Theorem mdegaddle 26397

Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegaddle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
mdegaddle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mdegaddle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegaddle	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem mdegaddle

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegaddle.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mdegaddle.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑌)
5		mdegaddle.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		mdegaddle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mpladd 22321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
8	7	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐))
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐))
10		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
12	1, 10, 2, 11, 5	mplelf 22310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13	12	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
15	1, 10, 2, 11, 6	mplelf 22310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	rabex 5299	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
22		fnfvof 7710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
23	14, 17, 20, 21, 22	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
24	9, 23	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
25	24	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)))
26		mdegaddle.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
27		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
29	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
30		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
31	26, 1, 2	mdegxrcl 26390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
32	5, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
34	26, 1, 2	mdegxrcl 26390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
35	6, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
36	35, 32	ifcld 4528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
38		nn0ssre 12613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
39		ressxr 11356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
40	38, 39	sstri 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
41	11, 28	tdeglem1 26381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
43	42	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℕ0)
44	40, 43	sselid 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*)
45	33, 37, 44	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
46	45	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
47		xrmax1 13308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
48	32, 35, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
50		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
51	49, 50	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
52		xrlelttr 13288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐹) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷‘𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
53	46, 51, 52	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
54	26, 1, 2, 27, 11, 28, 29, 30, 53	mdeglt 26388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐹‘𝑐) = (0g‘𝑅))
55	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
56	35	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
57	56, 37, 44	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
58	57	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
59		xrmax2 13309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
60	32, 35, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
62	61, 50	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
63		xrlelttr 13288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘𝐺) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
64	58, 62, 63	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
65	26, 1, 2, 27, 11, 28, 55, 30, 64	mdeglt 26388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐺‘𝑐) = (0g‘𝑅))
66	54, 65	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
67		mdegaddle.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
68		ringgrp 20469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
70	10, 27	ring0cl 20501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71	67, 70	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
72	10, 3, 27	grplid 19183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
73	69, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
74	73	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
75	66, 74	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹‘𝑐)(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑐)) = (0g‘𝑅))
76	25, 75	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅))
77	76	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
78	77	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
79		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
80	1, 79, 67	mplringd 22335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
81	2, 4	ringacl 20512	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
82	80, 5, 6, 81	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
83	26, 1, 2, 27, 11, 28	mdegleb 26387	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅))))
84	82, 36, 83	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g‘𝑅))))
85	78, 84	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8850  Fincfn 8976  ℝcr 11202  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615   Σ_g cgsu 17616  Grpcgrp 19149  Ringcrg 20464  ℂ_fldccnfld 21683   mPoly cmpl 22219   mDeg cmdg 26376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-cnfld 21684  df-psr 22222  df-mpl 22224  df-mdeg 26378

This theorem is used by:  deg1addle  26424