Theorem cznrng 48216

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznrng	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		cznrng.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3	2	zncrng 21510	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 20210	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		cznrng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8	6, 7	ring0cl 20232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
9		eleq1a 2830	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
11	5, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		cznrng.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
15	2, 6, 14	cznabel 48215	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
16	15	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
18	2, 6, 14	cznrnglem 48214	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
19	17, 18	mgpbas 20110	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
20	14	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
21	2	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22	6	fvexi 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22, 22	mpoex 8083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
24		mulridx 17314	. . . . . . . . 9 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
25	24	setsid 17231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
26	21, 23, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
27	20, 26	mgpplusg 20109	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
28	27	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
29		ne0i 4321	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	19, 28, 30, 31	copissgrp 48123	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp)
33		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
34	33	ad3antlr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
35	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
36		ringmnd 20208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
39	38	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
42	6, 41, 7	mndlid 18737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
44	34, 43	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
45		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
46		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
47		simpr1 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
48		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
50	45, 46, 47, 48, 49	ovmpod 7564	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) = 𝐶)
51		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
52		simpr3 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
53	45, 51, 47, 52, 49	ovmpod 7564	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
54	50, 53	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
55		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = (𝑏(+g‘𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
56	35	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
57	6, 41	ringacl 20243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
58	56, 48, 52, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
59	45, 55, 47, 58, 49	ovmpod 7564	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = 𝐶)
60	44, 54, 59	3eqtr4rd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
61		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
62	45, 61, 48, 52, 49	ovmpod 7564	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
63	53, 62	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
64		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
65	6, 41	ringacl 20243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
66	56, 47, 48, 65	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
67	45, 64, 66, 52, 49	ovmpod 7564	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
68	44, 63, 67	3eqtr4rd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
69	60, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
70	69	ralrimivvva 3191	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
71	16, 32, 70	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
72	13, 71	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
73		plusgid 17303	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
74		plusgndxnmulrndx 17316	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
75	73, 74	setsnid 17232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
76	14	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
77	75, 76	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑋)
78	14	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
79	78	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
80	26, 79	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘𝑋)
81	18, 17, 77, 80	isrng 20119	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
82	72, 81	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3464  ∅c0 4313  ⟨cop 4612  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506   sSet csts 17187  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Smgrpcsgrp 18701  Mndcmnd 18717  Abelcabl 19767  mulGrpcmgp 20105  Rngcrng 20117  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  ℤ/nℤczn 21468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-2idl 21216  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zn 21472

This theorem is referenced by: (None)