Theorem coe1add 22254

Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1add	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))

Proof of Theorem coe1add

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		coe1add.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1add.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	ply1bas 22184	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		coe1add.p	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
7	2, 1, 6	ply1plusg 22212	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
8		simp2 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		simp3 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	1, 4, 5, 7, 8, 9	mpladd 21987	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))
11	10	coeq1d 5806	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
12		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	2, 3, 12	ply1basf 22191	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffnd 6660	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
15	14	3ad2ant2 1141	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
16	2, 3, 12	ply1basf 22191	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6660	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
18	17	3ad2ant3 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑m 1o))
19		df1o2 8406	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
20		nn0ex 12438	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		0ex 5232	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
22		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
23	19, 20, 21, 22	mapsnf1o3 8837	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o)
24		f1of 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
25	23, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
26		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
27	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
28		inidm 4158	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
29	15, 18, 25, 26, 26, 27, 28	ofco 7649	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
30	11, 29	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
31	2	ply1ring 22236	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
32	3, 6	ringacl 20254	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl3an1 1170	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
34		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))
35	34, 3, 2, 22	coe1fval2 22199	. . 3 ⊢ ((𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
36	33, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
37		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
38	37, 3, 2, 22	coe1fval2 22199	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
39	38	3ad2ant2 1141	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
41	40, 3, 2, 22	coe1fval2 22199	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
42	41	3ad2ant3 1142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
43	39, 42	oveq12d 7378	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
44	30, 36, 43	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4264  {csn 4558   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619   ∘ ccom 5625   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  1_oc1o 8392   ↑_m cmap 8767  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Ringcrg 20209   mPoly cmpl 21885  Poly₁cpl1 22166  coe₁cco1 22167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-psr 21888  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-ply1 22171  df-coe1 22172

This theorem is referenced by:  coe1addfv  22255