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Theorem mdegaddle 25965
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
mdegaddle.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Œ)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 21910 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
87fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
10 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 21899 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1312ffnd 6712 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
151, 10, 2, 11, 6mplelf 21899 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1615ffnd 6712 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918rabex 5325 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
22 fnfvof 7684 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ ({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2314, 17, 20, 21, 22syl22anc 836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
249, 23eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2524adantrr 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
26 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
28 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
295adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
30 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3126, 1, 2mdegxrcl 25958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3426, 1, 2mdegxrcl 25958 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
356, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
3635, 32ifcld 4569 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
38 nn0ssre 12480 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 βŠ† ℝ
39 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
4038, 39sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† ℝ*
4111, 28tdeglem1 25946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
4342ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ β„•0)
4440, 43sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*)
4533, 37, 443jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
4645adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
47 xrmax1 13160 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4832, 35, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
50 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5149, 50jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
52 xrlelttr 13141 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
5346, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5426, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53mdeglt 25956 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
556adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
5635adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5756, 37, 443jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
5857adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
59 xrmax2 13161 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6032, 35, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6261, 50jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
63 xrlelttr 13141 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
6458, 62, 63sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
6526, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64mdeglt 25956 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
6654, 65oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
67 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
68 ringgrp 20143 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7010, 27ring0cl 20166 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7167, 70syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7210, 3, 27grplid 18897 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7369, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7473adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7566, 74eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘…))
7625, 75eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
7776expr 456 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
7877ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
79 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
801mplring 21920 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
8179, 67, 80syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
822, 4ringacl 20177 . . . 4 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8381, 5, 6, 82syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8426, 1, 2, 27, 11, 28mdegleb 25955 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8583, 36, 84syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8678, 85mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Grpcgrp 18863  Ringcrg 20138  β„‚fldccnfld 21240   mPoly cmpl 21800   mDeg cmdg 25941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-mdeg 25943
This theorem is referenced by:  deg1addle  25992
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