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Theorem mdegaddle 26026
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
mdegaddle.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
mdegaddle.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Œ)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 21956 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺))
87fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
98adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘))
10 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 21945 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1312ffnd 6716 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1413adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
151, 10, 2, 11, 6mplelf 21945 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1615ffnd 6716 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
1716adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ovex 7447 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918rabex 5327 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
21 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
22 fnfvof 7697 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ ({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2314, 17, 20, 21, 22syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
249, 23eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
2524adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)))
26 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
295adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
30 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3126, 1, 2mdegxrcl 26019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3426, 1, 2mdegxrcl 26019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
356, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
3635, 32ifcld 4568 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
38 nn0ssre 12504 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 βŠ† ℝ
39 ressxr 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
4038, 39sstri 3981 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† ℝ*
4111, 28tdeglem1 26007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
4342ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ β„•0)
4440, 43sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*)
4533, 37, 443jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
4645adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
47 xrmax1 13184 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4832, 35, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
4948adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
50 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5149, 50jca 510 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
52 xrlelttr 13165 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΉ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
5346, 51, 52sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΉ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
5426, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53mdeglt 26017 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
556adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
5635adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5756, 37, 443jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
5857adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*))
59 xrmax2 13185 . . . . . . . . . . . 12 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6032, 35, 59syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6160adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
6261, 50jca 510 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
63 xrlelttr 13165 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜πΊ) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘)))
6458, 62, 63sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))
6526, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64mdeglt 26017 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ (πΊβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
6654, 65oveq12d 7432 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
67 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
68 ringgrp 20180 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7010, 27ring0cl 20205 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7167, 70syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7210, 3, 27grplid 18926 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7369, 71, 72syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7473adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7566, 74eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘…))
7625, 75eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘))) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
7776expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
7877ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…)))
79 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
801mplring 21966 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
8179, 67, 80syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
822, 4ringacl 20216 . . . 4 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8381, 5, 6, 82syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
8426, 1, 2, 27, 11, 28mdegleb 26016 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8583, 36, 84syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘) β†’ ((𝐹 + 𝐺)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))))
8678, 85mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 + 𝐺)) ≀ if((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΊ), (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  ifcif 4522   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5669   β€œ cima 5673   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∘f cof 7678   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960  β„cr 11135  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  Grpcgrp 18892  Ringcrg 20175  β„‚fldccnfld 21281   mPoly cmpl 21841   mDeg cmdg 26002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-cnfld 21282  df-psr 21844  df-mpl 21846  df-mdeg 26004
This theorem is referenced by:  deg1addle  26053
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