MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1add 22213
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1add.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p = (+g𝑌)
coe1add.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1add ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 coe1add.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
3 coe1add.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
42, 3ply1bas 22142 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
6 coe1add.p . . . . . 6 = (+g𝑌)
72, 1, 6ply1plusg 22171 . . . . 5 = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
8 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
9 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
101, 4, 5, 7, 8, 9mpladd 21976 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f + 𝐺))
1110coeq1d 5864 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
132, 3, 12ply1basf 22150 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
1413ffnd 6724 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹 Fn (ℕ0m 1o))
15143ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0m 1o))
162, 3, 12ply1basf 22150 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6724 . . . . 5 (𝐺𝐵𝐺 Fn (ℕ0m 1o))
18173ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0m 1o))
19 df1o2 8494 . . . . . 6 1o = {∅}
20 nn0ex 12516 . . . . . 6 0 ∈ V
21 0ex 5308 . . . . . 6 ∅ ∈ V
22 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
2319, 20, 21, 22mapsnf1o3 8914 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o)
24 f1of 6838 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
2523, 24mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
26 ovexd 7454 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (ℕ0m 1o) ∈ V)
2720a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
28 inidm 4217 . . . 4 ((ℕ0m 1o) ∩ (ℕ0m 1o)) = (ℕ0m 1o)
2915, 18, 25, 26, 26, 27, 28ofco 7709 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
3011, 29eqtrd 2765 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
312ply1ring 22195 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
323, 6ringacl 20231 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
3331, 32syl3an1 1160 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
34 eqid 2725 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3534, 3, 2, 22coe1fval2 22158 . . 3 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
3633, 35syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
37 eqid 2725 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
3837, 3, 2, 22coe1fval2 22158 . . . 4 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
39383ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40 eqid 2725 . . . . 5 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4140, 3, 2, 22coe1fval2 22158 . . . 4 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
42413ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
4339, 42oveq12d 7437 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
4430, 36, 433eqtr4d 2775 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  c0 4322  {csn 4630  cmpt 5232   × cxp 5676  ccom 5682   Fn wfn 6544  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683  1oc1o 8480  m cmap 8845  0cn0 12510  Basecbs 17188  +gcplusg 17241  Ringcrg 20190   mPoly cmpl 21861  Poly1cpl1 22124  coe1cco1 22125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14331  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-hom 17265  df-cco 17266  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-prds 17437  df-pws 17439  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19037  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-subrng 20500  df-subrg 20525  df-psr 21864  df-mpl 21866  df-opsr 21868  df-psr1 22127  df-ply1 22129  df-coe1 22130
This theorem is referenced by:  coe1addfv  22214
  Copyright terms: Public domain W3C validator