Theorem frobrhm 21886

Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frobrhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frobrhm.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
frobrhm.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
frobrhm.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
frobrhm.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
frobrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frobrhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frobrhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		frobrhm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crngringd 20478	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		frobrhm.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → 𝑥 = (1r‘𝑅))
8	7	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)))
9		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11	5, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12		frobrhm.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13		prmnn 16854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	9, 1	mgpbas 20370	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		frobrhm.3	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
18	9, 2	ringidval 20414	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulgnn0z 19316	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	11, 15, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
22	8, 21	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (1r‘𝑅))
23	1, 2	ringidcl 20499	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
24	5, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
25	6, 22, 24, 24	fvmptd2 7002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26	9	crngmgp 20472	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
27	4, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
30		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑖 ∈ 𝐵)
31		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
32	9, 3	mgpplusg 20369	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
33	16, 17, 32	mulgnn0di 20044	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
34	28, 29, 30, 31, 33	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗))
36	35	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
37	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
38	1, 3	ringcl 20482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
39	37, 30, 31, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
40		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
41	6, 36, 39, 40	fvmptd2 7002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
42		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
43	42	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
45	6, 43, 30, 44	fvmptd2 7002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
47	46	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
49	6, 47, 31, 48	fvmptd2 7002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑗) = (𝑃 ↑ 𝑗))
50	45, 49	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
51	34, 41, 50	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
52		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
53	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
54	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ ℕ0)
55		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
56	16, 17, 53, 54, 55	mulgnn0cld 19310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	56, 6	fmptd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
58		frobrhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
59	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
60	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℙ)
61	1, 52, 17, 58, 59, 60, 30, 31	freshmansdream 21885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
62		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗))
63	62	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
64	1, 52	ringacl 20512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
65	37, 30, 31, 64	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
66		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
67	6, 63, 65, 66	fvmptd2 7002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
68	45, 49	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
69	61, 67, 68	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
70	1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 57, 69	isrhmd 20727	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ℙcprime 16851  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Mndcmnd 18928  ._gcmg 19282  CMndccmn 19999  mulGrpcmgp 20365  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  CRingccrg 20465   RingHom crh 20704  chrcchr 21812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-od 19747  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-srg 20418  df-ring 20466  df-cring 20467  df-rhm 20707  df-chr 21816

This theorem is used by:  aks5lem7  43343