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Theorem mdegaddle 25591
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
mdegaddle.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Œ)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 21567 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
87fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
98adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 21556 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1312ffnd 6718 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
151, 10, 2, 11, 6mplelf 21556 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1615ffnd 6718 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ovex 7441 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918rabex 5332 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
21 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
22 fnfvof 7686 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ ({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2314, 17, 20, 21, 22syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
249, 23eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2524adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
26 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
28 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
295adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
30 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3126, 1, 2mdegxrcl 25584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3426, 1, 2mdegxrcl 25584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
356, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
3635, 32ifcld 4574 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
38 nn0ssre 12475 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 βŠ† ℝ
39 ressxr 11257 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
4038, 39sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† ℝ*
4111, 28tdeglem1 25572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
4342ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ β„•0)
4440, 43sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*)
4533, 37, 443jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
4645adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
47 xrmax1 13153 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4832, 35, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
50 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5149, 50jca 512 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
52 xrlelttr 13134 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
5346, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5426, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53mdeglt 25582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
556adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
5635adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5756, 37, 443jca 1128 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
5857adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
59 xrmax2 13154 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6032, 35, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6261, 50jca 512 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
63 xrlelttr 13134 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
6458, 62, 63sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
6526, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64mdeglt 25582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
6654, 65oveq12d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
67 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
68 ringgrp 20060 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7010, 27ring0cl 20083 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7167, 70syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7210, 3, 27grplid 18851 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7369, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7473adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7566, 74eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘…))
7625, 75eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
7776expr 457 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
7877ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
79 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
801mplring 21577 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
8179, 67, 80syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
822, 4ringacl 20094 . . . 4 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8381, 5, 6, 82syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8426, 1, 2, 27, 11, 28mdegleb 25581 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8583, 36, 84syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8678, 85mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Grpcgrp 18818  Ringcrg 20055  β„‚fldccnfld 20943   mPoly cmpl 21458   mDeg cmdg 25567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-cnfld 20944  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-mdeg 25569
This theorem is referenced by:  deg1addle  25618
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