Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznrng 48105
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznrng ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12531 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 cznrng.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32zncrng 21581 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5 crngring 20263 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 cznrng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑌)
86, 7ring0cl 20281 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 0𝐵)
9 eleq1a 2834 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
124, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
1312imp 406 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶𝐵)
14 cznrng.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
152, 6, 14cznabel 48104 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
1615adantlr 715 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17 eqid 2735 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
182, 6, 14cznrnglem 48103 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑋)
1917, 18mgpbas 20158 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
2014fveq2i 6910 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
212fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
226fvexi 6921 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2322, 22mpoex 8103 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
24 mulridx 17340 . . . . . . . . 9 .r = Slot (.r‘ndx)
2524setsid 17242 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
2621, 23, 25mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
2720, 26mgpplusg 20156 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
2827eqcomi 2744 . . . . 5 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
29 ne0i 4347 . . . . . 6 (𝐶𝐵𝐵 ≠ ∅)
3029adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
31 simpr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
3219, 28, 30, 31copissgrp 48012 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp)
33 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
3433ad3antlr 731 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
354, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
36 ringmnd 20261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
3938anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
41 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝑌) = (+g𝑌)
426, 41, 7mndlid 18780 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4434, 43eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
45 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶))
46 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
47 simpr1 1193 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑎𝐵)
48 simpr2 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑏𝐵)
4931adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐶𝐵)
5045, 46, 47, 48, 49ovmpod 7585 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) = 𝐶)
51 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
52 simpr3 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
5345, 51, 47, 52, 49ovmpod 7585 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
5450, 53oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
55 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = (𝑏(+g𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
5635ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
576, 41ringacl 20292 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
5856, 48, 52, 57syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
5945, 55, 47, 58, 49ovmpod 7585 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = 𝐶)
6044, 54, 593eqtr4rd 2786 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
61 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
6245, 61, 48, 52, 49ovmpod 7585 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6353, 62oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
64 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
656, 41ringacl 20292 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6656, 47, 48, 65syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6745, 64, 66, 52, 49ovmpod 7585 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6844, 63, 673eqtr4rd 2786 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
6960, 68jca 511 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7069ralrimivvva 3203 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7116, 32, 703jca 1127 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
7213, 71mpdan 687 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
73 plusgid 17325 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
74 plusgndxnmulrndx 17343 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7573, 74setsnid 17243 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7614fveq2i 6910 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7775, 76eqtr4i 2766 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑋)
7814eqcomi 2744 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
7978fveq2i 6910 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
8026, 79eqtri 2763 . . 3 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r𝑋)
8118, 17, 77, 80isrng 20172 . 2 (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
8272, 81sylibr 234 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cn 12264  0cn0 12524   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Smgrpcsgrp 18744  Mndcmnd 18760  Abelcabl 19814  mulGrpcmgp 20152  Rngcrng 20170  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator