Theorem mdegaddle 26004

Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegaddle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
mdegaddle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mdegaddle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegaddle	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem mdegaddle

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegaddle.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mdegaddle.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑌)
5		mdegaddle.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		mdegaddle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mpladd 21944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
8	7	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐))
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐))
10		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
12	1, 10, 2, 11, 5	mplelf 21933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13	12	ffnd 6652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
15	1, 10, 2, 11, 6	mplelf 21933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18		ovex 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	rabex 5277	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
22		fnfvof 7627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
23	14, 17, 20, 21, 22	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
24	9, 23	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
25	24	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
26		mdegaddle.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
29	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
30		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
31	26, 1, 2	mdegxrcl 25997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
32	5, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
34	26, 1, 2	mdegxrcl 25997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
35	6, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
36	35, 32	ifcld 4522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
38		nn0ssre 12382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
39		ressxr 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
40	38, 39	sstri 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
41	11, 28	tdeglem1 25988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
43	42	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℕ0)
44	40, 43	sselid 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*)
45	33, 37, 44	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
46	45	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
47		xrmax1 13071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
48	32, 35, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
50		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
51	49, 50	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
52		xrlelttr 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷‘𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
53	46, 51, 52	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
54	26, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53	mdeglt 25995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐹‘𝑐) = (0g‘𝑅))
55	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
56	35	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
57	56, 37, 44	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
58	57	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
59		xrmax2 13072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
60	32, 35, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
62	61, 50	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
63		xrlelttr 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
64	58, 62, 63	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
65	26, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64	mdeglt 25995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐺‘𝑐) = (0g‘𝑅))
66	54, 65	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
67		mdegaddle.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
68		ringgrp 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
70	10, 27	ring0cl 20183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
72	10, 3, 27	grplid 18877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
73	69, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
74	73	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
75	66, 74	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)) = (0g‘𝑅))
76	25, 75	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅))
77	76	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
78	77	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
79		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
80	1, 79, 67	mplringd 21958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
81	2, 4	ringacl 20194	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
82	80, 5, 6, 81	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
83	26, 1, 2, 27, 11, 28	mdegleb 25994	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅))))
84	82, 36, 83	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅))))
85	78, 84	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436  ifcif 4475   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℝcr 11002  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340   Σ_g cgsu 17341  Grpcgrp 18843  Ringcrg 20149  ℂ_fldccnfld 21289   mPoly cmpl 21841   mDeg cmdg 25983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-cnfld 21290  df-psr 21844  df-mpl 21846  df-mdeg 25985

This theorem is referenced by:  deg1addle  26031