Theorem cznrng 46243

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznrng	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		cznrng.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3	2	zncrng 20951	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 19976	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		cznrng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8	6, 7	ring0cl 19990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
9		eleq1a 2833	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
11	5, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
13	12	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		cznrng.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
15	2, 6, 14	cznabel 46242	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
16	15	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
18	2, 6, 14	cznrnglem 46241	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
19	17, 18	mgpbas 19902	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
20	14	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
21	2	fvexi 6856	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22	6	fvexi 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22, 22	mpoex 8012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
24		mulrid 17175	. . . . . . . . 9 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
25	24	setsid 17080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
26	21, 23, 25	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
27	20, 26	mgpplusg 19900	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
28	27	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
29		ne0i 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
31		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	19, 28, 30, 31	copissgrp 46092	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp)
33		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
34	33	ad3antlr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
35	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
36		ringmnd 19974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
39	38	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
42	6, 41, 7	mndlid 18576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
44	34, 43	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
45		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
46		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
47		simpr1 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
48		simpr2 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
50	45, 46, 47, 48, 49	ovmpod 7507	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) = 𝐶)
51		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
52		simpr3 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
53	45, 51, 47, 52, 49	ovmpod 7507	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
54	50, 53	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
55		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = (𝑏(+g‘𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
56	35	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
57	6, 41	ringacl 19999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
58	56, 48, 52, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
59	45, 55, 47, 58, 49	ovmpod 7507	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = 𝐶)
60	44, 54, 59	3eqtr4rd 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
61		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
62	45, 61, 48, 52, 49	ovmpod 7507	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
63	53, 62	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
64		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
65	6, 41	ringacl 19999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
66	56, 47, 48, 65	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
67	45, 64, 66, 52, 49	ovmpod 7507	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
68	44, 63, 67	3eqtr4rd 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
69	60, 68	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
70	69	ralrimivvva 3200	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
71	16, 32, 70	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
72	13, 71	mpdan 685	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
73		plusgid 17160	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
74		plusgndxnmulrndx 17178	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
75	73, 74	setsnid 17081	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
76	14	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
77	75, 76	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑋)
78	14	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
79	78	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
80	26, 79	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘𝑋)
81	18, 17, 77, 80	isrng 46164	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
82	72, 81	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ⟨cop 4592  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413   sSet csts 17035  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321  Smgrpcsgrp 18545  Mndcmnd 18556  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℤ/nℤczn 20903  Rngcrng 46162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zn 20907  df-rng 46163

This theorem is referenced by: (None)