Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
coe1add ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 coe1add.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2778 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 coe1add.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4ply1bas 19965 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 coe1add.p . . . . . 6 = (+g𝑌)
82, 1, 7ply1plusg 19995 . . . . 5 = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
9 simp2 1128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
10 simp3 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 19843 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))
1211coeq1d 5531 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
13 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
142, 4, 13ply1basf 19972 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6294 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1o))
16153ad2ant2 1125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1o))
172, 4, 13ply1basf 19972 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:(ℕ0𝑚 1o)⟶(Base‘𝑅))
1817ffnd 6294 . . . . 5 (𝐺𝐵𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1o))
19183ad2ant3 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1o))
20 df1o2 7858 . . . . . 6 1o = {∅}
21 nn0ex 11653 . . . . . 6 0 ∈ V
22 0ex 5028 . . . . . 6 ∅ ∈ V
23 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
2420, 21, 22, 23mapsnf1o3 8194 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1o)
25 f1of 6393 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1o))
2624, 25mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1o))
27 ovexd 6958 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (ℕ0𝑚 1o) ∈ V)
2821a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
29 inidm 4043 . . . 4 ((ℕ0𝑚 1o) ∩ (ℕ0𝑚 1o)) = (ℕ0𝑚 1o)
3016, 19, 26, 27, 27, 28, 29ofco 7196 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
3112, 30eqtrd 2814 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
322ply1ring 20018 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
334, 7ringacl 18969 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
3432, 33syl3an1 1163 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
35 eqid 2778 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3635, 4, 2, 23coe1fval2 19980 . . 3 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
3734, 36syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
38 eqid 2778 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
3938, 4, 2, 23coe1fval2 19980 . . . 4 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40393ad2ant2 1125 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
41 eqid 2778 . . . . 5 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4241, 4, 2, 23coe1fval2 19980 . . . 4 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
43423ad2ant3 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
4440, 43oveq12d 6942 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
4531, 37, 443eqtr4d 2824 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ∅c0 4141  {csn 4398   ↦ cmpt 4967   × cxp 5355   ∘ ccom 5361   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘𝑓 cof 7174  1oc1o 7838   ↑𝑚 cmap 8142  ℕ0cn0 11646  Basecbs 16259  +gcplusg 16342  Ringcrg 18938   mPoly cmpl 19754  PwSer1cps1 19945  Poly1cpl1 19947  coe1cco1 19948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-hash 13440  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-tset 16361  df-ple 16362  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-mulg 17932  df-subg 17979  df-ghm 18046  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-subrg 19174  df-psr 19757  df-mpl 19759  df-opsr 19761  df-psr1 19950  df-ply1 19952  df-coe1 19953 This theorem is referenced by:  coe1addfv  20035
 Copyright terms: Public domain W3C validator