Theorem coe1add 22213

Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1add	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))

Proof of Theorem coe1add

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		coe1add.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1add.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bas 22142	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		coe1add.p	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
7	2, 1, 6	ply1plusg 22171	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
8		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	1, 4, 5, 7, 8, 9	mpladd 21976	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))
11	10	coeq1d 5864	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
12		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	2, 3, 12	ply1basf 22150	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffnd 6724	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
15	14	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
16	2, 3, 12	ply1basf 22150	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6724	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
18	17	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
19		df1o2 8494	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
20		nn0ex 12516	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		0ex 5308	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
22		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
23	19, 20, 21, 22	mapsnf1o3 8914	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o)
24		f1of 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
25	23, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
26		ovexd 7454	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
27	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
28		inidm 4217	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
29	15, 18, 25, 26, 26, 27, 28	ofco 7709	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
30	11, 29	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
31	2	ply1ring 22195	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
32	3, 6	ringacl 20231	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
34		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))
35	34, 3, 2, 22	coe1fval2 22158	. . 3 ⊢ ((𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
36	33, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
37		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
38	37, 3, 2, 22	coe1fval2 22158	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
39	38	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
41	40, 3, 2, 22	coe1fval2 22158	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
42	41	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
43	39, 42	oveq12d 7437	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
44	30, 36, 43	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ∅c0 4322  {csn 4630   ↦ cmpt 5232   × cxp 5676   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683  1_oc1o 8480   ↑_m cmap 8845  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17188  +_gcplusg 17241  Ringcrg 20190   mPoly cmpl 21861  Poly₁cpl1 22124  coe₁cco1 22125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14331  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-hom 17265  df-cco 17266  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-prds 17437  df-pws 17439  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19037  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-subrng 20500  df-subrg 20525  df-psr 21864  df-mpl 21866  df-opsr 21868  df-psr1 22127  df-ply1 22129  df-coe1 22130

This theorem is referenced by:  coe1addfv  22214