Theorem frobrhm 21794

Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frobrhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frobrhm.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
frobrhm.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
frobrhm.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
frobrhm.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
frobrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frobrhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frobrhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		frobrhm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crngringd 20391	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		frobrhm.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → 𝑥 = (1r‘𝑅))
8	7	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)))
9		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11	5, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12		frobrhm.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13		prmnn 16770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	9, 1	mgpbas 20284	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		frobrhm.3	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
18	9, 2	ringidval 20328	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulgnn0z 19230	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	11, 15, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
22	8, 21	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (1r‘𝑅))
23	1, 2	ringidcl 20412	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
24	5, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
25	6, 22, 24, 24	fvmptd2 6999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26	9	crngmgp 20386	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
27	4, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
30		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑖 ∈ 𝐵)
31		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
32	9, 3	mgpplusg 20283	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
33	16, 17, 32	mulgnn0di 19958	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
34	28, 29, 30, 31, 33	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗))
36	35	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
37	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
38	1, 3	ringcl 20395	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
39	37, 30, 31, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
40		ovexd 7452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
41	6, 36, 39, 40	fvmptd2 6999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
42		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
43	42	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44		ovexd 7452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
45	6, 43, 30, 44	fvmptd2 6999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
47	46	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48		ovexd 7452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
49	6, 47, 31, 48	fvmptd2 6999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑗) = (𝑃 ↑ 𝑗))
50	45, 49	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
51	34, 41, 50	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
52		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
53	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
54	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ ℕ0)
55		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
56	16, 17, 53, 54, 55	mulgnn0cld 19224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	56, 6	fmptd 7111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
58		frobrhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
59	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
60	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℙ)
61	1, 52, 17, 58, 59, 60, 30, 31	freshmansdream 21793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
62		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗))
63	62	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
64	1, 52	ringacl 20425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
65	37, 30, 31, 64	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
66		ovexd 7452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
67	6, 63, 65, 66	fvmptd2 6999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
68	45, 49	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
69	61, 67, 68	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
70	1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 57, 69	isrhmd 20639	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℙcprime 16767  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Mndcmnd 18842  ._gcmg 19196  CMndccmn 19913  mulGrpcmgp 20279  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379   RingHom crh 20616  chrcchr 21720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-gcd 16591  df-prm 16768  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-od 19661  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-rhm 20619  df-chr 21724

This theorem is used by:  aks5lem7  43074