Theorem frobrhm 33075

Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frobrhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frobrhm.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
frobrhm.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
frobrhm.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
frobrhm.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
frobrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem frobrhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frobrhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2725	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		frobrhm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crngringd 20224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		frobrhm.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑃 ↑ 𝑥))
7		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → 𝑥 = (1r‘𝑅))
8	7	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)))
9		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9	ringmgp 20217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12		frobrhm.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13		prmnn 16670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	9, 1	mgpbas 20118	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		frobrhm.3	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
18	9, 2	ringidval 20161	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulgnn0z 19090	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	11, 15, 19	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ (1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
22	8, 21	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1r‘𝑅)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (1r‘𝑅))
23	1, 2	ringidcl 20240	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
24	5, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
25	6, 22, 24, 24	fvmptd2 7016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26	9	crngmgp 20219	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
27	4, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	27	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	15	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
30		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑖 ∈ 𝐵)
31		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
32	9, 3	mgpplusg 20116	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
33	16, 17, 32	mulgnn0di 19818	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
34	28, 29, 30, 31, 33	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗))
36	35	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
37	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
38	1, 3	ringcl 20228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
39	37, 30, 31, 38	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
40		ovexd 7458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
41	6, 36, 39, 40	fvmptd2 7016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.r‘𝑅)𝑗)))
42		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
43	42	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44		ovexd 7458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
45	6, 43, 30, 44	fvmptd2 7016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
47	46	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48		ovexd 7458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
49	6, 47, 31, 48	fvmptd2 7016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑗) = (𝑃 ↑ 𝑗))
50	45, 49	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
51	34, 41, 50	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(.r‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
52		eqid 2725	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
53	11	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
54	15	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ ℕ0)
55		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
56	16, 17, 53, 54, 55	mulgnn0cld 19084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	56, 6	fmptd 7127	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)
58		frobrhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
59	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
60	12	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ ℙ)
61	1, 52, 17, 58, 59, 60, 30, 31	freshmansdream 21564	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
62		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗))
63	62	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) → (𝑃 ↑ 𝑥) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
64	1, 52	ringacl 20252	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
65	37, 30, 31, 64	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑗) ∈ 𝐵)
66		ovexd 7458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) ∈ V)
67	6, 63, 65, 66	fvmptd2 7016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+g‘𝑅)𝑗)))
68	45, 49	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑗)))
69	61, 67, 68	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑅)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
70	1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 57, 69	isrhmd 20465	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  ℕcn 12259  ℕ₀cn0 12519  ℙcprime 16667  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  ._rcmulr 17262  Mndcmnd 18722  ._gcmg 19056  CMndccmn 19773  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20159  Ringcrg 20211  CRingccrg 20212   RingHom crh 20446  chrcchr 21483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-gcd 16490  df-prm 16668  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19057  df-ghm 19202  df-cntz 19306  df-od 19521  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-srg 20165  df-ring 20213  df-cring 20214  df-rhm 20449  df-chr 21487

This theorem is referenced by: (None)