Theorem cznrng 49452

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznrng	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		cznrng.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3	2	zncrng 21856	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 20478	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		cznrng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8	6, 7	ring0cl 20502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
9		eleq1a 2855	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
11	5, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
12	4, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
13	12	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		cznrng.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
15	2, 6, 14	cznabel 49451	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
16	15	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
18	2, 6, 14	cznrnglem 49450	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
19	17, 18	mgpbas 20371	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
20	14	fveq2i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
21	2	fvexi 6900	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22	6	fvexi 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22, 22	mpoex 8093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
24		mulridx 17472	. . . . . . . . 9 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
25	24	setsid 17391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
26	21, 23, 25	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
27	20, 26	mgpplusg 20370	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
28	27	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
29		ne0i 4286	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
30	29	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	19, 28, 30, 31	copissgrp 49359	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp)
33		oveq1 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
34	33	ad3antlr 744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
35	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
36		ringmnd 20476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
39	38	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
41		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
42	6, 41, 7	mndlid 18950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
43	40, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
44	34, 43	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
45		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
46		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
47		simpr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
48		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
50	45, 46, 47, 48, 49	ovmpod 7573	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) = 𝐶)
51		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
52		simpr3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
53	45, 51, 47, 52, 49	ovmpod 7573	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
54	50, 53	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
55		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = (𝑏(+g‘𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
56	35	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
57	6, 41	ringacl 20513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
58	56, 48, 52, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
59	45, 55, 47, 58, 49	ovmpod 7573	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = 𝐶)
60	44, 54, 59	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
61		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
62	45, 61, 48, 52, 49	ovmpod 7573	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
63	53, 62	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
64		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
65	6, 41	ringacl 20513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
66	56, 47, 48, 65	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
67	45, 64, 66, 52, 49	ovmpod 7573	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
68	44, 63, 67	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
69	60, 68	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
70	69	ralrimivvva 3208	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
71	16, 32, 70	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
72	13, 71	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
73		plusgid 17461	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
74		plusgndxnmulrndx 17474	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
75	73, 74	setsnid 17392	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
76	14	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
77	75, 76	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑋)
78	14	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
79	78	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
80	26, 79	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘𝑋)
81	18, 17, 77, 80	isrng 20382	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
82	72, 81	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ⟨cop 4834  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610   sSet csts 17347  ndxcnx 17377  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  Smgrpcsgrp 18913  Mndcmnd 18929  Abelcabl 20001  mulGrpcmgp 20366  Rngcrng 20380  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  ℤ/nℤczn 21814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-0g 17618  df-imas 17686  df-qus 17687  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-nsg 19340  df-eqg 19341  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-2idl 21549  df-cnfld 21685  df-zring 21759  df-zn 21818

This theorem is used by: (None)