MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1add 22133
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1add.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p = (+g𝑌)
coe1add.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1add ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 coe1add.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 coe1add.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4ply1bas 22064 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 coe1add.p . . . . . 6 = (+g𝑌)
82, 1, 7ply1plusg 22092 . . . . 5 = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
9 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
10 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 21905 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹f + 𝐺))
1211coeq1d 5854 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
142, 4, 13ply1basf 22071 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6711 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹 Fn (ℕ0m 1o))
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0m 1o))
172, 4, 13ply1basf 22071 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
1817ffnd 6711 . . . . 5 (𝐺𝐵𝐺 Fn (ℕ0m 1o))
19183ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0m 1o))
20 df1o2 8471 . . . . . 6 1o = {∅}
21 nn0ex 12479 . . . . . 6 0 ∈ V
22 0ex 5300 . . . . . 6 ∅ ∈ V
23 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
2420, 21, 22, 23mapsnf1o3 8888 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o)
25 f1of 6826 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
2624, 25mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
27 ovexd 7439 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (ℕ0m 1o) ∈ V)
2821a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
29 inidm 4213 . . . 4 ((ℕ0m 1o) ∩ (ℕ0m 1o)) = (ℕ0m 1o)
3016, 19, 26, 27, 27, 28, 29ofco 7689 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹f + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
3112, 30eqtrd 2766 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
322ply1ring 22116 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
334, 7ringacl 20174 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
3432, 33syl3an1 1160 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
35 eqid 2726 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3635, 4, 2, 23coe1fval2 22079 . . 3 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
3734, 36syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
38 eqid 2726 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
3938, 4, 2, 23coe1fval2 22079 . . . 4 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40393ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
41 eqid 2726 . . . . 5 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4241, 4, 2, 23coe1fval2 22079 . . . 4 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
43423ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
4440, 43oveq12d 7422 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘f + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
4531, 37, 443eqtr4d 2776 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  c0 4317  {csn 4623  cmpt 5224   × cxp 5667  ccom 5673   Fn wfn 6531  wf 6532  1-1-ontowf1o 6535  cfv 6536  (class class class)co 7404  f cof 7664  1oc1o 8457  m cmap 8819  0cn0 12473  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Ringcrg 20135   mPoly cmpl 21795  PwSer1cps1 22044  Poly1cpl1 22046  coe1cco1 22047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-psr 21798  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-ply1 22051  df-coe1 22052
This theorem is referenced by:  coe1addfv  22134
  Copyright terms: Public domain W3C validator