Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frobrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frobrhm 30913
 Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frobrhm.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
frobrhm.2 𝑃 = (chr‘𝑅)
frobrhm.3 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
frobrhm.4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑃 𝑥))
frobrhm.5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Assertion
Ref Expression
frobrhm (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frobrhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frobrhm.1 . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2801 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2801 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 frobrhm.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
54crngringd 19306 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 frobrhm.4 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑃 𝑥))
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = (1r𝑅)) → 𝑥 = (1r𝑅))
87oveq2d 7155 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (1r𝑅)) → (𝑃 𝑥) = (𝑃 (1r𝑅)))
9 eqid 2801 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
109ringmgp 19299 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12 frobrhm.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
13 prmnn 16011 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
169, 1mgpbas 19241 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17 frobrhm.3 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
189, 2ringidval 19249 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
1916, 17, 18mulgnn0z 18249 . . . . . 6 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃 (1r𝑅)) = (1r𝑅))
2011, 15, 19syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 (1r𝑅)) = (1r𝑅))
2120adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (1r𝑅)) → (𝑃 (1r𝑅)) = (1r𝑅))
228, 21eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑥 = (1r𝑅)) → (𝑃 𝑥) = (1r𝑅))
231, 2ringidcl 19317 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
245, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
256, 22, 24, 24fvmptd2 6757 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑅))
269crngmgp 19301 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
274, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2827adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2915adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
30 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → 𝑖𝐵)
31 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → 𝑗𝐵)
329, 3mgpplusg 19239 . . . . 5 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
3316, 17, 32mulgnn0di 18942 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 (𝑖(.r𝑅)𝑗)) = ((𝑃 𝑖)(.r𝑅)(𝑃 𝑗)))
3428, 29, 30, 31, 33syl13anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 (𝑖(.r𝑅)𝑗)) = ((𝑃 𝑖)(.r𝑅)(𝑃 𝑗)))
35 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(.r𝑅)𝑗))
3635oveq2d 7155 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r𝑅)𝑗)) → (𝑃 𝑥) = (𝑃 (𝑖(.r𝑅)𝑗)))
375adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
381, 3ringcl 19310 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖𝐵𝑗𝐵) → (𝑖(.r𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
3937, 30, 31, 38syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑖(.r𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
40 ovexd 7174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 (𝑖(.r𝑅)𝑗)) ∈ V)
416, 36, 39, 40fvmptd2 6757 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r𝑅)𝑗)) = (𝑃 (𝑖(.r𝑅)𝑗)))
42 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
4342oveq2d 7155 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃 𝑥) = (𝑃 𝑖))
44 ovexd 7174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 𝑖) ∈ V)
456, 43, 30, 44fvmptd2 6757 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝐹𝑖) = (𝑃 𝑖))
46 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
4746oveq2d 7155 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑃 𝑥) = (𝑃 𝑗))
48 ovexd 7174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 𝑗) ∈ V)
496, 47, 31, 48fvmptd2 6757 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝐹𝑗) = (𝑃 𝑗))
5045, 49oveq12d 7157 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → ((𝐹𝑖)(.r𝑅)(𝐹𝑗)) = ((𝑃 𝑖)(.r𝑅)(𝑃 𝑗)))
5134, 41, 503eqtr4d 2846 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r𝑅)𝑗)) = ((𝐹𝑖)(.r𝑅)(𝐹𝑗)))
52 eqid 2801 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5311adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5415adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑃 ∈ ℕ0)
55 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
5616, 17mulgnn0cl 18239 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑃 𝑥) ∈ 𝐵)
5753, 54, 55, 56syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑃 𝑥) ∈ 𝐵)
5857, 6fmptd 6859 . 2 (𝜑𝐹:𝐵𝐵)
59 frobrhm.2 . . . 4 𝑃 = (chr‘𝑅)
604adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
6112adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → 𝑃 ∈ ℙ)
621, 52, 17, 59, 60, 61, 30, 31freshmansdream 30912 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 (𝑖(+g𝑅)𝑗)) = ((𝑃 𝑖)(+g𝑅)(𝑃 𝑗)))
63 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g𝑅)𝑗))
6463oveq2d 7155 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝑅)𝑗)) → (𝑃 𝑥) = (𝑃 (𝑖(+g𝑅)𝑗)))
651, 52ringacl 19327 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖𝐵𝑗𝐵) → (𝑖(+g𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
6637, 30, 31, 65syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑖(+g𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
67 ovexd 7174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝑃 (𝑖(+g𝑅)𝑗)) ∈ V)
686, 64, 66, 67fvmptd2 6757 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g𝑅)𝑗)) = (𝑃 (𝑖(+g𝑅)𝑗)))
6945, 49oveq12d 7157 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → ((𝐹𝑖)(+g𝑅)(𝐹𝑗)) = ((𝑃 𝑖)(+g𝑅)(𝑃 𝑗)))
7062, 68, 693eqtr4d 2846 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐵𝑗𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g𝑅)𝑗)) = ((𝐹𝑖)(+g𝑅)(𝐹𝑗)))
711, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 58, 70isrhmd 19480 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℙcprime 16008  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Mndcmnd 17906  .gcmg 18219  CMndccmn 18901  mulGrpcmgp 19235  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294   RingHom crh 19463  chrcchr 20198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-od 18651  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-srg 19252  df-ring 19295  df-cring 19296  df-rnghom 19466  df-chr 20202 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator