Theorem frobrhm 21500

Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frobrhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frobrhm.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
frobrhm.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
frobrhm.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
frobrhm.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
frobrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frobrhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frobrhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		frobrhm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crngringd 20149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		frobrhm.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → 𝑥 = (1r‘𝑅))
8	7	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)))
9		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12		frobrhm.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13		prmnn 16603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	9, 1	mgpbas 20048	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		frobrhm.3	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
18	9, 2	ringidval 20086	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulgnn0z 18998	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	11, 15, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
22	8, 21	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (1r‘𝑅))
23	1, 2	ringidcl 20168	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
24	5, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
25	6, 22, 24, 24	fvmptd2 6942	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26	9	crngmgp 20144	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
27	4, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
30		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑖 ∈ 𝐵)
31		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
32	9, 3	mgpplusg 20047	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
33	16, 17, 32	mulgnn0di 19722	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
34	28, 29, 30, 31, 33	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗))
36	35	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
37	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
38	1, 3	ringcl 20153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
39	37, 30, 31, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
40		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
41	6, 36, 39, 40	fvmptd2 6942	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
42		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
43	42	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44		ovexd 7388	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
45	6, 43, 30, 44	fvmptd2 6942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
47	46	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48		ovexd 7388	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
49	6, 47, 31, 48	fvmptd2 6942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑗) = (𝑃 ↑ 𝑗))
50	45, 49	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
51	34, 41, 50	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
52		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
53	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
54	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ ℕ0)
55		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
56	16, 17, 53, 54, 55	mulgnn0cld 18992	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	56, 6	fmptd 7052	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
58		frobrhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
59	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
60	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℙ)
61	1, 52, 17, 58, 59, 60, 30, 31	freshmansdream 21499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
62		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗))
63	62	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
64	1, 52	ringacl 20181	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
65	37, 30, 31, 64	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
66		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
67	6, 63, 65, 66	fvmptd2 6942	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
68	45, 49	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
69	61, 67, 68	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
70	1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 57, 69	isrhmd 20391	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℙcprime 16600  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Mndcmnd 18626  ._gcmg 18964  CMndccmn 19677  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   RingHom crh 20372  chrcchr 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-od 19425  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-chr 21430

This theorem is referenced by:  aks5lem7  42173