MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1add 22190
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1add.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p = (+g𝑌)
coe1add.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1add ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 coe1add.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2728 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 coe1add.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4ply1bas 22121 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 coe1add.p . . . . . 6 = (+g𝑌)
82, 1, 7ply1plusg 22149 . . . . 5 = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
9 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
10 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 21958 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f + 𝐺))
1211coeq1d 5868 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
13 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
142, 4, 13ply1basf 22128 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6728 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹 Fn (ℕ0m 1o))
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0m 1o))
172, 4, 13ply1basf 22128 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
1817ffnd 6728 . . . . 5 (𝐺𝐵𝐺 Fn (ℕ0m 1o))
19183ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0m 1o))
20 df1o2 8500 . . . . . 6 1o = {∅}
21 nn0ex 12516 . . . . . 6 0 ∈ V
22 0ex 5311 . . . . . 6 ∅ ∈ V
23 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
2420, 21, 22, 23mapsnf1o3 8920 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o)
25 f1of 6844 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
2624, 25mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
27 ovexd 7461 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (ℕ0m 1o) ∈ V)
2821a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
29 inidm 4221 . . . 4 ((ℕ0m 1o) ∩ (ℕ0m 1o)) = (ℕ0m 1o)
3016, 19, 26, 27, 27, 28, 29ofco 7714 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
3112, 30eqtrd 2768 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
322ply1ring 22173 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
334, 7ringacl 20221 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
3432, 33syl3an1 1160 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
35 eqid 2728 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3635, 4, 2, 23coe1fval2 22136 . . 3 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
3734, 36syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
38 eqid 2728 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
3938, 4, 2, 23coe1fval2 22136 . . . 4 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40393ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
41 eqid 2728 . . . . 5 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4241, 4, 2, 23coe1fval2 22136 . . . 4 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
43423ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
4440, 43oveq12d 7444 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
4531, 37, 443eqtr4d 2778 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  c0 4326  {csn 4632  cmpt 5235   × cxp 5680  ccom 5686   Fn wfn 6548  wf 6549  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7689  1oc1o 8486  m cmap 8851  0cn0 12510  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Ringcrg 20180   mPoly cmpl 21846  PwSer1cps1 22101  Poly1cpl1 22103  coe1cco1 22104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-coe1 22109
This theorem is referenced by:  coe1addfv  22191
  Copyright terms: Public domain W3C validator