Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznrng 46943
Description: The ring constructed from a β„€/nβ„€ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
cznrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
cznrng.x 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
cznrng.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cznrng ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12485 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 cznrng.y . . . . . . 7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
32zncrng 21321 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ CRing)
5 crngring 20141 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
6 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
7 cznrng.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
86, 7ring0cl 20157 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐡)
9 eleq1a 2826 . . . . . . 7 ( 0 ∈ 𝐡 β†’ (𝐢 = 0 β†’ 𝐢 ∈ 𝐡))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (𝐢 = 0 β†’ 𝐢 ∈ 𝐡))
115, 10syl 17 . . . . 5 (π‘Œ ∈ CRing β†’ (𝐢 = 0 β†’ 𝐢 ∈ 𝐡))
124, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐢 = 0 β†’ 𝐢 ∈ 𝐡))
1312imp 405 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
14 cznrng.x . . . . . 6 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
152, 6, 14cznabel 46942 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Abel)
1615adantlr 711 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Abel)
17 eqid 2730 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜π‘‹)
182, 6, 14cznrnglem 46941 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‹)
1917, 18mgpbas 20036 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
2014fveq2i 6895 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
212fvexi 6906 . . . . . . . 8 π‘Œ ∈ V
226fvexi 6906 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ V
2322, 22mpoex 8070 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V
24 mulridx 17245 . . . . . . . . 9 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
2524setsid 17147 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)))
2621, 23, 25mp2an 688 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
2720, 26mgpplusg 20034 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
2827eqcomi 2739 . . . . 5 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
29 ne0i 4335 . . . . . 6 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
3029adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
31 simpr 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
3219, 28, 30, 31copissgrp 46846 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Smgrp)
33 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (𝐢 = 0 β†’ (𝐢(+gβ€˜π‘Œ)𝐢) = ( 0 (+gβ€˜π‘Œ)𝐢))
3433ad3antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐢(+gβ€˜π‘Œ)𝐢) = ( 0 (+gβ€˜π‘Œ)𝐢))
354, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ Ring)
36 ringmnd 20139 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
3938anim1i 613 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝐢 ∈ 𝐡))
4039adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝐢 ∈ 𝐡))
41 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
426, 41, 7mndlid 18681 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Œ)𝐢) = 𝐢)
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Œ)𝐢) = 𝐢)
4434, 43eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐢(+gβ€˜π‘Œ)𝐢) = 𝐢)
45 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢))
46 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏)) β†’ 𝐢 = 𝐢)
47 simpr1 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
48 simpr2 1193 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
4931adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
5045, 46, 47, 48, 49ovmpod 7564 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏) = 𝐢)
51 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑐)) β†’ 𝐢 = 𝐢)
52 simpr3 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
5345, 51, 47, 52, 49ovmpod 7564 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = 𝐢)
5450, 53oveq12d 7431 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) = (𝐢(+gβ€˜π‘Œ)𝐢))
55 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐))) β†’ 𝐢 = 𝐢)
5635ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
576, 41ringacl 20168 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) ∈ 𝐡)
5856, 48, 52, 57syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) ∈ 𝐡)
5945, 55, 47, 58, 49ovmpod 7564 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = 𝐢)
6044, 54, 593eqtr4rd 2781 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)))
61 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐)) β†’ 𝐢 = 𝐢)
6245, 61, 48, 52, 49ovmpod 7564 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = 𝐢)
6353, 62oveq12d 7431 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) = (𝐢(+gβ€˜π‘Œ)𝐢))
64 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) β†’ 𝐢 = 𝐢)
656, 41ringacl 20168 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
6656, 47, 48, 65syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
6745, 64, 66, 52, 49ovmpod 7564 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = 𝐢)
6844, 63, 673eqtr4rd 2781 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)))
6960, 68jca 510 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐))))
7069ralrimivvva 3201 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐))))
7116, 32, 703jca 1126 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Smgrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)))))
7213, 71mpdan 683 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) β†’ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Smgrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)))))
73 plusgid 17230 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
74 plusgndxnmulrndx 17248 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
7573, 74setsnid 17148 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
7614fveq2i 6895 . . . 4 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
7775, 76eqtr4i 2761 . . 3 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘‹)
7814eqcomi 2739 . . . . 5 (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩) = 𝑋
7978fveq2i 6895 . . . 4 (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)) = (.rβ€˜π‘‹)
8026, 79eqtri 2758 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜π‘‹)
8118, 17, 77, 80isrng 20050 . 2 (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Smgrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐) = ((π‘Ž(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)𝑐)))))
8272, 81sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐢 = 0 ) β†’ 𝑋 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  β„•cn 12218  β„•0cn0 12478   sSet csts 17102  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  0gc0g 17391  Smgrpcsgrp 18645  Mndcmnd 18661  Abelcabl 19692  mulGrpcmgp 20030  Rngcrng 20048  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  β„€/nβ„€czn 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-nsg 19042  df-eqg 19043  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-rsp 20935  df-2idl 21008  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zn 21277
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator