Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznrng 46243
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznrng ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12420 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 cznrng.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32zncrng 20951 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5 crngring 19976 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 cznrng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑌)
86, 7ring0cl 19990 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 0𝐵)
9 eleq1a 2833 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
124, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
1312imp 407 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶𝐵)
14 cznrng.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
152, 6, 14cznabel 46242 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
1615adantlr 713 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17 eqid 2736 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
182, 6, 14cznrnglem 46241 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑋)
1917, 18mgpbas 19902 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
2014fveq2i 6845 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
212fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
226fvexi 6856 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2322, 22mpoex 8012 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
24 mulrid 17175 . . . . . . . . 9 .r = Slot (.r‘ndx)
2524setsid 17080 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
2621, 23, 25mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
2720, 26mgpplusg 19900 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
2827eqcomi 2745 . . . . 5 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
29 ne0i 4294 . . . . . 6 (𝐶𝐵𝐵 ≠ ∅)
3029adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
31 simpr 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
3219, 28, 30, 31copissgrp 46092 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp)
33 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
3433ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
354, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
36 ringmnd 19974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
3938anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
4039adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑌) = (+g𝑌)
426, 41, 7mndlid 18576 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4434, 43eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
45 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶))
46 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
47 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑎𝐵)
48 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑏𝐵)
4931adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐶𝐵)
5045, 46, 47, 48, 49ovmpod 7507 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) = 𝐶)
51 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
52 simpr3 1196 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
5345, 51, 47, 52, 49ovmpod 7507 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
5450, 53oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
55 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = (𝑏(+g𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
5635ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
576, 41ringacl 19999 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
5856, 48, 52, 57syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
5945, 55, 47, 58, 49ovmpod 7507 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = 𝐶)
6044, 54, 593eqtr4rd 2787 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
61 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
6245, 61, 48, 52, 49ovmpod 7507 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6353, 62oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
64 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
656, 41ringacl 19999 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6656, 47, 48, 65syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6745, 64, 66, 52, 49ovmpod 7507 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6844, 63, 673eqtr4rd 2787 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
6960, 68jca 512 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7069ralrimivvva 3200 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7116, 32, 703jca 1128 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
7213, 71mpdan 685 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
73 plusgid 17160 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
74 plusgndxnmulrndx 17178 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7573, 74setsnid 17081 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7614fveq2i 6845 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7775, 76eqtr4i 2767 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑋)
7814eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
7978fveq2i 6845 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
8026, 79eqtri 2764 . . 3 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r𝑋)
8118, 17, 77, 80isrng 46164 . 2 (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
8272, 81sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  c0 4282  cop 4592  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cn 12153  0cn0 12413   sSet csts 17035  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Smgrpcsgrp 18545  Mndcmnd 18556  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℤ/nczn 20903  Rngcrng 46162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zn 20907  df-rng 46163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator