Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznrng 44154
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznrng ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 cznrng.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32zncrng 20619 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5 crngring 19237 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 cznrng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑌)
86, 7ring0cl 19248 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 0𝐵)
9 eleq1a 2905 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
124, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
1312imp 407 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶𝐵)
14 cznrng.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
152, 6, 14cznabel 44153 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
1615adantlr 711 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17 eqid 2818 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
182, 6, 14cznrnglem 44152 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑋)
1917, 18mgpbas 19174 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
2014fveq2i 6666 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
212fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
226fvexi 6677 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2322, 22mpoex 7766 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
24 mulrid 16604 . . . . . . . . 9 .r = Slot (.r‘ndx)
2524setsid 16526 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
2621, 23, 25mp2an 688 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
2720, 26mgpplusg 19172 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
2827eqcomi 2827 . . . . 5 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
29 ne0i 4297 . . . . . 6 (𝐶𝐵𝐵 ≠ ∅)
3029adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
31 simpr 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
3219, 28, 30, 31copissgrp 43952 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp)
33 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
3433ad3antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
354, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
36 ringmnd 19235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
3938anim1i 614 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
4039adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
41 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (+g𝑌) = (+g𝑌)
426, 41, 7mndlid 17919 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4434, 43eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
45 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶))
46 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
47 simpr1 1186 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑎𝐵)
48 simpr2 1187 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑏𝐵)
4931adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐶𝐵)
5045, 46, 47, 48, 49ovmpod 7291 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) = 𝐶)
51 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
52 simpr3 1188 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
5345, 51, 47, 52, 49ovmpod 7291 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
5450, 53oveq12d 7163 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
55 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = (𝑏(+g𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
5635ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
576, 41ringacl 19257 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
5856, 48, 52, 57syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
5945, 55, 47, 58, 49ovmpod 7291 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = 𝐶)
6044, 54, 593eqtr4rd 2864 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
61 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
6245, 61, 48, 52, 49ovmpod 7291 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6353, 62oveq12d 7163 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
64 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
656, 41ringacl 19257 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6656, 47, 48, 65syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6745, 64, 66, 52, 49ovmpod 7291 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6844, 63, 673eqtr4rd 2864 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
6960, 68jca 512 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7069ralrimivvva 3189 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7116, 32, 703jca 1120 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
7213, 71mpdan 683 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
73 plusgid 16584 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
74 plusgndxnmulrndx 16605 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7573, 74setsnid 16527 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7614fveq2i 6666 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7775, 76eqtr4i 2844 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑋)
7814eqcomi 2827 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
7978fveq2i 6666 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
8026, 79eqtri 2841 . . 3 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r𝑋)
8118, 17, 77, 80isrng 44075 . 2 (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
8272, 81sylibr 235 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  Vcvv 3492  c0 4288  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cn 11626  0cn0 11885  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  Smgrpcsgrp 17888  Mndcmnd 17899  Abelcabl 18836  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  ℤ/nczn 20578  Rngcrng 44073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zn 20582  df-rng0 44074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator