Theorem frobrhm 31481

Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frobrhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frobrhm.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
frobrhm.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
frobrhm.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
frobrhm.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
frobrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frobrhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frobrhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		frobrhm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crngringd 19794	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		frobrhm.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
7		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → 𝑥 = (1r‘𝑅))
8	7	oveq2d 7287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)))
9		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 19787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12		frobrhm.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13		prmnn 16377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	9, 1	mgpbas 19724	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		frobrhm.3	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
18	9, 2	ringidval 19737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulgnn0z 18728	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	11, 15, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
22	8, 21	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (1r‘𝑅))
23	1, 2	ringidcl 19805	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
24	5, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
25	6, 22, 24, 24	fvmptd2 6880	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26	9	crngmgp 19789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
27	4, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
30		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑖 ∈ 𝐵)
31		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
32	9, 3	mgpplusg 19722	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
33	16, 17, 32	mulgnn0di 19425	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
34	28, 29, 30, 31, 33	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗))
36	35	oveq2d 7287	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
37	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
38	1, 3	ringcl 19798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
39	37, 30, 31, 38	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
40		ovexd 7306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
41	6, 36, 39, 40	fvmptd2 6880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
42		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
43	42	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44		ovexd 7306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
45	6, 43, 30, 44	fvmptd2 6880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
47	46	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48		ovexd 7306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
49	6, 47, 31, 48	fvmptd2 6880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑗) = (𝑃 ↑ 𝑗))
50	45, 49	oveq12d 7289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
51	34, 41, 50	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
52		eqid 2740	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
53	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
54	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ ℕ0)
55		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
56	16, 17	mulgnn0cl 18718	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝑥) ∈ 𝐵)
58	57, 6	fmptd 6985	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
59		frobrhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
60	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
61	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℙ)
62	1, 52, 17, 59, 60, 61, 30, 31	freshmansdream 31480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
63		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗))
64	63	oveq2d 7287	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
65	1, 52	ringacl 19815	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
66	37, 30, 31, 65	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
67		ovexd 7306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
68	6, 64, 66, 67	fvmptd2 6880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
69	45, 49	oveq12d 7289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
70	62, 68, 69	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
71	1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 58, 70	isrhmd 19971	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℙcprime 16374  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960  ._rcmulr 16961  Mndcmnd 18383  ._gcmg 18698  CMndccmn 19384  mulGrpcmgp 19718  1_rcur 19735  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782   RingHom crh 19954  chrcchr 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-gcd 16200  df-prm 16375  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-od 19134  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-srg 19740  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-chr 20705

This theorem is referenced by: (None)