Theorem coe1add 20034

Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1add	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)))

Proof of Theorem coe1add

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		coe1add.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1add.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	ply1bas 19965	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		coe1add.p	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
8	2, 1, 7	ply1plusg 19995	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
9		simp2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		simp3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 5, 6, 8, 9, 10	mpladd 19843	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))
12	11	coeq1d 5531	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
13		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	2, 4, 13	ply1basf 19972	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6294	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1o))
16	15	3ad2ant2 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1o))
17	2, 4, 13	ply1basf 19972	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6294	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1o))
19	18	3ad2ant3 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1o))
20		df1o2 7858	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
21		nn0ex 11653	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
22		0ex 5028	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
23		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
24	20, 21, 22, 23	mapsnf1o3 8194	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑𝑚 1o)
25		f1of 6393	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑𝑚 1o) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑𝑚 1o))
26	24, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑𝑚 1o))
27		ovexd 6958	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∈ V)
28	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
29		inidm 4043	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1o) ∩ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) = (ℕ0 ↑𝑚 1o)
30	16, 19, 26, 27, 27, 28, 29	ofco 7196	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
31	12, 30	eqtrd 2814	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
32	2	ply1ring 20018	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
33	4, 7	ringacl 18969	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
34	32, 33	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
35		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))
36	35, 4, 2, 23	coe1fval2 19980	. . 3 ⊢ ((𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
37	34, 36	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
38		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
39	38, 4, 2, 23	coe1fval2 19980	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
40	39	3ad2ant2 1125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
41		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
42	41, 4, 2, 23	coe1fval2 19980	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
43	42	3ad2ant3 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
44	40, 43	oveq12d 6942	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))))
45	31, 37, 44	3eqtr4d 2824	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ∅c0 4141  {csn 4398   ↦ cmpt 4967   × cxp 5355   ∘ ccom 5361   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘_𝑓 cof 7174  1_oc1o 7838   ↑_𝑚 cmap 8142  ℕ₀cn0 11646  Basecbs 16259  +_gcplusg 16342  Ringcrg 18938   mPoly cmpl 19754  PwSer₁cps1 19945  Poly₁cpl1 19947  coe₁cco1 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-hash 13440  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-tset 16361  df-ple 16362  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-mulg 17932  df-subg 17979  df-ghm 18046  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-subrg 19174  df-psr 19757  df-mpl 19759  df-opsr 19761  df-psr1 19950  df-ply1 19952  df-coe1 19953

This theorem is referenced by:  coe1addfv  20035