Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frobrhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frobrhm 32382
Description: In a commutative ring with prime characteristic, the Frobenius function 𝐹 is a ring endomorphism, thus named the Frobenius endomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frobrhm.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
frobrhm.2 𝑃 = (chrβ€˜π‘…)
frobrhm.3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
frobrhm.4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑃 ↑ π‘₯))
frobrhm.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
frobrhm.6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
Assertion
Ref Expression
frobrhm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   π‘₯, ↑   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem frobrhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frobrhm.1 . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 frobrhm.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54crngringd 20069 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 frobrhm.4 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑃 ↑ π‘₯))
7 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…))
87oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)))
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
109ringmgp 20062 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
12 frobrhm.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
13 prmnn 16611 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
14 nnnn0 12479 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
169, 1mgpbas 19993 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
17 frobrhm.3 . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
189, 2ringidval 20006 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
1916, 17, 18mulgnn0z 18981 . . . . . 6 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ β„•0) β†’ (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
2011, 15, 19syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
2120adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ↑ (1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
228, 21eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
231, 2ringidcl 20083 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
245, 23syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
256, 22, 24, 24fvmptd2 7007 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
269crngmgp 20064 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
274, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2827adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2915adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
30 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐡)
31 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
329, 3mgpplusg 19991 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
3316, 17, 32mulgnn0di 19693 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd ∧ (𝑃 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
3428, 29, 30, 31, 33syl13anc 1373 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
35 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ π‘₯ = (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗))
3635oveq2d 7425 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)))
375adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
381, 3ringcl 20073 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
3937, 30, 31, 38syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
40 ovexd 7444 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) ∈ V)
416, 36, 39, 40fvmptd2 7007 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)))
42 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
4342oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ 𝑖))
44 ovexd 7444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ 𝑖) ∈ V)
456, 43, 30, 44fvmptd2 7007 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (𝑃 ↑ 𝑖))
46 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑗) β†’ π‘₯ = 𝑗)
4746oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑗) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ 𝑗))
48 ovexd 7444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ 𝑗) ∈ V)
496, 47, 31, 48fvmptd2 7007 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (𝑃 ↑ 𝑗))
5045, 49oveq12d 7427 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
5134, 41, 503eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(.rβ€˜π‘…)𝑗)) = ((πΉβ€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)))
52 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
5311adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5415adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
55 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5616, 17, 53, 54, 55mulgnn0cld 18975 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) ∈ 𝐡)
5756, 6fmptd 7114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐡)
58 frobrhm.2 . . . 4 𝑃 = (chrβ€˜π‘…)
594adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6012adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
611, 52, 17, 58, 59, 60, 30, 31freshmansdream 32381 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
62 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗))
6362oveq2d 7425 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) β†’ (𝑃 ↑ π‘₯) = (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)))
641, 52ringacl 20095 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
6537, 30, 31, 64syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐡)
66 ovexd 7444 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) ∈ V)
676, 63, 65, 66fvmptd2 7007 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (𝑃 ↑ (𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)))
6845, 49oveq12d 7427 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)) = ((𝑃 ↑ 𝑖)(+gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑗)))
6961, 67, 683eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑖(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((πΉβ€˜π‘–)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘—)))
701, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 25, 51, 1, 52, 52, 57, 69isrhmd 20266 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„™cprime 16608  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  CMndccmn 19648  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  chrcchr 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-chr 21055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator