
5426, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53mdeglt 25336 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐹𝑐) = (0g𝑅))
556adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐺𝐵)
5635adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
5756, 37, 443jca 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
5857adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
59 xrmax2 13011 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6032, 35, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6261, 50jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
63 xrlelttr 12991 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
6458, 62, 63sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
6526, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64mdeglt 25336 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐺𝑐) = (0g𝑅))
6654, 65oveq12d 7355 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)))
67 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
68 ringgrp 19883 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7010, 27ring0cl 19903 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7167, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7210, 3, 27grplid 18705 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7369, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7473adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7566, 74eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)) = (0g𝑅))
7625, 75eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))
7776expr 457 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅)))
7877ralrimiva 3139 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅)))
79 mdegaddle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
801mplring 21330 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
8179, 67, 80syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
822, 4ringacl 19912 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
8381, 5, 6, 82syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
8426, 1, 2, 27, 11, 28mdegleb 25335 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))))
8583, 36, 84syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))))
8678, 85mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  {crab 3403  Vcvv 3441  ifcif 4473   class class class wbr 5092  cmpt 5175  ccnv 5619  cima 5623   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  f cof 7593  m cmap 8686  Fincfn 8804  cr 10971  *cxr 11109   < clt 11110  cle 11111  cn 12074  0cn0 12334  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  0gc0g 17247   Σg cgsu 17248  Grpcgrp 18673  Ringcrg 19878  fldccnfld 20703   mPoly cmpl 21215   mDeg cmdg 25321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-ofr 7596  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-cring 19881  df-subrg 20127  df-cnfld 20704  df-psr 21218  df-mpl 21220  df-mdeg 25323
This theorem is referenced by:  deg1addle  25372
  Copyright terms: Public domain W3C validator