Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frobrhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frobrhm 32377
Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frobrhm.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
frobrhm.2 𝑃 = (chrβ€˜π‘…)
frobrhm.3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
frobrhm.4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑃 ↑ π‘₯))
frobrhm.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
Assertion
Ref Expression
frobrhm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   π‘₯, ↑   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem frobrhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frobrhm.1 . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 frobrhm.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54crngringd 20068 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 frobrhm.4 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑃 ↑ π‘₯))
7 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…))
87oveq2d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)))
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
109ringmgp 20061 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
12 frobrhm.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
13 prmnn 16610 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
14 nnnn0 12478 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
169, 1mgpbas 19992 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
17 frobrhm.3 . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
189, 2ringidval 20005 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
1916, 17, 18mulgnn0z 18980 . . . . . 6 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ β„•0) β†’ (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
2011, 15, 19syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
2120adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
228, 21eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
231, 2ringidcl 20082 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
245, 23syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
256, 22, 24, 24fvmptd2 7006 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
269crngmgp 20063 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
274, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2827adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2915adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
30 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐡)
31 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
329, 3mgpplusg 19990 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
3316, 17, 32mulgnn0di 19692 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
3428, 29, 30, 31, 33syl13anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ π‘₯ = (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗))
3635oveq2d 7424 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)))
375adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
381, 3ringcl 20072 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
3937, 30, 31, 38syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
40 ovexd 7443 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) ∈ V)
416, 36, 39, 40fvmptd2 7006 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)))
42 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
4342oveq2d 7424 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44 ovexd 7443 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
456, 43, 30, 44fvmptd2 7006 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑗) β†’ π‘₯ = 𝑗)
4746oveq2d 7424 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑗) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48 ovexd 7443 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
496, 47, 31, 48fvmptd2 7006 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (𝑃 ↑ 𝑗))
5045, 49oveq12d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
5134, 41, 503eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = ((πΉβ€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)))
52 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
5311adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5415adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
55 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5616, 17, 53, 54, 55mulgnn0cld 18974 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) ∈ 𝐡)
5756, 6fmptd 7113 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐡)
58 frobrhm.2 . . . 4 𝑃 = (chrβ€˜π‘…)
594adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6012adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
611, 52, 17, 58, 59, 60, 30, 31freshmansdream 32376 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
62 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗))
6362oveq2d 7424 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)))
641, 52ringacl 20094 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
6537, 30, 31, 64syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
66 ovexd 7443 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) ∈ V)
676, 63, 65, 66fvmptd2 7006 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)))
6845, 49oveq12d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
6961, 67, 683eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((πΉβ€˜π‘–)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)))
701, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 57, 69isrhmd 20265 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„™cprime 16607  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Mndcmnd 18624  .gcmg 18949  CMndccmn 19647  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056   RingHom crh 20247  chrcchr 21050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-od 19395  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-chr 21054
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator