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Theorem mdegaddle 25462
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
mdegaddle.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Œ)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 21436 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
87fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 21427 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1312ffnd 6673 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1413adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
151, 10, 2, 11, 6mplelf 21427 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1615ffnd 6673 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918rabex 5293 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
21 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
22 fnfvof 7638 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ ({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2314, 17, 20, 21, 22syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
249, 23eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2524adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
26 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
295adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
30 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3126, 1, 2mdegxrcl 25455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3426, 1, 2mdegxrcl 25455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
356, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
3635, 32ifcld 4536 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
38 nn0ssre 12425 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 βŠ† ℝ
39 ressxr 11207 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
4038, 39sstri 3957 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† ℝ*
4111, 28tdeglem1 25443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
4342ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ β„•0)
4440, 43sselid 3946 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*)
4533, 37, 443jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
4645adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
47 xrmax1 13103 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4832, 35, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4948adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
50 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5149, 50jca 513 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
52 xrlelttr 13084 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
5346, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5426, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53mdeglt 25453 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
556adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
5635adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5756, 37, 443jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
5857adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
59 xrmax2 13104 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6032, 35, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6261, 50jca 513 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
63 xrlelttr 13084 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
6458, 62, 63sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
6526, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64mdeglt 25453 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
6654, 65oveq12d 7379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
67 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
68 ringgrp 19977 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7010, 27ring0cl 19998 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7167, 70syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7210, 3, 27grplid 18788 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7369, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7473adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7566, 74eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘…))
7625, 75eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
7776expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
7877ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
79 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
801mplring 21447 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
8179, 67, 80syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
822, 4ringacl 20007 . . . 4 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8381, 5, 6, 82syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8426, 1, 2, 27, 11, 28mdegleb 25452 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8583, 36, 84syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8678, 85mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972  β„‚fldccnfld 20819   mPoly cmpl 21331   mDeg cmdg 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-mdeg 25440
This theorem is referenced by:  deg1addle  25489
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